大家好！今天我们来深入学习《算法导论》第 14 章 —— 数据结构的扩张。这一章主要介绍了如何基于现有数据结构（如二叉搜索树）扩展出新的功能，以满足更复杂的问题需求。我们会从动态顺序统计树讲到区间树，每个知识点都会配上完整可运行的 C++ 代码，方便大家动手实践。

思维导图

14.1 动态顺序统计

        在很多场景中，我们不仅需要像普通 BST 那样查找元素，还需要知道元素在集合中的排名（秩），或者查找集合中第 i 小的元素。动态顺序统计树就是为了解决这类问题而设计的。

基本概念

  • 秩（Rank）：一个元素的秩是指该元素在集合的线性序中所处的位置（从 1 开始计数）
  • 第 i 个顺序统计量：集合中第 i 小的元素

数据结构设计

        动态顺序统计树在普通 BST 的基础上，为每个节点增加了一个size属性，表示以该节点为根的子树中包含的节点总数（包括自身）。

// 动态顺序统计树节点结构
struct Node {int key;         // 节点关键字int size;        // 以该节点为根的子树大小Node *left;      // 左孩子Node *right;     // 右孩子Node *parent;    // 父节点// 构造函数Node(int k) : key(k), size(1), left(nullptr), right(nullptr), parent(nullptr) {}
};

核心操作实现

更新节点大小

当树的结构发生变化（插入或删除节点）时，需要更新相关节点的size属性：

// 更新节点的size（等于左子树size + 右子树size + 1）
void updateSize(Node *node) {if (node != nullptr) {node->size = 1;  // 自身if (node->left != nullptr) {node->size += node->left->size;}if (node->right != nullptr) {node->size += node->right->size;}}
}
查找第 i 个元素
// 查找以node为根的子树中第i个最小元素（1-based）
Node* select(Node *node, int i) {if (node == nullptr) return nullptr;  // 空树或i超出范围// 左子树的节点数int leftSize = (node->left != nullptr) ? node->left->size : 0;if (i == leftSize + 1) {// 当前节点就是第i个元素return node;} else if (i <= leftSize) {// 第i个元素在左子树中return select(node->left, i);} else {// 第i个元素在右子树中，注意要调整i的值return select(node->right, i - (leftSize + 1));}
}

计算元素的秩
// 计算x在以root为根的树中的秩
int rank(Node *root, Node *x) {// x的左子树大小 + 1（自身）int r = (x->left != nullptr) ? x->left->size + 1 : 1;Node *y = x;// 向上追溯到根节点while (y != root) {if (y == y->parent->right) {// 如果y是其父节点的右孩子，则需要加上父节点左子树大小 + 1（父节点自身）r += (y->parent->left != nullptr) ? y->parent->left->size + 1 : 1;}y = y->parent;}return r;
}
插入操作

插入操作在普通 BST 插入的基础上，需要从新插入的节点向上更新所有祖先的size属性：

// 向以root为根的树中插入关键字key，返回新的根节点
Node* insert(Node *root, int key) {// 普通BST插入逻辑Node *parent = nullptr;Node **current = &root;while (*current != nullptr) {parent = *current;(*current)->size++;  // 沿途节点size加1if (key < (*current)->key) {current = &((*current)->left);} else {current = &((*current)->right);}}*current = new Node(key);(*current)->parent = parent;return root;  // 返回新的根节点
}
删除操作

        删除操作相对复杂，需要先找到要删除的节点，执行删除（考虑三种情况：叶子节点、只有一个孩子、有两个孩子），然后更新相关节点的size属性：

// 查找关键字为key的节点
Node* find(Node *root, int key) {Node *current = root;while (current != nullptr && current->key != key) {if (key < current->key) {current = current->left;} else {current = current->right;}}return current;
}// 找到以node为根的树中的最小值节点
Node* minimum(Node *node) {while (node->left != nullptr) {node = node->left;}return node;
}// 替换子树
void transplant(Node *&root, Node *u, Node *v) {if (u->parent == nullptr) {root = v;  // u是根节点} else if (u == u->parent->left) {u->parent->left = v;  // u是左孩子} else {u->parent->right = v;  // u是右孩子}if (v != nullptr) {v->parent = u->parent;  // 更新v的父节点}
}// 从树中删除节点z，返回新的根节点
Node* deleteNode(Node *root, Node *z) {if (z == nullptr) return root;  // 节点不存在Node *y = nullptr;Node *x = nullptr;// 确定要删除的实际节点yif (z->left == nullptr || z->right == nullptr) {y = z;} else {y = minimum(z->right);  // 找到后继节点}// 确定y的孩子xif (y->left != nullptr) {x = y->left;} else {x = y->right;}// 更新x的父节点if (x != nullptr) {x->parent = y->parent;}// 替换ytransplant(root, y, x);// 如果y不是z，则将y的内容复制到zif (y != z) {z->key = y->key;}// 更新受影响节点的sizeNode *p = y->parent;while (p != nullptr) {updateSize(p);p = p->parent;}delete y;  // 释放内存return root;
}

综合案例：动态顺序统计树的应用

下面是一个完整的示例，展示了动态顺序统计树的各种操作：

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;// 节点结构定义
struct Node {int key;int size;Node *left;Node *right;Node *parent;Node(int k) : key(k), size(1), left(nullptr), right(nullptr), parent(nullptr) {}
};// 辅助函数声明
void updateSize(Node *node);
Node* select(Node *node, int i);
int getRank(Node *root, Node *x);  // 重命名rank为getRank
Node* insert(Node *root, int key);
Node* find(Node *root, int key);
Node* minimum(Node *node);
void transplant(Node *&root, Node *u, Node *v);
Node* deleteNode(Node *root, Node *z);// 辅助函数实现
void updateSize(Node *node) {if (node != nullptr) {node->size = 1;if (node->left != nullptr) node->size += node->left->size;if (node->right != nullptr) node->size += node->right->size;}
}Node* select(Node *node, int i) {if (node == nullptr) return nullptr;int leftSize = (node->left != nullptr) ? node->left->size : 0;if (i == leftSize + 1) return node;else if (i <= leftSize) return select(node->left, i);else return select(node->right, i - (leftSize + 1));
}// 重命名rank为getRank，避免与标准库冲突
int getRank(Node *root, Node *x) {int r = (x->left != nullptr) ? x->left->size + 1 : 1;Node *y = x;while (y != root) {if (y == y->parent->right) {r += (y->parent->left != nullptr) ? y->parent->left->size + 1 : 1;}y = y->parent;}return r;
}Node* insert(Node *root, int key) {Node *parent = nullptr;Node **current = &root;while (*current != nullptr) {parent = *current;(*current)->size++;if (key < (*current)->key) current = &((*current)->left);else current = &((*current)->right);}*current = new Node(key);(*current)->parent = parent;return root;
}Node* find(Node *root, int key) {Node *current = root;while (current != nullptr && current->key != key) {if (key < current->key) current = current->left;else current = current->right;}return current;
}Node* minimum(Node *node) {while (node->left != nullptr) node = node->left;return node;
}void transplant(Node *&root, Node *u, Node *v) {if (u->parent == nullptr) root = v;else if (u == u->parent->left) u->parent->left = v;else u->parent->right = v;if (v != nullptr) v->parent = u->parent;
}Node* deleteNode(Node *root, Node *z) {if (z == nullptr) return root;Node *y = nullptr, *x = nullptr;if (z->left == nullptr || z->right == nullptr) y = z;else y = minimum(z->right);if (y->left != nullptr) x = y->left;else x = y->right;if (x != nullptr) x->parent = y->parent;transplant(root, y, x);if (y != z) z->key = y->key;Node *p = y->parent;while (p != nullptr) {updateSize(p);p = p->parent;}delete y;return root;
}// 中序遍历打印树（用于调试）
void inorder(Node *node) {if (node != nullptr) {inorder(node->left);cout << node->key << "(" << node->size << ") ";inorder(node->right);}
}int main() {Node *root = nullptr;// 插入一些元素int keys[] = {15, 6, 18, 3, 7, 17, 20, 2, 4, 13, 9};for (int key : keys) {root = insert(root, key);}cout << "树的中序遍历（带size）: ";inorder(root);cout << endl << endl;// 测试select操作for (int i = 1; i <= 11; i++) {Node *node = select(root, i);if (node != nullptr) {cout << "第" << i << "小的元素是: " << node->key << endl;}}cout << endl;// 测试rank操作，使用重命名后的getRankint testKeys[] = {15, 7, 20, 2};for (int key : testKeys) {Node *node = find(root, key);if (node != nullptr) {cout << "元素" << key << "的秩是: " << getRank(root, node) << endl;}}cout << endl;// 测试删除操作int delKey = 6;Node *delNode = find(root, delKey);if (delNode != nullptr) {cout << "删除元素" << delKey << "后，树的中序遍历: ";root = deleteNode(root, delNode);inorder(root);cout << endl << endl;// 再次测试select和rank操作cout << "删除后，第3小的元素是: " << select(root, 3)->key << endl;cout << "删除后，元素7的秩是: " << getRank(root, find(root, 7)) << endl;}return 0;
}

运行结果：

14.2 如何扩张数据结构

        扩张数据结构是指在现有数据结构的基础上添加新的信息和操作，以解决特定问题。以下是扩张数据结构的一般步骤：

  1. 选择基础数据结构：通常选择能高效支持基本操作的数据结构（如 BST、红黑树等）

  2. 确定要添加的信息：根据问题需求，确定需要在原有结构上添加哪些额外信息

  3. 验证新信息可以被维护：确保在基础数据结构的所有操作（插入、删除等）执行后，新添加的信息仍能被正确维护

  4. 实现新的操作：基于添加的信息，实现解决问题所需的新操作

设计原则

  • 局部性：新信息应能通过节点本身及其子节点的信息计算得出
  • 高效性：维护新信息的额外时间不应显著增加原有操作的时间复杂度
  • 必要性：只添加解决问题所必需的信息，避免冗余

动态顺序统计树就是一个典型的扩张例子：

  • 基础数据结构：二叉搜索树（BST）
  • 添加的信息：每个节点的size属性
  • 维护方式：插入 / 删除时更新路径上所有节点的size
  • 新操作：select和rank

14.3 区间树

区间树是一种支持区间查询的数据结构，它能高效地找出与给定区间重叠的所有区间。

区间表示与问题定义

  • 区间通常表示为[low, high]，其中low是区间的起点，high是区间的终点
  • 两个区间[a,b]和[c,d]重叠当且仅当a ≤ d且c ≤ b
  • 区间树的主要操作：插入区间、删除区间、查询所有与给定区间重叠的区间

数据结构设计

区间树基于 BST 扩展而来，每个节点存储：

  • 一个区间[low, high]
  • 以区间的low为关键字构建 BST
  • 额外添加max属性，表示以该节点为根的子树中所有区间的high的最大值

// 区间结构
struct Interval {int low;   // 区间起点int high;  // 区间终点Interval(int l, int h) : low(l), high(h) {}
};// 区间树节点结构
struct IntervalNode {Interval *interval;  // 区间int max;             // 子树中最大的high值IntervalNode *left;  // 左孩子IntervalNode *right; // 右孩子IntervalNode *parent;// 父节点// 构造函数IntervalNode(int low, int high) : interval(new Interval(low, high)), max(high), left(nullptr), right(nullptr), parent(nullptr) {}
};

区间树的类图：

@startuml
class Interval {- int low- int high+ Interval(int l, int h)
}class IntervalNode {- Interval* interval- int max- IntervalNode* left- IntervalNode* right- IntervalNode* parent+ IntervalNode(int low, int high)
}IntervalNode "1" *-- "1" Interval : contains
IntervalNode "1" --* "0..1" IntervalNode : left child
IntervalNode "1" --* "0..1" IntervalNode : right child
@enduml

核心操作实现

更新 max 值
// 更新节点的max值（自身high和左右子树max中的最大值）
void updateMax(IntervalNode *node) {if (node != nullptr) {node->max = node->interval->high;  // 自身区间的highif (node->left != nullptr && node->left->max > node->max) {node->max = node->left->max;}if (node->right != nullptr && node->right->max > node->max) {node->max = node->right->max;}}
}
插入操作
// 向区间树中插入新区间
IntervalNode* insertInterval(IntervalNode *root, int low, int high) {// 普通BST插入（以low为关键字）IntervalNode *parent = nullptr;IntervalNode **current = &root;while (*current != nullptr) {parent = *current;// 更新当前节点的max值if (high > (*current)->max) {(*current)->max = high;}// 继续查找插入位置if (low < (*current)->interval->low) {current = &((*current)->left);} else {current = &((*current)->right);}}// 创建新节点*current = new IntervalNode(low, high);(*current)->parent = parent;return root;
}
区间查询操作

查询所有与给定区间[low, high]重叠的区间：

// 检查两个区间是否重叠
bool overlap(Interval *a, Interval *b) {return a->low <= b->high && b->low <= a->high;
}// 查询与target重叠的所有区间
void queryOverlapping(IntervalNode *node, Interval *target, vector<Interval*>& result) {if (node == nullptr) return;// 先检查左子树if (node->left != nullptr && node->left->max >= target->low) {queryOverlapping(node->left, target, result);}// 检查当前节点if (overlap(node->interval, target)) {result.push_back(node->interval);}// 再检查右子树if (node->right != nullptr && node->interval->low <= target->high) {queryOverlapping(node->right, target, result);}
}

查询算法的流程图：

删除操作

删除操作需要在删除节点后更新相关节点的max值：

// 查找最小值节点（最左节点）
IntervalNode* intervalMinimum(IntervalNode *node) {while (node->left != nullptr) {node = node->left;}return node;
}// 区间树的替换操作
void intervalTransplant(IntervalNode *&root, IntervalNode *u, IntervalNode *v) {if (u->parent == nullptr) {root = v;} else if (u == u->parent->left) {u->parent->left = v;} else {u->parent->right = v;}if (v != nullptr) {v->parent = u->parent;}
}// 删除区间节点
IntervalNode* deleteIntervalNode(IntervalNode *root, IntervalNode *z) {if (z == nullptr) return root;IntervalNode *y = nullptr;IntervalNode *x = nullptr;// 确定要删除的节点yif (z->left == nullptr || z->right == nullptr) {y = z;} else {y = intervalMinimum(z->right);}// 确定y的孩子xif (y->left != nullptr) {x = y->left;} else {x = y->right;}// 更新x的父节点if (x != nullptr) {x->parent = y->parent;}// 替换yintervalTransplant(root, y, x);// 如果y不是z，则复制y的内容到zif (y != z) {// 保存z的区间指针以便后续释放Interval *oldInterval = z->interval;// 复制y的内容到zz->interval = y->interval;z->max = y->max;// 释放y的区间（因为已经转移给z了）y->interval = nullptr;delete oldInterval;}// 更新受影响节点的max值IntervalNode *p = y->parent;while (p != nullptr) {updateMax(p);p = p->parent;}// 释放y的内存if (y->interval != nullptr) {delete y->interval;}delete y;return root;
}// 查找包含特定区间的节点
IntervalNode* findIntervalNode(IntervalNode *root, int low, int high) {IntervalNode *current = root;while (current != nullptr) {if (current->interval->low == low && current->interval->high == high) {return current;} else if (low < current->interval->low) {current = current->left;} else {current = current->right;}}return nullptr;
}

综合案例：区间树的应用

下面是一个完整的区间树应用示例：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;// 区间结构定义
struct Interval {int low;int high;Interval(int l, int h) : low(l), high(h) {}
};// 区间树节点结构定义
struct IntervalNode {Interval *interval;int max;IntervalNode *left;IntervalNode *right;IntervalNode *parent;IntervalNode(int low, int high) : interval(new Interval(low, high)), max(high), left(nullptr), right(nullptr), parent(nullptr) {}
};// 辅助函数声明
void updateMax(IntervalNode *node);
IntervalNode* insertInterval(IntervalNode *root, int low, int high);
bool overlap(Interval *a, Interval *b);
void queryOverlapping(IntervalNode *node, Interval *target, vector<Interval*>& result);
IntervalNode* intervalMinimum(IntervalNode *node);
void intervalTransplant(IntervalNode *&root, IntervalNode *u, IntervalNode *v);
IntervalNode* deleteIntervalNode(IntervalNode *root, IntervalNode *z);
IntervalNode* findIntervalNode(IntervalNode *root, int low, int high);// 辅助函数实现
void updateMax(IntervalNode *node) {if (node != nullptr) {node->max = node->interval->high;if (node->left != nullptr && node->left->max > node->max) {node->max = node->left->max;}if (node->right != nullptr && node->right->max > node->max) {node->max = node->right->max;}}
}IntervalNode* insertInterval(IntervalNode *root, int low, int high) {IntervalNode *parent = nullptr;IntervalNode **current = &root;while (*current != nullptr) {parent = *current;if (high > (*current)->max) {(*current)->max = high;}if (low < (*current)->interval->low) {current = &((*current)->left);} else {current = &((*current)->right);}}*current = new IntervalNode(low, high);(*current)->parent = parent;return root;
}bool overlap(Interval *a, Interval *b) {return a->low <= b->high && b->low <= a->high;
}void queryOverlapping(IntervalNode *node, Interval *target, vector<Interval*>& result) {if (node == nullptr) return;if (node->left != nullptr && node->left->max >= target->low) {queryOverlapping(node->left, target, result);}if (overlap(node->interval, target)) {result.push_back(node->interval);}if (node->right != nullptr && node->interval->low <= target->high) {queryOverlapping(node->right, target, result);}
}IntervalNode* intervalMinimum(IntervalNode *node) {while (node->left != nullptr) {node = node->left;}return node;
}void intervalTransplant(IntervalNode *&root, IntervalNode *u, IntervalNode *v) {if (u->parent == nullptr) {root = v;} else if (u == u->parent->left) {u->parent->left = v;} else {u->parent->right = v;}if (v != nullptr) {v->parent = u->parent;}
}IntervalNode* deleteIntervalNode(IntervalNode *root, IntervalNode *z) {if (z == nullptr) return root;IntervalNode *y = nullptr;IntervalNode *x = nullptr;if (z->left == nullptr || z->right == nullptr) {y = z;} else {y = intervalMinimum(z->right);}if (y->left != nullptr) {x = y->left;} else {x = y->right;}if (x != nullptr) {x->parent = y->parent;}intervalTransplant(root, y, x);if (y != z) {Interval *oldInterval = z->interval;z->interval = y->interval;z->max = y->max;y->interval = nullptr;delete oldInterval;}IntervalNode *p = y->parent;while (p != nullptr) {updateMax(p);p = p->parent;}if (y->interval != nullptr) {delete y->interval;}delete y;return root;
}IntervalNode* findIntervalNode(IntervalNode *root, int low, int high) {IntervalNode *current = root;while (current != nullptr) {if (current->interval->low == low && current->interval->high == high) {return current;} else if (low < current->interval->low) {current = current->left;} else {current = current->right;}}return nullptr;
}// 打印区间
void printInterval(Interval *interval) {cout << "[" << interval->low << ", " << interval->high << "]";
}int main() {IntervalNode *root = nullptr;// 插入一些区间root = insertInterval(root, 15, 20);root = insertInterval(root, 10, 30);root = insertInterval(root, 17, 19);root = insertInterval(root, 5, 20);root = insertInterval(root, 12, 15);root = insertInterval(root, 30, 40);// 查询与[14, 16]重叠的区间Interval *target = new Interval(14, 16);vector<Interval*> result;queryOverlapping(root, target, result);cout << "与区间[14, 16]重叠的区间有：" << endl;for (Interval *interval : result) {printInterval(interval);cout << " ";}cout << endl << endl;// 删除区间[10, 30]IntervalNode *nodeToDelete = findIntervalNode(root, 10, 30);if (nodeToDelete != nullptr) {root = deleteIntervalNode(root, nodeToDelete);cout << "删除区间[10, 30]后，与[14, 16]重叠的区间有：" << endl;result.clear();queryOverlapping(root, target, result);for (Interval *interval : result) {printInterval(interval);cout << " ";}cout << endl;}// 释放内存delete target;// 完整的内存释放还需要遍历树删除所有节点，这里简化处理return 0;
}

运行结果：

思考题

  1. 如何在动态顺序统计树上实现范围查询（即查找所有关键字在 [a, b] 之间的元素），并计算该范围内元素的个数？

  2. 试设计一种基于红黑树的区间树，确保所有操作（插入、删除、查询）都能在 O (log n) 时间内完成。

  3. 如何扩展区间树，使其能高效支持 “查找包含点 x 的所有区间” 这一操作？

  4. 设计一种数据结构，支持在 O (1) 时间内查找最小值，在 O (log n) 时间内插入和删除元素，以及在 O (log n) 时间内查找第 i 小的元素。

本章注记

  • 数据结构的扩张是解决复杂问题的重要技术，其核心在于找到合适的基础结构和需要添加的信息
  • 红黑树常被用作扩张的基础结构，因为它能在 O (log n) 时间内支持插入、删除等操作
  • 除了本章介绍的动态顺序统计树和区间树，还有许多其他重要的扩张数据结构，如：
    • 线段树：用于处理区间上的范围查询和更新
    • 二叉索引树（Fenwick 树）：高效支持前缀和查询和点更新
    • 平衡二叉搜索树：如 AVL 树、Splay 树等，在 BST 基础上添加了平衡条件

        希望本章内容能帮助大家理解数据结构扩张的思想和方法。通过动手实现这些数据结构，相信大家能更深入地掌握其中的原理和技巧。如果有任何疑问或建议，欢迎在评论区留言讨论！

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&#x1f504; MyBatis SQL映射与动态SQL&#xff1a;构建灵活高效的数据访问层 &#x1f680; 引言&#xff1a;动态SQL是MyBatis框架的核心优势之一&#xff0c;它让我们能够根据不同条件动态构建SQL语句&#xff0c;避免了传统JDBC中大量的字符串拼接。本文将深入解析MyBati…
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v-model双向绑定指令

v-model双向绑定指令

文章目录前言v-model.lazy 延迟同步v-model.trim 去掉空格前言 v-model指令是Vue.js中实现双向数据绑定的一种重要机制。它可以将表单控件的值与Vue.js实例中的数据进行双向绑定&#xff0c;即当表单控件的值发生变化时&#xff0c;Vue.js实例中的数据也会随之更新&#xff0c…
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电脑IP地址是“169.254.x.x”而无法上网的原因

电脑IP地址是“169.254.x.x”而无法上网的原因

一、核心原因&#xff1a;自动私有 IP 地址&#xff08;APIPA&#xff09;的启用APIPA 机制&#xff1a;这是 Windows 等操作系统内置的一种 “备用方案”。当电脑设置为 “自动获取 IP 地址”&#xff08;通过 DHCP 协议&#xff09;&#xff0c;但无法从路由器、光猫等网络设…
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单片机存储区域详解

单片机存储区域详解

目录 单片机内存区域划分 boot引脚启动介绍 1. boot引脚的三大启动区域介绍 1.用户闪存（User Flash） - 最常用模式 2. 系统存储区（System Memory） - 出厂预置Bootloader区 3. 内置SRAM启动（RAM Boot） - 特殊调试模式 2.用户闪存（User Flash）内存管理详解 一、用户闪存中…
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Go语言实战案例:简易JSON数据返回

Go语言实战案例:简易JSON数据返回

在现代 Web 应用中&#xff0c;JSON 已成为前后端通信的主流数据格式。Go 语言标准库内置对 JSON 的良好支持&#xff0c;只需少量代码就能返回结构化的 JSON 响应。本篇案例将手把手带你完成一个「返回 JSON 数据的 HTTP 接口」&#xff0c;帮助你理解如何用 Go 语言实现后端服…
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扣子Coze中的触发器实现流程自动化-实现每日新闻卡片式推送

扣子Coze中的触发器实现流程自动化-实现每日新闻卡片式推送

基础知识 什么是触发器/能做什么 Triggers 智能体设置触发器&#xff08;Triggers&#xff09;&#xff0c;使智能体在特定时间或接收到特定事件时自动执行任务。为什么需要触发器&#xff1f;实操步骤 第1步&#xff1a;打开一个智能体编辑页第2步&#xff1a;技能 - 触发器 -…
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GitCode 7月：小程序积分商城更名成长中心、「探索智能仓颉！Cangjie Magic 体验有奖征文活动」圆满收官、深度对话栏目持续热播

GitCode 7月：小程序积分商城更名成长中心、「探索智能仓颉！Cangjie Magic 体验有奖征文活动」圆满收官、深度对话栏目持续热播

运营情况总结 &#x1f389; 截至7月底&#xff0c;GitCode 这个热闹的开发者社区&#xff0c;已经聚集了 656 万位开发者小伙伴啦&#xff01; &#x1f4bb; 产品&#xff1a;小程序积分商城更名为成长中心啦&#xff0c;更多功能将陆续上线。 &#x1f31f; G-Star&#xff…
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机器学习之支持向量机(原理)

机器学习之支持向量机(原理)

目录 摘要 一、概述 二、SVM算法定义 1.超平⾯最⼤间隔介绍 2.硬间隔和软间隔 1.硬间隔分类 2. 软间隔分类 三、SVM算法原理 1 定义输⼊数据 2 线性可分⽀持向量机 3 SVM的计算过程与算法步骤 四、核函数 五、SVM算法api介绍 1. 核心参数说明 2. 主要方法 3. 重…
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【Unity3D实例-功能-跳跃】角色跳跃

【Unity3D实例-功能-跳跃】角色跳跃

今天&#xff0c;我们来聊聊 Unity 里最常打交道的动作之一——角色跳跃。无论是横版闯关还是 3D 跑酷&#xff0c;跳跃都是让角色“活”起来的核心操作。在 Unity 里&#xff0c;几行脚本就能让角色一蹬而起、稳稳落地。下面&#xff0c;就让我们一起把这个“弹跳感”亲手做出…
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