一、树型结构

1.1 概念

我们之前提到的数组，单链表，栈和队列都是一种线性结构，每个元素都有最多一个后继节点。而树型结构是一种非线性结构，它是由n（n>=0）节点组成的一个具有层次关系的集合。它之所以叫做树型结构是因为它看起来像是一棵倒挂的树，根向上，叶子朝下。

1.2 特点

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的，树的子树也满足树的定义

☆ 树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树型结构

二、树

2.1 树的相关概念

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为3
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为3
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：K,L,F,G,M,I,J节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点,C是G的父节点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点，H是D的孩子节点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；如上图：B节点在第二层，L节点在第四层
树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：B、C、D、E...等节点为分支结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C、D是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：E、G互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

2.2 树的应用

文件系统管理

三、二叉树

3.1 二叉树的概念

我们在树型结构中提到，一个父节点可以有多个孩子节点，但是在二叉树中，一个父节点最多只能有两个孩子节点，称为左树和右树

我们可以看到

二叉树不存在度大于2的节点

二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

这是两个不同的二叉树，因为二叉树是有序树，所以不可以把他们看成是同一个树

3.2 两种特殊的二叉树

在二叉树根据节点不同的位置有两种特殊的二叉树

1.满二叉树：一棵二叉树，如果每层的节点数都达到了最大值，把每个位置都填满了，则这棵二叉树就是满二叉树。在数学层面上来说，如果一棵二叉树的层数为k，节点数为 $2^{k}$ -1，那么这棵二叉树就是满二叉树

2.完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为k的，有n个节点的二叉树，当且仅当每个节点斗鱼深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的节点一一对应时称之为完全二叉树

用更通俗的话去解释完全二叉树就是，最后一层所有的节点都要靠左，不可以有空位，最后一层上面的节点要和满二叉树一样铺满

3.3 二叉树的性质

若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 $2^{i-1}$ (i>0)个结点
若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 $2^{k}$ -1 (k>=0)
对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1)上取整
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

3.4 二叉树的储存

二叉树的储存结构分为：顺序储存和链式储存

我们这里将链式储存，顺序储存我们在之后的堆中会接触到

二叉树的链式储存是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方法有二叉和三叉表示方法

// 孩子表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
} 
// 孩子父亲表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent; // 当前节点的根节点
}

二叉表示法就是孩子表示法，节点储存该节点的值和左孩子的地址和右孩子的地址

三叉表示法就是孩子父亲表示法，节点除了储存值和孩子的地址，还会储存父亲节点的地址

3.5 二叉树的基本操作

3.5.1 二叉树的前中序遍历

前序遍历就是先访问根节点，再访问根节点的左孩子，最后是根节点的右孩子。在访问左孩子的时候依然是先访问根节点，也就是刚刚我们提到的左孩子，再是左孩子的左孩子，最后是左孩子的右孩子。显而易见，访问每个节点的方法都是一样的根左右，所以我们采用递归的方式进行遍历

中序遍历则是先访问左孩子，再访问根节点，最后是右孩子

后序遍历则是先访问左孩子，再访问右孩子，最后是根节点

前中后序遍历的代码都是异曲同工，很好掌握

前序遍历结构是：1 2 3 4 5 6

中序遍历结构是：3 2 1 5 4 6

后序遍历结构是：3 1 5 6 4 1

class Node{int val;Node left;Node right;
}
public class Test {// 前序遍历void preOrder(Node root){if(root==null) return;System.out.println(root.val);preOrder(root.left);preOrder(root.right);}// 中序遍历void inOrder(Node root){if(root==null) return;inOrder(root.left);System.out.println(root.val);inOrder(root.right);}// 后序遍历void postOrder(Node root){if(root==null) return;postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.println(root.val);}}

3.5.2 二叉树的层序遍历

层序遍历就是从第一层开始，从左到右，从上到下依次访问节点，我们采用队列来实现层序遍历。先在队列中加入根节点，然后进入循环，只要队列不为空就先删除队头节点并保存，再打印队头节点的值，之后加入该节点的左孩子和右孩子

   public void levelOrder(TreeNode root) {if(root == null) {return;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()) {TreeNode cur = queue.poll();System.out.print(cur.val+" ");if(cur.left != null) {queue.offer(cur.left);}if(cur.right != null) {queue.offer(cur.right);}}}

3.5.3 二叉树的常用操作

    //获取当前二叉树的节点个数public int getNodeSize2(TreeNode root) {if(root == null) return 0;return getNodeSize2(root.left) +getNodeSize2(root.right) + 1;}//获取叶子节点的个数public int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {if(root == null) {return 0;}if(root.left == null && root.right == null) {return 1;}return getLeafNodeCount2(root.left) +getLeafNodeCount2(root.right);}//第K层节点的个数public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) {if(root == null) {return 0;}if(k == 1) {return 1;}return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) +getKLevelNodeCount(root.right,k-1);}//二叉树的高度public int getHeight(TreeNode root) {if(root == null) return 0;int leftHeight = getHeight(root.left);int rightHeight = getHeight(root.right);return Math.max(leftHeight,rightHeight) + 1;}//查找是否有key值的节点public TreeNode find(TreeNode root,char key) {if(root == null) {return null;}if(root.val == key) {return root;}TreeNode leftResult = find(root.left,key);if(leftResult != null) {return leftResult;}TreeNode rightResult = find(root.right,key);if(rightResult != null) {return rightResult;}return null;}//判断树是否为完全二叉树public boolean isCompleteTree(TreeNode root) {if(root == null) return true;Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()) {TreeNode cur = queue.poll();if(cur != null) {queue.offer(cur.left);queue.offer(cur.right);}else {break;}}while (!queue.isEmpty()) {TreeNode cur = queue.peek();if(cur == null) {queue.poll();}else {return false;}}return true;}