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E 题 AI辅助智能体测
《国家学生体质健康标准》的颁布，有效地促进了大中小学生关注自身体质健康的发展，激励学生积极进行身体锻炼。通过在体育场地周边安装摄像头，可以对学生的体育动作进行实时捕捉，以便对学生的运动姿态进行分析。例如，在立定跳远教学中，通过记录并分析学生起跳瞬间的腿部发力动作、手臂摆动轨迹、身体腾空姿态以及落地姿势等一系列身体变化的细节数据，可以帮助教师全面了解每个学生动作的优点和不足，从而给出针对性的改进方案。
通过摄像头拍摄的图像，利用AI人体姿态估计技术可以定位复杂场景中小尺度人体的关键点位置。基于AI的人体姿态识别算法，可以对运动者的姿态进行跟踪，获得人体关键节点在运动过程中不同帧的运动视频和位置坐标信息。请建立数学模型，解决以下问题。
问题一、题意重述与数据理解
任务：给定两位运动者的跳远视频与逐帧关键点坐标（共 33 个关键点），判定起跳时刻与落地时刻，并描述滞空阶段（起跳至落地）的运动过程。
数据：附件 1 含“视频 + 位置信息 + 成绩”；位置信息为不同帧的 33 个关键点坐标（附件 2 给出关键点示意编号）。
目标输出：
- 精确帧号/时间的起跳与落地时刻；
- 滞空阶段的质心轨迹、速度/加速度、起跳角、初速度等运动学量及姿态演化（关节角、摆臂/屈髋策略）描述。
二、建模假设与坐标系 - 像素坐标系：视频坐标 ((x,y)) 以右向为正 x、下向为正 y（常见图像坐标），帧间隔 (\Delta t=1/f)（(f) 为帧率）。
- 平面近似：以 2D 关键点为主（若有多机位/深度可扩展至 3D，但本题以 2D 为主）。
- 质心（COM）近似：用关键点的加权平均近似人体质心（无体段权重时可先用等权平均，若有体段比例可引入 Dempster/De Leva 权重，作为进阶）。
- 滞空阶段气动阻力忽略：COM 轨迹近似抛物线（像素尺度上仍成立）；地面对脚部的接触判定由足部关键点运动学给出。
三、变量定义与数据结构
第 (t) 帧第 (i) 个关键点坐标：((x_{i,t},y_{i,t}))，(i=0,\dots,32)。
帧时间：(t=n\Delta t)，(n\in\mathbb{Z}{\ge0})。
质心：
等权近似：(\displaystyle x{COM,t}=rac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_{i,t},\quad y_{COM,t}=rac{1}{N}\sum_{i=1}^N y_{i,t})（(N=33)）。
加权近似：(\displaystyle x_{COM,t}=rac{\sum_i w_i x_{i,t}}{\sum_i w_i},\quad y_{COM,t}=rac{\sum_i w_i y_{i,t}}{\sum_i w_i})，(w_i) 为体段质量权重（可按段映射到关键点）。
数值微分：
其中 (s_) 可为 (x_{COM},y_{COM}) 或特定关键点坐标。
四、预处理与信号平滑
为降低关键点抖动与遮挡噪声，建议：
- 置信度筛选（若数据含置信度 (c_{i,t})）：低于阈值的点用插值/上次有效值替代。
- 空值插补：分段线性/三次样条。
- 平滑：Savitzky–Golay（窗长 (2k+1)、多项式阶 (d)），或三次样条/双向移动平均，兼顾不滞后与导数稳定。
- 时间同步：如存在多流数据，先对齐至统一帧号。
五、起跳与落地的多源判定策略（核心）
5.1 足部接触离地判据（主判据）
设左右脚关键点为 (\mathcal{F}L,\mathcal{F}R)（通常为“脚/踝/脚尖/脚跟”中的一个或多个；题给 33 点结构可由附件 2 对应到索引）。
组合足高：(\displaystyle y{foot,t}=rac{1}{2}ig(y{\mathcal{F}L,t}+y{\mathcal{F}_R,t}ig))。
像素坐标下 y 越大越靠下（近地）。
起跳（Takeoff）：从支撑期转入腾空，表现为
- (y_{foot,t}) 在起跳前出现快速减小（脚上抬）——导数 (dy_{foot}/dt<0) 峰值；
- 与此同时，COM 竖直速度 (v_{y,COM}) 由向下转为向上或达到向上峰值附近；
- 接触指示（如脚部与地面距离增加/脚踝脚趾相对运动指示腾空）。
落地（Landing）：从腾空回到接触，表现为 - (y_{foot,t}) 快速增大（脚下落）——导数峰值 (dy_{foot}/dt0)；
- (v_{y,COM}) 由上升转为下降并在之后靠近 0；
- 足部与地面距离回到最小、足部速度骤降。
实现上，常用组合指标提高鲁棒性：
在前半段取 (S_t) 的负峰（起跳），在后半段取正峰（落地）。并通过时序约束（落地时刻起跳时刻+最小飞行帧数）避免误检。
5.2 地面参考与阈值化（辅判据）
若能从视频/场地标线估计出地面 y 坐标 (y_{ground})，则以
(\displaystyle d_{foot}(t)=y_{foot,t}y_{ground})
进行阈值化（如 (d_{foot}<arepsilon) 视为接触），接触非接触的边界即为起跳，非接触接触即为落地。
若无显式地面，取跑道/坑边缘等静态像素线自动估计 (y_{ground})（RANSAC 拟合直线）或以脚跟/脚尖最小 y的运行最小值曲线作代理。
5.3 速度/能量一致性校验
起跳帧附近：(v_{y,COM}) 应接近正峰前或从负转正的过零点；
落地帧附近：(v_{y,COM}) 负向且接近谷值后回升；
水平方向：(v_{x,COM})（或髋 (v_{x,hip})）在滞空期近似常值。
六、滞空阶段的动力学与几何量提取
设检测得起跳帧 (t_{to})、落地帧 (t_{ld})，滞空区间 (\mathcal{T}={t\mid t_{to}\le t\le t_{ld}})。
6.1 抛物线拟合（像素域）
对 ((t,y_{COM}(t))) 在 (\mathcal{T}) 内做二次拟合
有效“重力”像素加速度：(\hat g=2a)（像素标度 + 摄影几何嵌入其中）。
飞行时间：(T=(t_{ld}t_{to})\Delta t)。
水平速度：(\displaystyle v_{0x}pprox rac{x_{COM}(t_{ld})x_{COM}(t_{to})}{(t_{ld}t_{to})\Delta t})（或线性拟合 (x_{COM}) 对 (t) 的斜率）。
起跳角（像素域近似）：
若能做尺度标定（如已知沙坑刻度/标线长度），将像素/帧米/秒，实现物理量化。
6.2 姿态时序（关节角）
以膝角为例，设髋膝踝三点为 \mathbf{H},\mathbf{K},\mathbf{A}：
滞空期内统计：
( heta_{knee}(t)) 的均值/极值/变化幅度；
手臂（肩–肘–腕）摆动角度与相位；
髋角（肩–髋–膝）反映屈髋抱膝策略。
七、可视化与结果呈现
- 足部 y–t 曲线（左右脚同图），标注起跳/落地竖线；
- COM 高度 y–t 与拟合抛物线；
- COM 竖直/水平速度–t；
- COM 轨迹 x–y（像素平面）；
- 关键帧骨架图（起跳瞬间、滞空最高点、落地瞬间）；
- 关节角–t（膝/髋/肩/肘）。
课堂演示时，建议将两位运动员的对应曲线同轴对比，便于讲评差异。
八、鲁棒性、边界情形与误差来源
抖动与遮挡：用置信度筛选 + 插值 + 平滑；对于短时遮挡，优先使用相邻关节的几何一致性重建（如胫骨长度近似常数）。
相机倾斜/透视：建议在跑道/沙坑边做单应性标定，把像素映射到“地面参考系”；至少做纵轴倾角校正，提高“高度/角度”解释性。
帧率低：起落时刻可落在两帧之间，报告帧级不确定度 (\pm0.5) 帧，并给出以 (\Delta t) 计的时间误差带。
不同人体比例：若使用等权 COM，会引入系统偏差；引入体段权重可减小误差。
阈值选择：足部接触阈值、导数峰检测阈值应通过留一交叉验证在训练组上确定，报告对阈值的灵敏度分析。
九、算法流程图与代码（可直接实现）
流程：数据读入 置信度/缺失处理 平滑 计算足部/COM 时序量 一致性峰值检测（起跳/落地） 滞空段拟合与参数估计 姿态角计算 可视化与报告。
代码部分：
问题二
-
研究目标与数据概览
目标：基于“纠正前/纠正后的姿态与成绩”和“个体体质特征”，找出显著影响跳远成绩的主要因素，并量化其重要性与边际效应。
数据
附件3：若干运动者纠正前、教练纠正姿势后的视频+关键点坐标+成绩（“成绩提升可较大幅度出现”提供天然干预前后对照）。
附件4：运动者个人体质报告（年龄、身高、体重、体脂率、肌肉/骨骼肌重量、水分、蛋白等体成分指标）。 -
整体方法论路线
- 特征工程（从姿态时序+体质报告中提炼“可生物力学解释”的中间变量）；
- 模型建构（多层/半参数/稀疏回归 + 非线性树模），做变量筛选与稳健性对照；
- 因果与对照设计（利用前后纠正的配对结构控制个体固定效应，估计“姿态纠正”的平均处理效应）；
- 可解释性（标准化系数、Elastic Net稀疏选变量、GAM平滑项、XGBoost/GBDT的SHAP重要性与PDP曲线）；
- 稳健性检验（多重共线、留一被试交叉验证、敏感性分析）。
- 特征工程（核心）
3.1 来自姿态时序（每次试跳，纠正前/后各一条记录）
以问题一的流程为基础（起跳/落地检测、滞空段判定），从每条试跳的33关键点时序中得到运动学要素：
起跳/落地与飞行
滞空时间：
COM 初速度：，起跳角：
COM 抛物线拟合参数 与拟合残差 RMSE（动作稳定性代理）
动力学代理（相对量）
助力摆臂幅度：滞空期上臂（肩–肘–腕）角度的峰谷差、摆动功率代理（角速度/角加速度 RMS）
下肢伸展与抱膝：膝角 、髋角 的最大伸展角、抱膝期的最小角、角度变化速率
身体前倾/躯干角：颈–髋–膝（或肩–髋–脚）构成的躯干俯仰角平均值与峰值
对称与协调：左右臂/腿相位差、协方差（协调性度量）
时序到标量的汇总方式（对每条试跳）：
统计量：均值/最大/最小/极差/标准差/RMS/峰度/偏度
频域要素：FFT 第一峰频率与幅值（摆臂频率）、能量分布比
形状匹配：DTW 与“理想模板”的距离（高级但加分项）
以上每项都可明确映射到“力学/技术要点”，便于论文“机制解释”。
3.2 来自体质报告（附件4）
体格：身高、体重、BMI、四肢相对比例（如可由身高估算，或来自姿态静态帧）
体成分：体脂率、肌肉重量、骨骼肌重量、水分、蛋白、去脂体重、内脏脂肪等级等
综合指数：肌脂比（肌肉重量/脂肪重量估计）、相对下肢肌量（若能分段更佳）
将体质指标与技术指标拼接成统一特征向量；对量纲差异做标准化（zscore）。
- 问题建模：两类核心问题
4.1 “成绩水平”的影响因素（横截面/混合效应）
令第 个运动者在第 次试跳（前/后）成绩为 （单位 cm），特征向量为 （包含姿态/运动学与体质），建立：
(a) 多元线性/稀疏回归
标准化系数便于比较影响大小；
用 LASSO/Elastic Net 做变量筛选，处理共线与小样本高维问题；
K 折交叉验证选择 。
(b) 半参数广义可加模型（GAM）
用平滑函数 捕捉非线性（如体脂率与成绩的非线性阈值效应）。
© 非线性集成模型（XGBoost/LightGBM）
获取特征重要性与SHAP 值，可视化边际效应（PDP/ICE）；
与线性系对比，验证变量影响的稳健性。
(d) 分层/混合效应模型（控制个体异质性）
为个体随机效应，吸收先天差异与未观测特质。
4.2 “成绩提升”的影响因素（配对/因果角度）
利用纠正前—后的配对结构，分析“姿态改变”带来的成绩增益 。
(a) 配对差分回归（控制个体固定效应）
是纠正后−纠正前的技术变量变化（如 摆臂幅度、抱膝角等）；
这样剥离了个体不变的体质与先天差异，直击“技术调整”的边际贡献。
(b) 处理效应（是否被“纠正”+纠正幅度）
若部分被试“纠正强度”不同，可引入二值/强度处理 与交互项：
近似平均处理效应， 则刻画“纠正与关键技术变量的交互”。
5. 候选“主要因素”清单（从理论与实践出发）
技术/姿态（强相关候选）
- 起跳角 与初速度分解 ：起跳角过小→垂直滞空不足；过大→水平位移损失；一般存在最优角附近的非线性。
- 摆臂贡献：摆臂幅度与速度（角速度/角加速度），与 的提升相关；
- 下肢伸展与抱膝：起跳瞬间的髋膝踝伸展幅度、滞空期抱膝角度与时机，影响滞空姿态与落地触地点；
- 躯干前倾与身体重心前移策略：影响 与落地区域；
- 动作稳定性：COM 轨迹拟合残差/角度波动（小→稳定）。
体质/体成分（中强相关候选）
6) 身高/下肢比例：影响摆动半径、可实现的 ；
7) 肌肉量/骨骼肌重量：与爆发力、伸髋伸膝能力相关；
8) 体脂率：过高→相对力量下降，过低→不一定劣但可能与肌量不足相关，呈U 形或阈值效应；
9) 体重：以相对力量（如力量/体重或肌肉/体重）更合理；
10) 水分/蛋白/去脂体重：反映肌肉状态与疲劳水合，对当日表现有边际影响。
-
变量选择与可解释性
筛选路径：先用Elastic Net（处理共线）→ 得到一组稀疏主因子；
用 GAM / XGBoost 检查非线性与交互（如 ×体脂率）；
重要性报告：
线性：标准化回归系数 排名；
树模：SHAP 值 TopN 排名，给出PDP（边际效应曲线）；
配对差分模型： 技术变量系数 的显著性与效应量。 -
统计检验与稳健性
交叉验证：K 折（或留一被试）验证泛化；
多重共线：VIF 检查，必要时做 PCA 降维；
敏感性分析：删去极端样本/低置信度帧重算；改变平滑窗长/阈值看结论是否稳定；
Ablation：仅用体质→仅用技术→二者合并，比较 /MAE/IC（秩相关）；
异方差与稳健标准误：White/HC 标准误；
多重比较：必要时 FDR 校正。
8. 结果呈现建议（论文/答辩）
表1：变量定义与物理含义（体质 vs 技术）
表2：主要模型的回归系数/显著性/标准化系数
图1：纠正前后成绩箱线图与提升分布（）
图2：SHAP 全局重要性条形图（Top10 因素）
图3：关键变量的 PDP 曲线（、体脂率、摆臂幅度…）
图4： 对 的散点回归（配对差分）
图5：Ablation 对比条形图（仅体质/仅技术/合并）
可复现实现代码
后续都在”数模加油站“…
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