凸四边形 $A BC D$ 有内切圆 $I$ , $\triangle DAB$ , $\triangle ABC$ , $\triangle BCD$ , $\triangle CDA$ 的内心分别为 $I_a$ , $I_b$ , $I_c$ , $I_d$ . $\triangle AI_bI_d$ , $\triangle CI_bI_d$ 的外接圆的外位似中心为 $X$ , $\triangle BI_aI_c$ , $\triangle DI_aI_c$ 的外接圆的外位似中心为 $Y$ . 求证: $\angle XIY=90^{\circ}$ .

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证明:

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设 $\triangle AI_bI_d$ 的外心为点 $O_1$ , $\triangle CI_bI_d$ 的外心为点 $O_2$ , 设 $\triangle BI_aI_c$ 的外心为点 $O_3$ , 设 $\triangle DI_aI_c$ 的外心为点 $O_4$ . 设 $\bigodot O_1$ 和 $\bigodot O_2$ 的内位似中心为点 $X^{'}$ , 设 $\bigodot O_3$ 和 $\bigodot O_4$ 的内位似中心为点 $Y^{'}$ .

$O_1$ , $O_2$ , $X$ , $X^{'}$ 共线, $O_3$ , $O_4$ , $Y$ , $Y^{'}$ 共线.

$O_1A/O_2C=\frac{\sin \angle I_bCI_d}{\sin \angle I_bAI_d}$ .

$IA/IC=\frac{R/\sin \angle IAB}{R/\sin \angle ICB}$ . $(R$ 为 $\bigodot I$ 半径)

$\angle IAB=\angle I_bAI_d=\frac{\angle BAD}{2}$ .

$\angle ICB=\angle I_bCI_d=\frac{\angle BCD}{2}$ .

$O_1O_2//AC$ . 同理, $O_3O_4//BD$ .

显然 $O_1I_d/O_2I_d=O_1X'/O_2X'=O_1I/O_2I=O_1I_b/O_2I_b$ . 所以 $I X^{'}$ 平分 $\angle O_1IO_2$ , $I_dX'$ 平分 $\angle O_1I_dO_2$ , $I_bX'$ 平分 $\angle O_1I_bO_2$ .

显然, $X$ , $X^{'}$ 调和分割 $O_1O_2$ , 进而可知 $XI\bot X'I$ , $XI_d\bot X'I_d$ , $X'I_b \bot XI_b$ . 由此可知 $X$ , $I_b$ , $X^{'}$ , $I$ , $I_d$ 五点共圆, 直径为 $X X^{'}$ .