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前言

高等数学通常仅是相对初等数学而言的，其内容并无身份确切的所指，大凡初等数学以外的数学均可包罗于其中，作为高等学校教学科目的高等数学，则一般仅包含解析几何、微积分以及常微分方程、级数论、概率论等初步知识。高等数学主要产生于17世纪，18世纪发展成熟。

文艺复兴时期，由于机械的广泛使用，航海事业的迅速发展，以及我国四大发明的西传，促使欧洲生产发生了大的飞跃。16世纪末荷兰资产阶级革命首获成功，17世纪40—80年代英国也完成了资产阶级的革命。在革命和生产的推动下，自然科学也得到了迅猛的发展。许多新的课题摆在科学家的面前，如随着航海时期的发展，需要精确测定地球的经纬度，制造精确的时钟，把握天体的运行规律等；采矿业的兴起，需要解决地下排水和通风的问题，需要改进熔炉等；在军事技术方面，火炮内部各种应力的研究、弹道学研究（空气阻力、弹着点、瞄准方法）等一系列力学问题需要解决；对于天体运行规律，如开普勒行星三大定律等的发现，也需要新的数学方法。正是在这种情况下，自然科学以神奇的速度发展起来，正如恩格斯所说：“如果说，在中世纪的黑夜之后，科学以意想不到的力量所兴起，并且以神奇的速度发展，那么，我们要再次把这个奇迹归功于生产。”“社会一旦有技术上的需要，则这种需要就会比十所大学更能把科学推向前进”。16—18世纪自然科学中最突出的进展是以力学为中心的实验科学的兴起。经过伽利略、开普勒、牛顿等大批科学家在近百年之中的辛勤工作，终于形成了经典力学的理论体系。在这一时期，“占首要地位的，必然是最基本的自然科学，即关于地球上物体的和天体的力学，和它靠近并且为它服务的，是数学方法的发展和完善化”。天文学和力学的发展，带动了数学，促进了解析几何和微积分等学科的创立。

16、17世纪科学思想和科学方法也正处于一个变革时期，在这个时期，到处是一片要求科学改革的呼声。培根呼吁“必须给人类的理智开辟一条与以前完全不同的道路”，以结束中世纪以来“知识状况既不景气，也没有哦很大进展”的现状。他提倡通过对自然现象进行“观察和实验”来得出正确的结论。伽利略进一步强调了在观察和实验中运用数学方法的作用，强调科学必须通过测量而追求定量的规律。这种“实验——数学方法”的思想，是划时代的，使当时许多自然科学家都十分重视数学在自然科学方法中的作用。由于重视与实际相结合，数学成为科学研究的推理根据。数学在自然科学方法中的地位得到确立。数学思想方法上的巨大变革，使有别于用静止观点研究的古代初等数学，而采用运动学的观点来研究解析几何、微积分等高等数学得以产生。

随着资本主义萌芽而产生，随着资本主义发展而发展的近代大学，对于高等数学的发展起着巨大的作用。英国牛津大学号称政治家的摇篮，而剑桥大学则被誉为科学家的摇篮。对微积分创立有巨大贡献的牛顿及其前辈华利斯（现译名为“华里斯”），巴罗均是剑桥的毕业生。对高等数学的创造和发展作出过重要贡献的数学家也多受过高等教育，笛卡尔曾攻读于波埃顿大学，惠更斯曾就读于莱顿大学和布勒达大学。瑞士巴塞尔大学曾培养出著名伯努利数学家族的几代数学家，特被培养出18世纪世界数学界中心人物欧拉。而巴黎理工科大学和巴黎高等师范学校则是培养数学家的著名学府。拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、蒙日等都与这两所大学密切相联。19世界关于高等数学的基本论著，绝大部份来源于巴黎理工科大学。就在今天，我们所有的数学论著豆子某种程度导自这一源泉。高等数学的发展对于培养高等数学人才和传播数学知识起到了巨大的作用。

数学知识长期的积累、数学思想方法的变革、生产和科学发展对数学的全新的要求以及数学人才的大量培养，为高等数学的产生和发展创造了充分的条件。高等数学终于在17世纪开创，在18—19世纪茁壮成长。

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解析几何学

高等数学建立的第一个决定性的步骤是解析几何学的创立。解析几何是几何、代数和一般变量概念结合的产物，它的出现是数学史上一件划时代的大事情，通常人们都把解析几何创建的功绩归于笛卡尔和费马。而把1637年笛卡尔《几何学》的出版作为解析几何诞生的标志。

几何学在古希腊有过较高的发展，欧几里得的《几何原本》在两千年间一直被人们奉若几何学的圣典。阿基米德，特别是阿波罗尼对圆锥曲线的研究更几乎成为千古绝唱。从古希腊起，在西方数学的发展过程中，几何学一直是至高无上的，而代数的方法却被忽视了。

代数学在东方（中国、印度、阿拉伯）虽然有有高度的发展，但东方数学却忽视了论证几何学之研究。因此，无论在古代的欧洲，还是在东方国家，都不具备产生解析几何的条件。

随着东方文化的西传，东方高度发达的代数也进入欧洲。伟大的文艺复兴运动使欧洲数学在古希腊几何学和东方代数学的基础上有了巨大的发展，为解析几何的创立准备了必要的条件。
古希腊阿波罗尼在研究圆锥曲线时，曾引用了两条正交直线作为一种坐标。稍后的天文学家依巴谷也运用经度和纬度标出天体上和地面上点的位置。我国西晋地理学家裴秀在地图绘制中也使用了平面网络坐标法。1486年法国奥雷斯姆在《论形状的大小》一书中，陈述了一种坐标几何，用坐标来确定点的位置。这是从天文地理代近代坐标几何之过度，坐标法之引入，架起了代数、几何融合的桥梁，为解析几何产生奠定来了基础。

1591年法国数学家韦达出版其《分析方法引论》。这是西方第一本符号代数学，他率先在代数学中系统地运用字母代替数量，用统一符号表示已知量、未知量及其运算。韦达还应用代数方法分析几何问题，笛卡尔曾说自己是继承韦达的事业。1607年英国哈里奥特著《实用分析学》，把韦达和格特拉底的思想加以引申和系统化，为解析几何建立铺平了道路。

笛卡尔在自然科学研究中，深感有必要建立一种普遍的数学，使算术、代数和几何统一起来。他认为欧式几何的每一个证明，总是要求某种新的，往往是奇巧的想法，他批评希腊人的几何过于抽象，且过多依赖于图形，以至“它只能使人在想象力大大疲乏的情况下去练习理解力。”他对于当时流行的代数也加以批评，说它完全受法则和公式的控制，以至于“成为一种充满混杂和诲暗，故意用来阻碍思想的艺术，而不像一门改进思想的科学”。他主张吸收代数和几何中一切最好的东西，取长补短，融合为一门新的数学。笛卡尔开始用代数的方法研究几何学，经过二十多年的探索，他终于创立了解析几何学。

• 1618年末，笛卡尔采用两条正交直线解决了自由落体问题。
• 1619年，他研究了求两个已知量的两个比例中项问题。同年11月，他悟出了建立把代数方法应用到几何中去的新方法的关键在于借助坐标系建立起平面上的点与数的对应关系，从而可用方程表示曲线。
• 1620年前后，他证明了四次方程 $x^4+p{x}^2+qx+r=0$ 的根可以通过抛物线和圆的交点求出。
• 1628年他发表了《指导思想的规则》，注意到为使“数形结合”，必须考虑到横坐标和纵坐标间的依存关系。
• 1637年6月8日，其《几何学》以其《方法论》的附录形式问世，明确提出了曲线方程的思想，并用此解决许多几何作图问题。

在这里，笛卡尔有两个基本观点。（1）坐标观念。与前人不同，笛卡尔认为坐标不仅表示点的位置，而且可通过把点动成线的观点具体应用到建立曲线的方程上；（2）方程观念。笛卡尔不仅把方程看成是未知数与已知数的关系式，而且更多地看成是两个变量间的关系式，把互相关联的两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线。这正是对应处理几何曲线十分有效的新方法的思想基础。

笛卡尔在研究用代数方程表示几何曲线，用代数方法解决几何问题时，曾遇到一个障碍，就是所谓齐次原则。在16世纪以前的西方数学家沿用古希腊的一个原则，由于长度、面积和体积之间不能互加，表示几何量之间关系的代数式也只能是齐次的，假如用 $a,b,c$ 表示线段之长，则 $a^2,ab,bc$ 等就表示面积，$abc$ 就表示体积，那么 $a+ab+abc$ 之类的代数式就无意义了，如果不能赋予 $a+ab+abc$ 之类的式子以新的解释，用代数方程表示曲线将遇到极大的困难，笛卡尔在《几何学》开头，便找到一个十分巧妙的解决方法，他通过引入单位数的方法，使所有几何量都可以通过单位数而变成统一数表示，进而使几何量之间的关系均化成数之间的关系，例如 $ab$ 不能理解为面积，而看成是满足 $ab:b=b:1$ 的一条线段，这样以来，$a+ab+abc$ 之类的式子便有来意义，齐次原则问题获得了解决。

笛卡尔在解析几何创建中作出了重大贡献。不过，单纯使用坐标系并不是其革新，而如现在用直角坐标系研究曲线，圆锥曲线的方程乃解析几何另一创始人费尔马（现译名为“费马”）的工作。笛卡尔取得的成就在于：他证明了几何问题可以归结为代数形式的问题，因此在求解时可以运用代数的全部方法；由于代数语言远较于几何语言富有启发性，所以问题形式改变后，只要进行一些代数变换，就可以发现许多出呼预料的性质，往往还可以找出一些新的几何关系，这些关系往往是希腊人拿出全部技巧都不一定能发现的；由于笛卡尔用代数语言表示几何性质，使他获得了许多几何定理的简单证明，而若沿用传统的综合几何的方法证明往往十分困难。笛卡尔的方法可以把任何疑难命题的证明归结为一种代数技巧，掌握它是十分容易的。

笛卡儿的坐标系是不完备的，没有考虑到横坐标的负值情况，也没有自觉地引进第二条坐标轴（纵轴）。笛卡儿使方程和曲线结合起来的思想往往拘泥于解决几何问题，而未能在此思想基础上从几何与代数两个方面展开深人的研究，尽管如此，笛卡儿在创建解析几何过程中的功绩是永远不可磨灭的。

和笛卡儿分享解析几何创立人荣誉的是他的同胞费尔马，费尔马深入研究古希腊阿波罗尼的著作，发现阿波罗尼轨迹问题之证明方法已失传，他便从补齐这种证明方法开始，通过坐标法试图把代数方法应用于几何学，研究各种曲线的性质。费尔马还具体研究了直线、圆和其它圆锥曲线的方程，注意到了坐标轴可以平移和旋转，并以此来化简方程，他肯定一次方程表示直线，二次方程表示圆锥曲线。和笛卡儿研究解析几何不同，费尔马还没有完全克服阿波罗尼静态地研究几何曲线的影响，仍带有浓厚的古典色彩。费马尔虽然于1629年便已发现解析几何基本原理，比笛卡儿发表《几何学》早8年，但其著作死后才出版，这就使笛卡儿在解决几何发明优先权方面占了上风。

开创初期的解析几何并不完善，日后经过许多数学家在各方面作了大量的修正补充，才日臻完善．其中贡献最大的是欧拉、拉格朗日和蒙日。

1655年英国华利斯在《论圆锥曲线》一书中首次引进负的纵横坐标，使解析几何得以在整个坐标平面内研究各种曲线。华利斯还突破把圆锥曲线仅看成是圆锥的平面截线的传统观念，用二元二次方程来定义它。1717年英国斯特林更进一步把普通二次方程 $f(x,y)=0$ 化为若干标准型。

1729年法国赫尔曼在牛顿、雅各·伯努利工作的基础上，提出了完整的极坐标概念，给出了直角坐标和极坐标的变换公式．欧拉第一个在坐标中使用三角函数，给出了极坐标的现代形式，同时还引进了曲线的参数表示。

从17世纪中叶开始，解析几何由平面推广到空间。1679年法国拉·希尔在《圆锥曲线新论》里，对三维坐标几何作了较为特殊的讨论。1715年约翰·伯努利首先引进了我们现代通用的三个坐标平面。在此基础上数学家们展开了对空间解析几何的研究。至此，解析几何已成为一门系统的数学学科。1748年第一本现代意义下的解析几何教程终于出现，这就是欧拉的《分析引论》。书中除了给出现代形式下的解析几何的系统叙述，还给出了空间坐标变换公式和六种二次曲面的标准形式。

继欧拉之后，法国蒙日对空间解析几何作了大量的研究。1802年他与他的学生阿歇特合写论文《代数在几何中的应用》，证明二次曲面的第一个平面截口是一条二次曲线，且平行截面截得的都是相似的二次曲线。论文还证明了单叶双曲面和双曲抛物面均直纹曲面。解析几何再一重要发展是由拉格朗日完成的。1788年他在《解析力学》中以类似后来的向量形式表示力、速度、加速度等具有方向的量。拉格朗日的工作在19世纪80年代初，由吉布斯和亥维赛德各自独立地发展为向量理论。向量代数的出现立即对解析几何产生深刻的影响，几何又一次从代数中吸收了新的活力。向量代数成了解析几何的重要组成部分。至此，解析几何成为一个具有完整体系的成熟的数学分支。它又为代数几何、泛函分析等分支奠定了基础。

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微积分学

微积分的发明不仅是17世纪科学史的荣耀，而且也是自有人类科学以来重大的事件之一。微积分的创立首先是为了解决17世纪力学科学问题，主要是以下四类问题：

• （1）运动学问，物体运动的距离可以表示为时间 $t$ 的函数 $s=f(t)$，求物体在任意时刻的速度和加速度：反之，已知物体运动的加速度为时间 $t$ 的函数，求速度和距离。根据物理学原理，每一个物体在运动的每一时刻必定有瞬时速度。沿用过去求平均速度的方法求 瞬时速度显然不合适；因为这会出现一而变得毫无意义。
• (2）求曲线的切线，这不仅仅是个纯数学问题．在进行光学研究，设计透镜时，都必须知道光线人透镜的入射角，而入射角与透镜曲线的法线有关，法线是垂直于切线的；再者运动物体在其轨道上任一点处的运动方向即轨迹的切线方向。
• (3）函数的最大最小值问题．如求解炮弹射程最远的发射角问题。
• (4）求曲线长，求曲线围成的面积，曲面围成的体积等问题。此外还有求物体的重心等问题。

导致微积分出现的这些问题，不少在古代便已引起数学家的注意。公元前5世纪，古希腊哲学家赫拉克利特凭借直觉，从哲学上提出了无穷小的概念。稍后的德漠克利特把哲学的原子论引进数学，并用以求得锥体体积是等高柱体的一。公元前4世纪，欧多克斯在安提丰等人提出的不断增大圆内接（外切）正多边形的边数，可使正多边形与圆同面积的思想基础上，提出确定面积和体积的一般方法——“穷竭法”。阿基米德应用穷竭法求出了圆、抛物线等所围图形的面积，以及球、圆柱、旋转二次曲面所围立体的体积。中国古代亦有一些杰出的发现，庄子提出“一尺之棰，日取之半，万世不竭”，有了极限思想萌芽，墨子提出“莫不容尺、无穷也”，已有“无穷大”的思想，而刘徽的“割圆术”和祖暅的“开立圆术”更是了不起的贡献。这种种情况说明微积分思想的萌芽在古代便已出现。

从15世纪下半叶，人们开始对前面提到的求速度，加速度、长度、面积、体积、重心等问题发生了浓厚的兴趣，进行了深入的研究。1615年开普勒发表《新空间几何》，用无数个同维的无穷小元素之和来确定曲边形面积和各种体积。这部著作曾被夸张地称为历来所有求积方法的灵感的源泉。伽利略研究了距离、速度、加速度之间的关系，阐述了抛物体的运行规律。伽利略的学生卡瓦列利在《不可分连续量几何》(1635）中，提出不可分量的原理和方法。认为线是由点构成的，就象链是由珠子穿成一样；面是由平行的直线所构成，就象布是由线织成的一样；立体是由平行的平面所构成，就像书是由页所组成的一样、点、平行线、平行平面分别叫做线、面、体的不可分量。在此基础上提出了著名的卡瓦列利原理（祖暅原理）。1638年笛卡儿把曲线的割线在两交点趋于重合时的极限位置看作为曲线的切线。同年，费尔马研究极值问题时，已掌握微积分的一个重要思想方法，先是将变量稍加改变，然后令改变量为零。不少数学家，如拉格朗日、拉普拉斯、傅里叶等曾称他为“微积分的真正的发明者”。与此同时，罗伯瓦尔用不可分量方法求得许多曲线，特别是蚌线和摆线的面积，并从运动学的思想出发，作出了这些曲线的切线。帕斯卡改进了不可分量方法，得出求摆线绕其平面上的特殊直线旋转而得旋转体的体积以及确定该旋转体重心的方法。他还得到相当于某些基本三角积分的结果。惠更斯明确引入无穷小量概念，提出曲线图形的求积法。华利斯在《无穷小算术》(1665）中，改变了求积问题传统的几何解法，引入了相当于定积分和变量极限的概念。1669年巴罗发表《光学和几何学讲义》，在求切线过程中运用了“特征三角形”，这对牛顿和莱布尼兹是有影响的。巴罗还得到了类似于积、商微分公式，幂的微分，曲线弧长，定积分中变量代换以及隐函数的微分等一系列成果，特别是他证明 $\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}2dx=2$ 这个关系式（巴罗是用
几何形式表达的，现改用现代符号表示），触及到微分与积分互逆关系的微积分基本原理，巴罗的著作在微积分的发展中标志着一个重要的里程碑。有的数学史家认为巴罗是无穷小分析的第一个发明人，这不是没有理由的。微积分的先驱者们对纷繁众多的有关微积分问题作了长期的研究，取得很多成果，但都没有形成理论和普遍适用的方法，微积分仍在孕育之中。

17世纪后半期，做为一门科学，微积分最后创立的条件已经成熟，需要有人把无穷小量分析中涉及到的观点、方法和发现，组成以不同于过去的独特的算法为其特征的一门新的科学。费尔马没能够作到这一点，他未能将其方法加以系统化广泛化，也没有认清切线问题和求积问题是一个问题的两个重要侧面，涉及到两种互逆的运算。巴罗虽是第一个认识到这种互逆关系的人，但他未能意识到他的定理竟是一个新学科的基石，完成最终创建微积分的历史重任落在了巴罗的学生牛顿和另一位德国学者莱布尼兹身上。

牛顿是从物理观点出发来研究数学的，他创立的微积分——流数术的原理同他的力学研究有关密切联系。

• 1665年5月20日，在牛顿的一页文稿中出现了“流数术”的记载，这一天往往被看作微积分之诞生日，1669年，他完成了第一篇微积分论文《运用无穷多项方程的分析学》（1711年发表），给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的普遍方法；通过证明面积可以由求变化率的逆过程得到，揭示了微积分的基本性质。
• 1671年，牛顿著《流数法和无穷级数》(1736年发表），给出了一套求导数，求积分的具体的运算方法。
• 1687年，牛顿出版经典巨著《自然哲学的数学原理》，第一次公开发表了微积分的重要成果。

德国数学家莱布尼兹也是独立完成微积分创建工作的伟人．莱布尼兹创立微积分的途径和方法与牛顿不同，主要是在研究曲线的切线和面积问题时，运用分析学方法引进微积分概念的。从1673年起，莱布尼兹就开始了对无穷小算法的研究，终于在1675—1676年间独立地发现微积分。当时他称之为“无穷小算法”。1684年他发表第一篇微分学论文《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无穷量，以及这种方法的奇妙类型的计算》。这篇仅6页的论文是数学史上最早公开发表的微分学论文，它明确给出了微分的定义和若干函数的和差积商的微分法则，1686年，又发表其第一篇积分学论文《潜在的几何与分析不可分和无限》，给出了对数函数和指数函数的微分，并讨论了曲率、密切圆和包络理论，他以求曲边形面积为出发点得到积分概念，把积分看作无穷小之和，并引入积分符号，莱布尼兹也发现了微分和积分的互逆关系。

牛顿和莱布尼兹从不同的角度进行研究，但殊途同归，都独自完成微积分之创建工作，他们的主要功绩在于：

• （1）把各种问题（求速度、加速度、切线、弧长、面积、体积等）解法统一成一种方法，即微分法和积分法；
• （2）有明确计算微积分的方法步骤；
• （3）证明微分法和积分法的互逆关系，从而使微分学和积分学成为一个完整的体系，由于牛顿和莱布尼兹的工作，微积分运算的完整性和应用的广泛性得以揭示，微积分成为解决问题的重要工具。

牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。然而牛顿和莱布尼兹的工作却又各具特色，并不雷同，在微积分研究内容方面，牛顿先有导数概念，后有积分概念；莱布尼兹则先有求积概念，然后有求导概念。牛顿以无穷小量“瞬”作为出发点，只是后来为了证明它才引进了有限差；莱布尼兹则从有限差出发，以类比过渡到无穷小。牛顿重的是“实体”概念：“瞬”（不可分量，无限小）与有限量，然后发现它们彼此过渡的运算具有某种可逆性；莱布尼兹则注重“关系”概念，一开始就得出 $\int$ 与 $d$ 是两种互逆运算，至于它们施行于什么实体上，则是次要的。最后这一区别可以说明为什么牛顿对无限小的逻辑基础十分关心，而莱布尼兹却始终不大关心严密性问题。从研究的方法上看，牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼兹高一筹；但莱布尼兹的表达形式简洁又准确，胜过牛顿，强有力促进了微积分的发展，牛顿自由地用级数表示函数；而莱布尼兹却宁愿用有限的形式．从工作方式来看，牛顿是经验的、具体的和谨慎的；而莱布尼兹是富于想象的、喜欢推广的而且是大胆的微积分的出现，大大改换了数学的面貌。随着人们对微积分的重大价值的逐渐发现，也出现了两场重大的争论。

• 一场争论是关于微积分发明优先权的论战。牛顿和莱布尼兹都对微积分的创建作出杰出贡献．他们在总结前辈工作的基础上，各自独立完成了这一空前盛业．但由于狭隘的民族偏见，竟发生了优先权的争论，前后绵延了一百多年．这场无谓的争论使欧州数学家分裂成两派：大陆派和英国派。争论的结果使英国和大陆的数学家停止了思想学术的交流，英国数学界陷入沉寂，落后了近一个世纪．而大陆的数学家继续研究莱布尼兹的分析法，陆续出现了伯努利家族、欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等大数学家，呈现出一派兴旺景象。
• 另一场争论是关于微积分理论基础的论战。微积分来源于实践，又含有丰富生动的具体内容，解决大量初等数学所未曾解决的实际问题。但在它的诞生初期，还缺乏严格的逻辑基础，甚至包含某些逻辑上的混乱，引起所谓第二次数学危机。矛盾集中在牛顿、莱布尼兹赖以建立这门科学的基础——无穷小量上．牛顿的瞬（无穷小）有时是零，有时又不是零而是有限的小量。莱布尼兹的 $dx,dy$ 也不能自圆其说。他们在推导导函数的过程中，一开始就把变量的增量当成微分，然后对中间出现的一些项，采取“用魔术变掉”和“暴力镇压”的方法，通过错误的数学途径得到了正确的结果，从而使微积分蒙上了神秘的色彩。由于没有清楚的无穷小概念，也就没有清楚的导数、微分和积分等概念。无穷大概念亦不清楚。对于级数的敛散性不加考虑，也不考虑连续性就进行微分，不考虑导数、积分的存在性以及可否展成幂级数等，微积分基础存在的不足，使它遭到了以大主教贝克莱为代表的宗教界人士的大肆攻击。贝克莱1734年曾嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”极尽挖苦之能事，贝克莱之流的攻击决不是建设性的，但他们也确实击中了问题之要害。马克思曾称这个时期的微积分为“神秘的微分学”。

尽管微积分初期逻辑上有缺陷，但它在实践方面的胜利，却使人们足以信服其威力，连贝克莱也不得不说：“流数术是一把万能的钥匙，借着它近代数学家打开了几何以至大自然的秘密”。而大部数字家则暂时搁下逻辑基础不顾，勇往直前去开避新的园地。达朗贝尔有句名言，现在是“把房子盖得更高些，而不是把基础打的更加牢固。”“向前进！你就会产生信念！”

在英国，牛顿的弟子罗·库兹详细地研究了微积分的应用，并编制了积分表．1715年，泰勒发表了《增量方法及其逆》，奠定了有限差分方法的基础，得到著名的单变量函数幂级数展开的泰勒公式，在公式证明中没注意到收敛性问题。严格的证明是由一个世纪后的柯西给出，泰勒级数的重要价值半个世纪后才被拉格朗日所认识，并试图以此作为基础建立全部分析学。19世纪，维尔斯特拉斯（现译名为“魏尔斯特拉斯”）用幂级数观点建立起复变函数的理论。1730年，棣莫佛（现译名为“棣莫弗”）著《关于级数和求积的综合分析》，大大扩充了微积分学的范围。1742年，马克劳林（现译名为“麦克劳林”）著《流数论》，系统地解说了牛顿的方法，提出了马克劳林级数。《流数论》有力地捍卫了牛顿，驳斥了贝克莱主教的攻击，在分析学方面有所作为的英国数学家还有斯特林、约翰·兰登等，但由于优先权之争，兰登以后一个多世纪，英国没出过第一流数学家。拉兰得曾感叹：“1764年以后英国没有一个第一流的分析学家！”

而18世纪的欧洲大陆，在伯努利家族激励下，微积分正迅猛地成为一种有巨大分析力的工具，一种用精巧的符号表示出来的科学。伯努利家族是世界数学史上一个人才辈出，产生过数十名数学家的著名的数学家族。雅各·伯努利和约翰·伯努利兄弟把莱布尼兹的学说发扬光大．他们解决了曲线的曲率、法包线、拐点、曲线弧长等课题。18世纪对微积分发展贡献最大的数学家是约翰·伯努利的学生欧拉。他的《无限小分析引论》(1748)、《微分学》(1768-1780)、《积分学》(1770）都是里程碑式的著作．他证明了多元函数的微分与次序无关的定理；得出了全微分的可积条件；给出了求未定型 $\frac{\infty }{\infty },\infty -\infty$ 极限的法则，并把导数作为微分学的基本概念.在积分学方面，欧拉明确提出了不定积分和定积分的概念，并给出了不少求定积分的基本方法.

18世纪后期，法国数学又崛起，出现了大批对微积分发展有重要贡献的数学家，如拉格朗日、达兰贝尔、拉普拉斯、勒让德、傅里叶等。1797年拉格朗日出版其巨著《解析函数论》。他是认识到微积分的基础处于完全不能令人满意的状态，从而试图使微积分严谨化的最早的第一流的数学家。他企图抛弃无穷小概念，在泰勒级数基础上建立起全部分析学，未能成功，在此书中提出了著名的泰勒公式的拉格朗日型余项．拉格朗日还将分析学方法应用于力学等研究，大量发展了微分方程理论，奠定了现代力学的基础，拉普拉斯称拉格朗日的论文是“分析学家的杰作，因为它的主题重要，方法漂亮，技巧精美。”这正反映了拉格朗日做为第一位真正的分析学家的特点。傅里叶是公认的法国分析学派的代表，现代数学分析中经常用到的傅里叶级数、傅里叶积分、傅里叶变换就是以他的名字来命名的。

微积分在18世纪获得了巨大发展．沿着牛顿、菜布尼兹开创的道路，经过许多技巧高超的分析学家的努力，微积分从少数几个尽管天才，但毕竟单薄的概念发展成为内容丰富，领域广阔的学科，其中包括常微分方程、偏微分方程、变分法这样一些重要分支。18 世纪的数学家们冲破了传统的欧几里得演绎框架、热情地从自然界、自然科学以及社会生活的多方面汲取灵感，不倦地探索新的概念、技巧和成果。但所有这些都是建立在不严格的基础上的。比如函数的概念很模糊，无穷级数不考虑敛散性，任意进行形式的运算．拉格朗日在《解析函数论》中竟认为连续函数一定可微，并一定可展成幂级数。这种不严格情况妨碍了微积分的进一步发展．只是由于18世纪分析学发展迅猛，简直令人眼花缭乱，使人们来不及检查和巩固其理论基础。雕琢已有成果，赋予新发明以严密的逻辑基础，只好把这个历史任务留给下一世纪。

19世纪20年代，分析学许多迫切问题已基本上得到解决，数学家们于是转向微积分基础的重建。这方面工作可以说始于捷克波尔查诺，他首先举出连续不可微函数的例子，为数学严格化指出了应遵循的方向，但却没有在当时引起同行们的注意。首先把分析建立在严格基础上的是柯西。他于1821年发表《分析教程》。以极限作为微积分的基础。他不是采用几何或力学的直观方法定义极限，而是用数、变量和函数给出。进一步将无穷小定义为以零为极限的变量，相应地也定义了无穷大。在此基础上，柯西严格地定义了函数的连续、导数和积分，研究了无穷级数的收敛性。其后，1826年阿贝尔对连续函数级数进行研究，指出要严格限制滥用级数展开及求和。而级数一致收敛的概念20年后才被斯托克斯和塞得尔提出。1829年狄里克雷给出了函数的现代定义。在这些工作基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切之处，建立了极限理论中的 $ϵ-\delta$ 方法，确定了一致收敛性的概念。他还举出了处处连续、处处不可微的函数例子，这样，经过布尔查诺、柯西、维尔斯特拉斯以及康托等数学家不懈地努力，在潜无穷的意义下，建立了较严格的极限理论，以 $ϵ-\delta$ 的描述方法代替了无穷小量的方法，以求增量、算比值、取极限的三步曲方式建立求导法则，从而在数学推理形式上解决了贝克莱主教之流的诘难，微积分理论有了较扎实的理论基础。

但是，分析的严格化最终还需仰赖于实数理论和集合论。1872年，在德国同时出现了 实数三大派理论：

• 戴德金在《连续性与无理数》中阐述了他的实数分割理论；
• 康托在《数学纪事》上发表了他关于无理数的基本序列理论；
• 维尔斯特拉斯提出用递增有界数列定义无理数。

这三种实数理论是等价的。1892年，巴赫曼提出用区间套原理建立实数理论。戴德金、康托和维尔斯特拉斯的实数理论，刻划了实数集的有序性、稠密性、完备性（连续性）等性质，使微积分这座大厦有了坚固的基础。1883年康托建立集合论。集合现已成为数学最基本的概念。集合论的观点和思想方法已渗透到数学几乎所有的领域，使数学的基础变得严密可靠。实数理论、集合论和柯西、维尔斯特拉斯的极限论使微积分理论建立在巩固的逻辑基础上，结束了近三百年来的混乱局面，并推动了函数论的发展。

1960年美国数理逻辑学家鲁滨逊创立非标准分析。他利用数理逻辑模型论，成功地构造出实数集 $R$ 的一个非标准模型 $R^{\ast }$，引入了新型的数——无穷小量，在严密的逻辑基础上，建立起一种新的分析理论。它以逻辑的合理性消除了莱布尼兹无穷小的神秘性，并以数量化的方法表现“无限趋于0的过程”，更深刻地揭示了微积分的本质。无穷小量在严格的数学中又占有了一定的地位。

微积分传人我国的第一部著作是清代李善兰和伟烈亚力合译的《代微积拾级》十八卷（1859)，它译自美国罗密士的《解析几何与微积分》(1850)，全书包括解析几何、微分学和积分学三部分，基本上相当于现在的《高等数学》该书许多译名已保留至今。如 $differential$ 译为微分，$integral$ 译为积分，$function$ 译为函数，$limit$ 译为极限等。稍后晚清数学家华蘅芳对微积分的传入也有突出贡献。他所译《微积溯源》内容更丰富，水平也较高。

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级数理论

级数理论是数学分析的重要内容之一，其研究的中心问题是如何用级数来表示已知的函数（即把函数展开为级数），以及研究由函数所展开成的级数的敛散性，由于级数具有结构简单的特点，所以成为研究函数的一个有力工具。

在历史上，级数出现的很早，亚里士多德在公元前4世纪就知道公比小于1（大于0)的几何级数具有和数。14世纪奥尔斯姆就通过类似现代教科书中的方法证明了调和级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$发散到 $+\infty$ 。

级数真正被大量应用还是在17世纪建立微积分时开始的。1669年牛顿发现了著名的牛顿二项式定理，对于任意实数 $c$，函数 $(1+x)$ 都可以写成 $x$ 的幂级数$\sum a_k{x}^k$ ，即

$$(1+x{)}^c=1+cx+c(c-1)\frac{x^2}{2}+\cdots +c(c-1)\cdots (c-n+1)\frac{x^n}{n!}+\cdots$$

而在1668年默卡托尔曾发现了对数的幂级数

$$\log (1+x)=x-\frac{x^2}{x}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$$

为了要制定精确度较高的函数表。1670年格列哥里，1676年牛顿先后独立发现了格列哥里——牛顿内插公式．这个公式是把函数展开为幂级数的最初方法。牛顿将其流数术方法和将函数展开成无穷级数的技巧结合起来，使之成为更加强有力的方法，用无穷级数他解决了一些过去无法解决的问题。他由除法得到

$$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots ,$$

然后利用级数，很容易计算出 $y=\frac{1}{1+x^2}$ 图形下的面积。他利用二项式定理求得

$$\sqrt{1-x^2}=1-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{8}{x}^4-\frac{1}{16}{x}^6-\cdots .$$

在牛顿手中，无穷级数已成为其微积分的基本工具．他同时还获得了三角函数、对数函数等的级数展开式。

1715年泰勒通过对格列哥里——牛顿内插法的研究，提出了著名的奉勒公式，发明了将函数展成无穷级数的一般方法：

$$f(x+h)=f(x)+h{f}^{\prime }(x)+\frac{h^2}{2}{f}^{\prime \prime }(x)+\cdots +\frac{h^n}{n!}{f}^{(n)}(x)+\cdots$$

泰勒公式虽然使任意单变量函数展开担他对该定理的证明并不严谨，也没有考虑级数的收敛性。

形如
$$f(x)=f(0)+x{f}^{\prime }(0)+\frac{x^2}{2!}{f}^{\prime \prime }(0)+\cdots +\frac{x^n}{n!}{f}^{(n)}(0)+\cdots$$的幂级数展开式是泰勒级数的一种特例。早在1717年斯特灵就对代数函数给出了这种特例，后于1730年对一般函数进一步作了介绍，但未引起数学界重视。1742年马克劳林在《流数术》中阐明了这个展式，通常便称其为马克劳林级数。马克劳林是用待定系数法证明这个展式的，但证明中也没考虑级数的收敛性。

泰勒公式、马克劳林公式出现以后，人们陆续得到了一切初等函数的幂级展开式，级数成为研究函数的重要工具，得到广泛的应用。

莱布尼兹对于无穷级数作过研究．他曾第一个给出一的级数表达式
$$\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$$

并考察了用级数的前有限项之和作为 $\frac{\pi }{4}$ 近似值时误差的估计。他还在研究交错级数基础上，提出了交错级数敛散性的莱布尼兹判别法。

伯努利兄弟也对级数进行过专门的研究．雅各·伯努利在研究无穷级数求和问题时，证明自然数平方的倒数和是个有限数，即伯努利级数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}+\cdots$$有有限和，但他长期求不出此值。

欧拉是把无穷级数从一般的工具转变为一个重要的研究科目的数学家。在无穷级数研究方面取得丰硕成果。他得知伯努利级数后，认真作了研究，发现了这个和的各式各样表达式，还算出了其近似值1.644934，但并不满足，后来改换思路，通过类比代数方程得到了令人满意的结果（1734）：
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}.$$但有人指责这种从有限项方程过渡到无限项方程的作法缺乏逻辑依据。1748年欧拉在《无穷小分析引论》中，终于给出了严格证明，他计算出著名的黎曼 $\xi$ 函数 $\xi (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$ 在偶点的值$$\xi (2k)=\sum _{n=1}^{\infty }{n}^{-2k}=a_{2k}{\pi }^{2k}.$$他证明 $a_{2k}$ 是有理数，并可通过伯努利数表示。欧拉还研究了调和级数，相当精确地计算出欧拉常数$$\gamma =\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}-\ln n)=0.57721566490153286060651209\dots$$欧拉还曾由 $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$$出发，令 $x=-1$ 得到$$1-1+1-1+\cdots =\frac{1}{2},$$但他认为对于这类发散级数，不能像收敛级数那样，要求它的各项陆续相加时可任意接近其和。他写道：“有些无穷级数之和乃是这样一个有限表达式，将它展开时就产生了该级数。”近代发散级数理论，正是从这种对级数和的广义理解中产生的。

从以上论述我们可以看出，在微积分创立初期，人们通过微积分的基本运算与级数运算的纯形式的结合，得到了一批初等函数的无穷（幂）级数的展开式。从此以后，级数便作为函数的分析等价物，用以计算函数的值，用以代表函数参加运算，并以所得结果阐释函数的性质。在运算过程中，级数被视为多项式的直接推广，并且也像通常的多项式一样对待。这些基本观点的运用一直持续到19世纪初年，取得了许多成果。

由于把级数等同于多项式看待，没能对级数的根本性问题——收敛性和发散性引起足够的重视，结果常常出现一些荒谬的结果。如级数$$1-1+1-1+\cdots$$曾引起过激烈的争论．若将其改写成 $(1-1)+(1-1)+\cdots$ 的形式，其和应为 0；若将其改写成 $1-(1-1)-(1-1)-\cdots$ 的形式，其和应为 1；而将其和记为 $S$，则有 $S=1-S$，从而得到 $S=\frac{1}{2}$ 。这真令人不可思议。这些现象迫使人们必须认真考虑级数的严格定义，以及探讨运算的合理性。

1811年法国傅里叶首先给出了级数收敛的严格定义。傅里叶还发现任意函数都可展开成三角级数（傅里叶级数）$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx),$$其中

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,(n=0,1,2,3,\cdots ).$$
$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx,(n=0,1,2,3\cdots )$$

超几何数 $$F(a,b,c,x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a(a+1)\cdots (a+n-1)b(b+1)\cdots (b+n-1)}{n!c(c+1)\cdots (c+n-1)}{x}^n$$是欧拉1769年研究超几何方程级数解时得到的。高斯对于超几何级数进行了系统的研究。在此研究中他认识到，需要把级数的使用限制在它们的收敛范围内。

1821年柯西在其《代数分析教程》中给出了著名的柯西收敛准则，还给出了正项级数收敛的一些具体判别法，如比值法和根式法。柯西还严格地论证了泰勒级数的敛散性。柯西提出的级数收敛性理论，在当时数学界造成了巨大的轰动。有一次科学会议上，柯西提出收敛性问题，会后拉普拉斯急忙赶回家并隐居起来，认真检查起其《天体力学》中所用到的级数，直到看到书中用到的每一个级数都是收敛的时候，才松了一口气。

阿贝尔在1826年研究无穷级数时，得到了一些级数收敛的判别准则以及关于幂级数求和的定理，当时发散级数是一个使数学家们颇感棘手的问题，关于这个“魔鬼的发明”，阿贝尔认为问题的症结所在是当时的数学缺乏严密性。在此基础上他得出幂级数求和定理（阿贝尔定理）。

微积分基本运算与级数运算结合的需要，引导人们加强或缩小收敛性，因而提出了一致收敛的概念。维尔斯特拉斯于1841年提出一致收敛概念，并利用一致收敛概念给出了级数逐项积分和在积分号下求微分的条件。他还发现在闭区间上任何连续函数都可以表示为该区间上绝对一致收敛的多项式级数．斯托克斯（1847）和赛德尔（1848）也对一致收敛理论作出过贡献。

在天文学、物理学中，函数的级数展开，作为一个整个函数的分析的等价物，在收敛范围以外的不断的成功的使用，又迫使人们推广或扩大收敛概念而提出了渐近性与可和性。发散级数求和理论是收敛级数研究的扩展，庞加莱（1886)、切萨罗（1890)、波莱尔(1895）都有重要贡献。

通过近三百年的努力，级数理论就这样逐渐地建立起来了。

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常微分方程

常微分方程被定义为包含一个自变量和它的未知函数以及未知函数的微商的方程、它可以说是方程和微分两个概念结合的产物。常微分方程在牛顿、莱布尼兹创立微积分的时候就已经遇到了。而其理论的形成和发展是与力学、天文学、物理学及其它自然科学技术的发展相辅相成，互相促进。数学其他新分支，如复变函数、李群、组合拓扑学等都给常微分方程论的发展以深刻的影响。常微分方程论的形成和发展大致可分为四个阶段。

｜(1) 萌芽阶段

16世纪一些科学家在研究工作中遇到不少常微分方程问题。如纳皮尔在发明对数学时，涉及到形如 $\frac{d(a-y)}{dt}=y$ 的微分方程，他还求出其近似解；伽利略研究落体运动时，曾得出过微分方程 $\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=g$ 的解 $x=\frac{1}{2}g{t}^2$ 。笛卡儿研究已知光线由定点射出，经过镜面反射之后达另一定点，求镜面形状的问题，即“切线的反问题”时，也涉及到微分方程问题。微积分产生之前生产实践和科学研究已向数学家们提供了丰富的微分方程研究课题。只是还未能找到可行的普遍解法。

｜(2) 初创阶段

微积分的创立者牛顿和莱布尼兹在考察切线的反问题——由切线确定曲线时，便提出了微分方程的概念，1676年莱布尼兹在致牛顿信中，首次引进“微分方程”这个名称。在他们的著作中，都构造和解决了某些类型的常微分方程。

微分方程的早期研究侧重于各类一阶方程的通解问题。伯努利家族在这方面有重要建树。约翰·伯努利在1694—1697年研究了分离变量法。找到将一次齐次方程化为可分离变量型方程的方法；雅各·伯努利用变量替换法解决了有名的伯努利方程$$\frac{dy}{dx}=P(x)y+Q(x)y^{\prime \prime }.$$
伯努利兄弟还利用变换 $y=uv$ 解决了线性方程 $$\frac{dy}{dx}=P(x)y+Q(x)$$

约翰之子丹尼·伯努利24岁时解决了有名的黎卡提方程 $$\frac{dy}{dx}=P(x)y^2+Q(x)y+R(x).$$

18世纪关于常微分方程最杰出的工作属于欧拉。欧拉曾研究过具有对称形式的方程$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.$$ 提出了利用积分因子求解方程的方法。他还利用变换 $x=e^t$ 将欧拉方程 $$a_0{x}^n\frac{d^{n}y}{d{x}^n}+a_1{x}^{n-1}\frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}+\cdots +\cdots +a_{n-1}x\frac{dy}{dx}+a_{n}y=0$$ 化为常系数线性方程而求解。欧拉还发现，微分方程一般有无穷多个解，于是提出了“通解”和“特解”的概念。欧拉在后期还为某些类型的一阶方程建立起积分因子并推广到高阶方程；考察了黎卡提方程的性质；由圆膜振动问题得到了贝塞尔方程 $$x^{2}y"+x{y}^{\prime }+(x^2-n^2)y=0.$$ 欧拉求一阶方程初值问题近似解的"欧拉方法"，构成后来证明解的存在性定理的基础。

达朗贝尔、拉格朗日、泰勒、拉普拉斯和克雷洛等人在常微分方程方面也做过不少工作。到18世纪末，常微分方程论已具备完整的框架，成为一门理论。

｜(3) 奠基阶段

19世纪初、中期是数学史上一个大变革时期．数学分析奠基工作的兴起，群论的产生，复变函数论的开创等都对常微分方程论产生深刻的影响。常微分方程的基础理论受到重新审定并加以巩固。最迫切需要解决的问题是解的存在性问题和能够求出初等函数通解的可能性问题，通常将求解满足特定的初始条件的常微分方程的问题，称为常微分方程的柯西问题或定解问题，亦称作初值问题。柯西引入长函数概念和极限计算的方法，严格证明了初值问题解的存在性和唯一性。柯西还创造性地将常微分方程的研究由实数域扩展到复数域，开拓出常微分方程解析理论这一重要分支。

柯西证明初值问题$$y^{\prime }=f(x,y),y(x_0)=y_0$$ 在 $f(x,y),f_y(x,y)$ 连续的区域内必有唯一解存在。后来李普希兹于1876年用更广泛的“李普希兹条件” $$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le |y_1-y_2|$$ 代替 $f^{\prime }(x,y)$ 的连续性假设，改进了这一证明。以后，皮亚诺仅在 $f(x,y)$ 连续的假设下，证明了初值问题解的存在性。1890年毕卡将初值问题化为等价的积分方程，采用逐次逼近的方法证明解的存在性和唯一性。

除了通解问题和初值问题，这个阶段还出现了由斯图姆和刘维尔开创的边值问题和特征值问题的研究领域．。1833年斯图姆首先着手对二阶常微分方程的边值问题的研究，刘维尔也参加这一工作。1836—1837年斯图姆给出了方程 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+y=0$ 在给定条件下具有非零解 $y$ 的条件，以及这些解与特征值的关系，边值问题以后在弹性力学、量子力学及技术中有着广泛应用，并逐渐形成微分方程的一个重要分支。

｜(4) 现代发展阶段

从19世纪末开始，常数分方程论进入一个新的发展阶段，出现了四个方向的重大发展。

1）常微分方程变换群理论

1874年M.S.李将群的概念用于常微分方程，引入了将常微分方程的解变为解的连续变换群的概念，从理论上将各种各样可以用积分求解的微分方程加以统一分类.

2）常微分方程解析理论

1841年刘维尔研究了黎卡提方程 $$\frac{dy}{dx}+y^2=P(x),$$ 得到该方程的解一般不能由初等函数给出的结论.这就等于宣告，从17世纪起人们所走的寻求微分方程初等解的道路，前途极为有限。庞加莱、班勒卫、福克斯和克莱因等人，便开始扩充微分方程解的范围，不管是否是初等函数，只要满足微分方程，都加以考虑。这就使得微分方程的可解范围大大扩充，微分方程从而成了特殊函数的丰富来源。这样，微分方程与函数论建立起密切的联系，产生了微分方程的解析理论，解析理论是复数域上的常微分方程理论，应用复变函数论研究微分方程的性状，以及把微分方程的解视为由方程定义的解析函数，并直接从微分方程本身研究解的性质的理论。

3）常微分方程定性理论

由于绝大多数微分方程不能用初等函数的积分来表出通解，而工程技术、天文学、物理学中对于所出现的常微分方程又并不一定要求出解，往往只需要知道解的某些性质。在不引入新函数而又不能求出解的情况下，对方程的解进行定性研究，即讨论解的性质。这便导致了常微分方程定性理论的出现。1881—1886年庞加莱连续发表了《由微分方程所确定的积分曲线》的四篇论文，这些论文标志着常微分方程定性理论的完成，俄国数学家李雅普诺夫对常微分方程定性理论也作出了卓越贡献，自庞加莱以来几十年间，定性理论有了充分的发展，在理论方面和应用方面都有重大成就。现在仍是一个很活跃的分支。

4）常微分方程近似数值计算

一般的常微分方程常常不能求得精确解析解，需要借助于求近似解或数值解，或两者兼而有之。

摄动方法是重要的近似方法，它是借助于选定的并且具有精确解的微分方程组，逐次近似地描述所研究的微分方程。关于正则摄动问题常用林斯泰特——庞加莱方法、克雷洛夫——博戈柳博夫方法和调和均衡法。关于奇异摄动问题有文策尔、克拉默斯等的WKB方法，兰格和奥尔弗的LO方法以及马斯洛夫提出的方法等。

由于一般微分方程不能求得精确解析解，工程技术及自然科学各部门的需要迫使人们去寻求近似解析解，即解析形式的容许一定误差的解。常用求近似解析解的方法有两种：线性化和小参数展开。