一、概念

模型预测控制（Model Predictive Control, MPC）是一种先进的控制方法，广泛应用于工业过程控制、机器人控制、自动驾驶等领域。MPC的核心思想是利用系统的动态模型预测未来的行为，并通过优化算法计算出当前时刻的最优控制输入。它的主要特点包括：

预测未来行为：基于系统的数学模型，MPC可以预测未来一段时间内系统的状态。
滚动优化：MPC在每个时刻都解决一个优化问题，计算出当前的控制输入，并滚动更新预测。
约束处理：MPC可以显式地处理输入和状态的约束条件。
反馈机制：MPC每次优化都基于当前的实际状态，具有反馈控制的特性。

二、原理

MPC的工作流程如下：

1.系统建模：建立系统的动态模型，通常是离散时间的线性或非线性模型。例如，线性模型可以表示为：

$x_{k+1} = Ax_{k}+Bu_{k}$

其中 $x_{k}$ 是系统状态， $u_{k}$ 是控制输入，A 和 B 是系统矩阵。

2.预测未来状态：基于当前状态 $x_{k}$ 和控制输入 $u_{k}$ ，预测未来 N 步的状态。

3.定义优化问题：设计一个目标函数，通常是最小化状态偏差和控制输入的代价，例如：

$\mathbb{J} = sum_{i=0}^{N-1}(x_{k+i}^{T}Qx_{k+i}+u_{k+i}^{T}Ru_{k+i})$

其中 Q 和 R 是权重矩阵，用于平衡状态误差和控制输入的代价。

4.求解优化问题：在给定约束条件下（如输入和状态的范围），求解目标函数，得到最优控制序列。

5.应用控制输入：只应用优化得到的第一个控制输入 $u_{k}$ ，然后滚动到下一个时刻重复上述过程。

三、python实现

被控对象：水箱液位控制系统
控制目标：通过调节进水阀门开度（0-100%），使液位稳定在设定值

import numpy as np
from scipy.optimize import minimizeclass SimpleMPC:def __init__(self):# 系统参数self.A = 0.8    # 状态系数self.B = 0.2    # 输入系数self.Np = 5     # 预测时域self.Nc = 2     # 控制时域self.Q = 1.0    # 状态权重self.R = 0.1    # 输入权重def predict(self, x0, u_sequence):"""状态预测函数"""x_pred = [x0]for i in range(self.Np):if i < len(u_sequence):u = u_sequence[i]else:u = u_sequence[-1]  # 超出控制时域保持最后值x_next = self.A * x_pred[-1] + self.B * ux_pred.append(x_next)return np.array(x_pred[1:])  # 返回预测序列def cost_function(self, u_sequence, x0, ref):"""优化目标函数"""x_pred = self.predict(x0, u_sequence)tracking_error = np.sum((x_pred - ref)**2) * self.Qcontrol_cost = np.sum(u_sequence**2) * self.Rreturn tracking_error + control_costdef solve_mpc(self, x_current, ref):"""求解MPC优化问题"""# 定义初始猜测和控制量边界u_init = np.zeros(self.Nc)bounds = [(0, 1) for _ in range(self.Nc)]  # 阀门开度限制# 构建优化问题res = minimize(fun=self.cost_function,x0=u_init,args=(x_current, ref),bounds=bounds,method='SLSQP')return res.x[0] if res.success else 0.0  # 返回首个控制量# 仿真测试
mpc = SimpleMPC()
h_current = 0.5  # 初始液位
ref_level = 1.0  # 目标液位for step in range(20):# 计算控制量u_opt = mpc.solve_mpc(h_current, ref_level)# 更新系统状态h_current = mpc.A * h_current + mpc.B * u_optprint(f"Step {step+1}: 液位={h_current:.2f}, 阀门开度={u_opt:.2f}")

值得注意的是，这里我们使用了scipy.optimize.minimize，这是帮助我们高效地在复杂约束下找到最优解的重要工具。scipy.optimize.minimize是SciPy中用于求解目标函数最小值的核心工具，它封装了多种优化算法，能处理从简单无约束问题到复杂带约束（线性 / 非线性）问题的优化需求。它本身不是一个单一算法，而是一个统一接口，根据问题类型（是否有约束、是否光滑等）调用不同的底层优化算法。其核心逻辑是：通过迭代搜索，不断调整输入参数，找到使目标函数值最小的参数组合。在method参数中，我们可以根据任务的需要选择不同的优化方法：

算法类型	可选参数	适用场景
无约束优化	BFGS、L-BFGS-B	目标函数光滑（可导），无约束条件；L-BFGS-B 适合大规模问题（内存高效）
有约束优化	SLSQP	支持等式 / 不等式约束（线性或非线性）
整数规划	COBYLA	处理变量为整数的约束（精度较低）
全局优化	differential_evolution	目标函数非光滑、有多个局部最小值时，寻找全局最优