参考教程一

3分钟帮你搞定两类曲线积分之间的联系（弧长和坐标）

两类曲线积分的联系

设平面曲线$L$上的第二类曲线积分${\int }_{L}Pdx+Qdy$，与第一类曲线积分存在如下联系：

利用弧长元素 $ds$与坐标微分的关系$dx=\cos \alpha \cdot ds$，$dy=\cos \beta \cdot ds$（$\alpha$, $\beta$) 为曲线切线与 ( x, y ) 轴夹角 ），则：
$cos\alpha \cdot ds$可以看成s在x轴方向的投影，所以等于$dx$
$$\begin{array}{rl}{\int }_{L}Pdx+Qdy& ={\int }_{L}P\cos \alpha \cdot ds+Q\cos \beta \cdot ds\\ & ={\int }_L\left(P\cos \alpha +Q\cos \beta \right)ds\end{array}$$

（体现“第二类曲线积分（按坐标积分 ）”与“第一类曲线积分（按弧长积分 ）”通过切线方向余弦建立转换关系，是曲线积分理论的核心联系公式 。）

参数方程曲线的切线方向余弦

设平面曲线的参数方程为：

$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$$

曲线切线与$x$ 轴、$y$ 轴夹角的方向余弦为：

$$\cos \alpha =\frac{{\phi }^{\prime }(t)}{\sqrt{{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}},\cos \beta =\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{\sqrt{{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}}$$

（其中$alpha$是切线与$x$ 轴正向夹角，$\beta$ 是切线与$y$ 轴正向夹角；分母是参数方程导数的模长，体现“切线方向向量 $({\phi }^{\prime }(t)$ , ${\psi }^{\prime }(t))$ 单位化”的逻辑，是两类曲线积分联系公式的基础 。）

参考教程2

如何理解“两类曲线积分之间的关系”？

两类曲线积分之间的关系

$$\begin{array}{rl}{\int }_{L}Pdx+Qdy& ={\int }_L\left(P\cos \alpha +Q\cos \beta \right)ds\end{array}$$

物理意义解释

第二型曲线积分的物理意义，遍历沿曲线做功，假设质点在A处，沿着曲线AB的方向，运动到B点，然后在运动过程中每时每刻受大小方向都在变的力F的作用，求整个F在这个过程中所作的功。

证明思路

**算两次：**把同一个量，按照两种不同的方式算一遍

1. 把$F$分解成水平方向的分力$P$和竖直方向的分力$Q$，算F做的功。
   

功 $W$ 可表示为第二类曲线积分：

$$W={\int }_{L}Pdx+Qdy$$

（其中 $dx,dy$ 是曲线$L$ 上的坐标微分，体现“变力沿路径做功 = 力的分量与位移分量乘积的积分”，是第二类曲线积分的经典物理应用场景 。）

2. 把力$F$投影到瞬时速度方向
   
   把P和Q 同时投影到L方向，过P做L的垂线，大小就是$P\cos \alpha$
   
   同理可以把Q投影到L方向上

$$W={\int }_L\left(P\cos \alpha +Q\cos \beta \right)ds$$

核心逻辑：
两类积分通过“切线方向余弦 $(\cos \alpha ,\cos \beta )$ 与坐标微分 $(dx,dy)$ 、弧长 $ds$ 的关系”实现转换，体现“变力做功 = 力沿切线方向分量的线积分”，是曲线积分物理意义的完整表达 。

用两种方式计算同一个量，所以推出上面的关系。