案例

给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。

在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

示例 1:

输入: numRows = 5
输出: [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]]
示例 2:

输入: numRows = 1
输出: [[1]]

提示:

1 <= numRows <= 30

思路: 我们运用动态规划法 我们先生成第一行 因为第一行只有一个数字那就是1 然后我们需要找到他的状态转移方程 也就是当前这一行的除了第一个和最后一个 都为他的上一排的前一个和第二个的和 所以要我们就得出他的状态转移方程 down.get[j]=up.get(j-1)+up.get(j) 最后返回list

1. 定义状态：• 使用数组 list ，其中 first表示第一行。
2. 初始化状态：first=1
3. 状态转移：• 对于 第二行 ，根据状态转移方程更新：
   状态转移方程就为down.get(j)=up.get(j-1)+up.get(j)
4. 计算顺序：• 从第 2 层开始，逐步计算到第 n 层 将他依次添加到list中。
5. 返回结果：• 最终结果为 list 。

class Solution {public List<List<Integer>> generate(int numRows) {List<List<Integer>> list= new ArrayList<>();//生成第一行List<Integer> first=new ArrayList<>();first.add(1);list.add(first);//逐行生成for(int i=1;i<numRows;i++){List<Integer> down=new ArrayList<>();List<Integer> up=list.get(i-1);down.add(1);//第一个数字是1for(int j=1;j<i;j++){down.add(up.get(j-1)+up.get(j));}down.add(1);list.add(down);}return list;}
}

动态规划法:

动态规划法介绍:

动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）是一种用于解决多阶段决策问题的算法思想，它通过将复杂问题分解为更简单的子问题，并存储这些子问题的解以避免重复计算，从而高效地解决问题。动态规划通常用于优化问题，尤其是那些具有重叠子问题和最优子结构特性的问题。

核心概念

• 最优子结构：

• 一个问题的最优解可以由其子问题的最优解组合而成。换句话说，问题的解可以分解为若干个子问题的解。

• 例如，在爬楼梯问题中，到达第(n)阶的方法数可以由到达第(n-1)阶和第(n-2)阶的方法数组合而成。

• 重叠子问题：

• 在递归求解过程中，同一个子问题会被多次计算。动态规划通过存储这些子问题的解（通常使用一个数组或哈希表），避免重复计算，从而提高效率。

• 例如，在递归计算斐波那契数列时，会多次计算相同的值，而动态规划通过存储这些值来避免重复计算。

动态规划的优势

• 高效性：

• 动态规划通过存储子问题的解，避免了重复计算，大大提高了算法的效率。时间复杂度通常为(O(n))。

• 适用性：

• 动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构特性的问题，如背包问题、最长公共子序列、最短路径问题等。

• 可扩展性：

• 动态规划的思想可以扩展到多维问题，通过增加状态维度来解决更复杂的问题。

动态规划的局限性

• 空间复杂度：

• 动态规划通常需要额外的空间来存储子问题的解，空间复杂度可能较高。例如，爬楼梯问题的空间复杂度为(O(n))。

• 状态转移方程的推导：

• 动态规划的关键在于推导状态转移方程，这需要对问题有深入的理解和分析。

• 适用范围：

• 动态规划只适用于具有重叠子问题和最优子结构特性的问题，对于不符合这些特性的问题，动态规划可能不适用。

总结

动态规划是一种强大的算法思想，通过将复杂问题分解为更简单的子问题，并存储这些子问题的解，避免重复计算，从而高效地解决问题。爬楼梯问题是动态规划的经典应用之一，通过定义状态、初始化状态、状态转移和计算顺序，可以高效地求解问题。