要展开表达式 $e^{i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}}$ 为普通矩阵，其中 $\vec{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$ 是 Pauli 矩阵， $\hat{n}$ 是单位向量， $\theta$ 是实数。以下是详细推导步骤：

1. Pauli 矩阵的性质

Pauli 矩阵定义为：

$\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

它们满足以下关系：

$\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} I + i \epsilon_{ijk} \sigma_k$

其中 $\delta_{ij}$ 是 Kronecker delta， $\epsilon_{ijk}$ 是 Levi-Civita 符号【细节见文末附录】， $I$ 是单位矩阵。可以左右分别计算，做一个验证。

2. 单位向量和 Pauli 矩阵的点积

设单位向量

$\hat{n} = (n_x, n_y, n_z)$

满足

$n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = 1$

定义：

$\hat{n} \cdot \vec{\sigma} = n_x \sigma_x + n_y \sigma_y + n_z \sigma_z = \begin{pmatrix} n_z & n_x - i n_y \\ n_x + i n_y & -n_z \end{pmatrix}$

记 $A = \hat{n} \cdot \vec{\sigma}$ ，则 $A$ 的性质如下：

$A$ 是 Hermitian 矩阵：

$A^\dagger = A$

$A^2 = I$ ，因为：

$A^2 \\= (n_x \sigma_x + n_y \sigma_y + n_z \sigma_z)^2 \\= n_x^2 I + n_y^2 I + n_z^2 I + \text{crossItems} \\= (n_x^2 + n_y^2 + n_z^2)I \\= I$

交叉项由于 Pauli 矩阵的反交换关系而抵消。或者直接计算展开也可以验证此结论。

3. 指数展开

利用 $A^2 = I$ ，可以将 $e^{i \theta A}$ 展开为 Taylor 级数：

$\ \ \ e^{i \theta A} \\\\= \sum_{k=0}^\infty \frac{(i \theta A)^k}{k!} \\ \\= \sum_{\text{even } k} \frac{(i \theta)^k}{k!} I + \sum_{\text{odd } k} \frac{(i \theta)^k}{k!} A$

因为 $A^k = I$ 当 $k$ 为偶数， $A^k = A$ 当 $k$ 为奇数。因此：

$e^{i \theta A} = \left(\sum_{\text{even } k} \frac{(i \theta)^k}{k!}\right) I + \left(\sum_{\text{odd } k} \frac{(i \theta)^k}{k!}\right)A$

注意到：

$\sum_{\text{even } k} \frac{(i \theta)^k}{k!} = \sum_{\text{even } k} \frac{( \theta)^k}{k!} =\cos(\theta)$

$\sum_{\text{odd } k} \frac{(i \theta)^k}{k!} = i\sum_{\text{odd } k} \frac{( \theta)^k}{k!} =i \sin(\theta)$

因此：

$e^{i \theta A} = \cos(\theta) I + i \sin(\theta)A$

这是个很有用的结论，当 $A^2 = I$ 时， $e^{i\theta A}$ 可以展开成两个矩阵之和。

上节中 $A = \hat{n} \cdot \vec{\sigma}$ 就具备这个性质，所以可以这样展开 $e^{i\theta A}$ 为两项之和；后面马上会用到。

注：sin cos 的泰勒级数

$\sin \theta = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \theta^{2n+1} = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots$

$\cos \theta = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \theta^{2n} = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \cdots$

这两个级数对所有实数 $\theta$ （甚至复数）都收敛，因此可以用于计算 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 的近似值；

注意到级数展开式中的正负号，与 $i$ 的幂正好抵消为正。

sin cos与指数函数的关系（欧拉公式）

利用泰勒级数，可以推导欧拉公式：

$e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$
证明：

指数函数的泰勒展开：

$e^{i \theta} = 1 + i \theta + \frac{(i \theta)^2}{2!} + \frac{(i \theta)^3}{3!} + \cdots$
分离实部和虚部：

$e^{i \theta} = \left( 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots \right) + i \left( \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots \right)$
即：

$e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$

4. 显式矩阵形式

将 $A = \hat{n} \cdot \vec{\sigma}$ 代入：

$e^{i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}} = \cos(\theta) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + i \sin(\theta) \begin{pmatrix} n_z & n_x - i n_y \\ n_x + i n_y & -n_z \end{pmatrix}$

展开后得到：

$e^{i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) + i n_z \sin(\theta) & i (n_x - i n_y) \sin(\theta) \\ i (n_x + i n_y) \sin(\theta) & \cos(\theta) - i n_z \sin(\theta) \end{pmatrix}$

5. 最终结果

因此， $e^{i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}}$ 的显式矩阵形式为：

$e^{i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) + i n_z \sin(\theta) & (i n_x + n_y) \sin(\theta) \\ (i n_x - n_y) \sin(\theta) & \cos(\theta) - i n_z \sin(\theta) \end{pmatrix}$

6. 验证

可以验证当 $\hat{n} = (0, 0, 1)$ （即 $n_x = n_y = 0, n_z = 1$ ）时：

$e^{i \theta \sigma_z} = \begin{pmatrix} e^{i \theta} & 0 \\ 0 & e^{-i \theta} \end{pmatrix}$

这与直接计算 $e^{i \theta \sigma_z}$ 的结果一致。

7. 小结

通过利用 Pauli 矩阵的性质和指数函数的 Taylor 展开，我们得到了 $e^{i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}}$ 的显式矩阵形式：

$e^{i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}} = \cos(\theta) I + i \sin(\theta) (\hat{n} \cdot \vec{\sigma})$

其矩阵表示为：

$\begin{pmatrix} \cos(\theta) + i n_z \sin(\theta) & (i n_x + n_y) \sin(\theta) \\ (i n_x - n_y) \sin(\theta) & \cos(\theta) - i n_z \sin(\theta) \end{pmatrix}$

8. 附录：Levi-Civita 符号（ $\epsilon_{ijk}$ ）的定义与性质

Levi-Civita 符号（也称为完全反对称张量或排列符号）是一个在三维空间中广泛使用的数学工具，尤其在向量运算、行列式计算和量子力学（如 Pauli 矩阵）中非常有用。它的定义如下：

$\epsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & \text{if \ } (i,j,k) \text{\ is \ } (1,2,3) \text{ even \ order \ (ex. \ } 1,2,3 \text{ \ or \ } 2,3,1 \text{ \ or \ } 3,1,2\text{)}, \\ -1 & \text{if \ } (i,j,k) \text{\ is \ } (1,2,3) \text{ odd \ order \ (ex. \ } 1,3,2 \text{ \ or \ } 2,1,3 \text{ \ or \ } 3,2,1 \text{)}, \\ 0 & \text{ if \ there \ are \ two \ same \ id \ (ex. \ } \epsilon_{112}, \epsilon_{233} \text{\ and \ so \ on)}. \end{cases}$

8.1. 基本性质

完全反对称性：

交换任意两个指标会改变符号：

$\epsilon_{ijk} = -\epsilon_{jik} = -\epsilon_{ikj} = -\epsilon_{kji}$

因此，

$\epsilon_{123} = \epsilon_{231} = \epsilon_{312} = 1$

$\epsilon_{132} = \epsilon_{213} = \epsilon_{321} = -1$

与 Kronecker delta 的关系：

满足以下恒等式：

$\epsilon_{ijk} \epsilon_{ilm} = \delta_{jl} \delta_{km} - \delta_{jm} \delta_{kl}$

这在计算叉积或旋度时非常有用。

行列式计算：

3×3 行列式可以用 Levi-Civita 符号表示：

$\det(A) = \epsilon_{ijk} A_{1i} A_{2j} A_{3k}$

8.2. 在 Pauli 矩阵中的应用

Pauli 矩阵 $\sigma_i$ 满足以下关系：

$\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} I + i \epsilon_{ijk} \sigma_k$

其中：

$\delta_{ij}$ 是 Kronecker delta（当 $i = j$ 时为 1，否则为 0）

$\epsilon_{ijk}$ 是 Levi-Civita 符号

$I$ 是单位矩阵

推导示例：
计算 $\sigma_x \sigma_y$ ：

$\sigma_x \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} = i \sigma_z$