我们有一些已知的身高（作为键 $K$）和对应的体重（作为值 $V$）。现在，我们想使用一种基于注意力机制的方法来“查询”一个特定身高（比如 170cm）对应的体重。虽然这通常不是注意力机制的典型应用，但我们可以构造一个类似的计算过程。

计算公式

1. 定义键和值：

   • 键矩阵 $K$：包含已知的身高值，形状为 $[n,1]$，其中 $n$ 是已知数据点的数量。
   • 值矩阵 $V$：包含与键对应的体重值，形状为 $[n,1]$。

2. 定义查询向量：

   • 查询向量 $Q$：包含要查询的身高值（170cm），形状为 $[1,1]$。

3. 计算相似度：

   • 在这个例子中，我们可以使用身高的差的负数作为相似度的度量。对于每个键 $K_i$，计算相似度 $s_i$：
     $s_i=-(|Q-K_i|)$
     或者，为了保持数值稳定性，我们可以使用：
     $s_i=-\alpha \cdot (Q-K_i{)}^2$
     其中 $\alpha$ 是一个缩放因子（比如 $\alpha =0.01$），用于调整相似度的敏感度。

4. 应用 softmax 函数：

   • 对相似度向量 $s$ 应用 softmax 函数，得到注意力权重 $a$：
     $a_i=\frac{e^{s_i}}{{\sum }_j{e}^{s_j}}$

5. 计算加权求和：

   • 使用注意力权重 $a$ 对值向量 $V$ 进行加权求和，得到预测的体重：
     $\text{体重}={\sum }_i{a}_i{V}_i$

具体计算（以差的负数为例）

假设我们有以下数据：

• $K=\left[\begin{array}{c}160\\ 165\\ 175\\ 180\end{array}\right]$
• $V=\left[\begin{array}{c}50\\ 55\\ 65\\ 70\end{array}\right]$
• $Q=\left[\begin{array}{c}170\end{array}\right]$

1. 计算相似度：

   • $s_1=-(|170-160|)=-10$
   • $s_2=-(|170-165|)=-5$
   • $s_3=-(|170-175|)=-5$
   • $s_4=-(|170-180|)=-10$

2. 应用 softmax 函数：

   • 首先计算指数：
     $e^{s_1}=e^{-10}\approx 0.000045$
     $e^{s_2}=e^{-5}\approx 0.006738$
     $e^{s_3}=e^{-5}\approx 0.006738$
     $e^{s_4}=e^{-10}\approx 0.000045$
   • 然后计算总和：
     ${\sum }_j{e}^{s_j}\approx 0.013566$
   • 最后计算权重：
     $a_1\approx \frac{0.000045}{0.013566}\approx 0.0033$
     $a_2\approx \frac{0.006738}{0.013566}\approx 0.4967$
     $a_3\approx \frac{0.006738}{0.013566}\approx 0.4967$
     $a_4\approx \frac{0.000045}{0.013566}\approx 0.0033$

3. 计算加权求和：

   • $\text{体重}=a_1\times 50+a_2\times 55+a_3\times 65+a_4\times 70$
   • $\text{体重}\approx 0.0033\times 50+0.4967\times 55+0.4967\times 65+0.0033\times 70$
   • $\text{体重}\approx 0.165+27.3185+32.2855+0.231$
   • $\text{体重}\approx 60$

结论

对于查询身高 170cm，使用上述基于注意力机制的方法预测的体重约为 60kg。这个结果是通过计算查询身高与每个已知身高的相似度，然后应用 softmax 函数得到注意力权重，最后对已知体重进行加权求和得到的。