材料力学押题

第一题

Q

求力作用的销钉位置的竖直偏移距离。

S

方法一:能量方法

材料应变能计算为:
$$U=\int \frac{{\text{内力}}^2}{2\times 刚度}\text{d}A$$
克拉珀龙原理：
$$U=\sum _i\frac{1}{2}{F}_i{\delta }_i$$
一方面：
$$\frac{1}{2}F\Delta =U$$
另一方面有卡氏定理：
$$F_i=\frac{\partial U}{\partial x_i}$$
$$x_i=\frac{\partial U}{\partial F_i}$$

对销钉进行受力分析：

$$\begin{array}{rl}-F_{N_1}\cos \alpha -F_{N_2}\cos \beta & =F\\ F_{N_1}\sin \alpha =F_{N_2}\sin & \beta \end{array}$$

可以求得：

$$\begin{array}{rl}{F}_{N_1}& =-\frac{F}{\sin \alpha \cot \beta +\cos \alpha }=k_{1}F\\ F_{N_2}& =-\frac{F}{\sin \beta \cot \alpha +\cos \beta }=k_{2}F\end{array}$$

系统存储的应变能：

$$U=\sum _i\frac{F_{N_i}^2{l}_i}{2E{A}_i}=\frac{F^2}{2E}\sum _i\frac{(k_i{l}_i{)}^2}{A_i}$$

由卡氏定理：

$$\delta =\frac{\partial U}{\partial F}=\frac{F}{E}\sum _i\frac{k_i{l}_i}{A_i}$$

其中：
$$k_1=-\frac{1}{\sin \alpha \cot \beta +\cos \alpha }$$
$$k_2=-\frac{1}{\sin \beta \cot \alpha +\cos \beta }$$

方法二：几何关系求解

我们得到一组几何方程：

$$\begin{array}{rl}\frac{x_2}{x_3}& =\frac{\tan \alpha }{\tan \beta }\\ \cos \alpha \sum x_i& ={\Delta }_1\\ \cos \beta x_1& ={\Delta }_2\end{array}$$

第二题

对于扭转问题，一般的处理过程是什么?

Step：1
绘制扭矩图:$T(x)$

Step：2

确定截面几何参数:
$$I_p={\int }_A{\rho }^2\text{d}A$$
KaTeX parse error: Got function '\max' with no arguments as subscript at position 21: …frac{I_p}{\rho_\̲m̲a̲x̲}
Step: 3
确定危险点切应力，校核强度：
$$\tau =\frac{T\rho }{I_p}$$
Step: 4
确定相对转角，校核刚度：
$$\text{d}\phi =\frac{T}{G{I}_p}\text{d}x$$

Q

悬臂梁的截面为空心圆轴，受到均布扭转力偶矩矢作用，求端面的相对转角。

S
$$T(x)=-m(l-x)$$
$$\phi =\int \frac{-m(l-x)}{G\frac{D^4(1-{\alpha }^4)}{32}}\text{d}x$$

组合变形

组合变形的难点是在选取危险点，需要找到危险点，危险点一般需要综合考虑应力状态：

1. 只有圆轴的切应力是线性分布的，对于薄壁切应力分布均于边缘相切，然后近似均匀分布。

2. 拉（压）- 弯 - 扭组合、弯 - 扭组合一般是二向应力状态。

3. 可以结合广义胡克定律计算变形。

弯曲变形

载荷集度、剪力与弯矩之间的关系：

$$q(x)=\frac{\text{d}{F}_s(x)}{\text{d}x}$$

$$F_s(x)=\frac{\text{d}M(x)}{\text{d}x}$$

1. 无载荷作用，剪力变化率为$0$，即剪力图为水平直线，弯矩图为直线，剪力为正则弯矩图为倾斜向上的直线，反之为倾斜向下的直线；

2. 有均布载荷作用，剪力变化率不变，即剪力图为有斜率的直线，当剪力有变号零点时，剪力图出现极值点，反之保持凹凸性不变的无极值点的二次函数图像；

3. 集中力作用，导致剪力突变，突变量与集中力大小相等，方向相同，弯矩图出现"尖点"；

4. 集中力偶作用，导致弯矩突变，突变量与集中力偶大小相等，方向相同。

5. 弯矩的极值通常发生在剪力为零的点，或集中力作用且两侧剪力变号的点。

对称载荷的剪力图反对称，弯矩图正对称

定义奇异函数为：

$${⟨x-a⟩}^n=\{\begin{array}{ll}0& ,x<a\\ (x-a{)}^n& ,x>a\end{array}$$

$${⟨x-a⟩}^n=\{\begin{array}{ll}0& ,x<a\\ (x-a{)}^n=\frac{1}{(n+1)!}\frac{\text{d}(x-a{)}^{n+1}}{\text{d}x}& ,x>a\end{array}$$

微积分关系满足如下关系：
$$\frac{\text{d}(x-a{)}^{n+1}}{\text{d}x}=(n+1)!{⟨x-a⟩}^n$$

Q

$x=y=z=a$,求解挠曲线近似微分方程。

S

弯矩方程为：
$$M(x)=\frac{5qa}{6}x-q{a}^2{⟨x-a⟩}^0-qa{⟨x-a⟩}^1-\frac{q}{2}{⟨x-a⟩}^2$$
有挠曲线近似微分方程：
$$EI{w}^{\prime \prime }=\frac{5qa}{6}x-q{a}^2{⟨x-a⟩}^0-qa{⟨x-2a⟩}^1-\frac{q}{2}{⟨x-2a⟩}^2$$
得到：
$$EIw=\frac{5qa}{36}{x}^3-\frac{1}{2}q{a}^2{⟨x-2a⟩}^2-\frac{1}{6}qa{⟨x-2a⟩}^3-\frac{q}{24}{⟨x-2a⟩}^4+Cx+D$$

代入边界条件：
$$w{|}_{x=0}=w{|}_{x=3a}=0$$
得到：
$$D=0，C=-\frac{37}{72}q{a}^3$$

摩尔积分计算某截面挠度,转角。
$$\delta ={\int }_l\frac{M(x)\overline{M}(x)}{EI}\text{d}x$$
$$\theta ={\int }_l\frac{M(x)\overline{M}(x)}{EI}\text{d}x$$