非线性规划学习笔记

一、非线性规划的应用

非线性规划（Nonlinear Programming, NLP）在很多领域都有重要应用，主要包括：

• 工程设计优化：结构优化、电路参数优化、交通线路设计
• 经济与管理：投资组合优化、生产计划优化、供需均衡模型
• 能源与环境：电力系统优化调度、环境治理
• 机器学习与数据科学：神经网络训练、支持向量机等

二、非线性规划的一般模型

$$\begin{array}{rl}\min & f(x)\\ \text{s.t.}& g_i(x)\le 0,i=1,2,\dots ,m\\ & h_j(x)=0,j=1,2,\dots ,p\\ & x\in {\mathbb{R}}^n\end{array}$$

• $f(x)$：目标函数（可能是非线性的）
• $g_i(x),h_j(x)$：约束条件（可能是非线性的）

三、MATLAB 中的非线性规划工具

MATLAB 的 Optimization Toolbox 提供了多种函数：

1. fmincon —— 约束非线性规划

[x, fval] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon)

• fun：目标函数
• x0：初始点
• A, b：线性不等式约束 $Ax\le b$
• Aeq, beq：线性等式约束
• lb, ub：变量上下界
• nonlcon：非线性约束函数（返回 c(x) <= 0, ceq(x) = 0）

2. fminunc —— 无约束非线性优化

[x, fval] = fminunc(fun, x0)

3. 全局优化方法

• ga —— 遗传算法
• patternsearch —— 模式搜索
• simulannealbnd —— 模拟退火

四、MATLAB 示例

示例 1：约束非线性规划

$$\min f(x)=(x_1-1{)}^2+(x_2-2{)}^2$$

约束条件：

$$x_1^2+x_2^2\le 5,x_1\ge 0,x_2\ge 0$$

% 目标函数
fun = @(x) (x(1)-1)^2 + (x(2)-2)^2;% 初始点
x0 = [0,0];% 线性约束
A = []; b = [];
Aeq = []; beq = [];% 边界
lb = [0,0];
ub = [];% 非线性约束
nonlcon = @(x) deal(x(1)^2 + x(2)^2 - 5, []); % 调用 fmincon
[x, fval] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon);disp('最优解:'); disp(x);
disp('最优目标值:'); disp(fval);

示例 2：无约束非线性优化

$$\min f(x)=x^4-3x^3+2$$

fun = @(x) x^4 - 3*x^3 + 2;
x0 = 0;  % 初始点
[x, fval] = fminunc(fun, x0);disp('最优解:'); disp(x);
disp('最优目标值:'); disp(fval);