二维仿射变换笔记

1. 数学基础

1.1 变换矩阵

二维仿射变换使用3x3的齐次坐标矩阵表示：

[a b tx]
[c d ty]
[0 0 1 ]

其中：

[a b; c d] 是线性变换部分，表示旋转、缩放和错切
[tx; ty] 是平移部分
最后一行 [0 0 1] 是齐次坐标的固定形式

1.2 基本变换

1.2.1 平移变换

将点沿x轴移动tx，沿y轴移动ty：

x' = x + tx
y' = y + ty

变换矩阵：

[1 0 tx]
[0 1 ty]
[0 0 1 ]

1.2.2 旋转变换

将点绕原点旋转角度θ：

x' = x·cosθ - y·sinθ
y' = x·sinθ + y·cosθ

变换矩阵：

[cosθ -sinθ 0]
[sinθ  cosθ 0]
[0     0    1]

1.2.3 缩放变换

将点沿x轴缩放sx倍，沿y轴缩放sy倍：

x' = sx·x
y' = sy·y

变换矩阵：

[sx 0  0]
[0  sy 0]
[0  0  1]

1.2.4 错切变换

沿x轴错切：

x' = x + kx·y
y' = y

变换矩阵：

[1 kx 0]
[0 1  0]
[0 0  1]

沿y轴错切：

x' = x
y' = y + ky·x

变换矩阵：

[1  0 0]
[ky 1 0]
[0  0 1]

1.2.5 反射变换

关于x轴反射：

x' = x
y' = -y

变换矩阵：

[1  0  0]
[0  -1 0]
[0  0  1]

关于y轴反射：

x' = -x
y' = y

变换矩阵：

[-1 0 0]
[0  1 0]
[0  0 1]

关于原点反射：

x' = -x
y' = -y

变换矩阵：

[-1 0  0]
[0  -1 0]
[0  0  1]

关于直线y = kx反射：

先将直线旋转到x轴
关于x轴反射
再旋转回原位置

1.3 复合变换

多个变换的组合通过矩阵乘法实现：

M = M1·M2·...·Mn

注意：变换的顺序很重要，通常先缩放，再旋转，最后平移。

1.4 逆变换

对于可逆变换，其逆变换的矩阵是原矩阵的逆：

M^(-1) = [A^(-1) -A^(-1)·t][0       1       ]

其中A是线性变换部分，t是平移部分。

2. 代码实现

2.1 头文件 (affine2d.h)

#ifndef AFFINE2D_H
#define AFFINE2D_H#include <cmath>
#include "point2d.h"
#include "vector2d.h"/*** @brief 二维仿射变换类* * 实现了二维平面中的各种变换，包括：* - 平移变换：将点沿指定方向移动* - 旋转变换：将点绕原点旋转* - 缩放变换：将点沿坐标轴缩放* - 错切变换：将点沿坐标轴错切* - 反射变换：关于坐标轴、原点或任意直线的反射* - 复合变换：多个变换的组合*/
class Affine2D {
public:/*** @brief 默认构造函数，创建单位变换* * 单位变换的矩阵为：* [1 0 0]* [0 1 0]* [0 0 1]*/Affine2D();/*** @brief 使用矩阵元素构造变换* @param a,b,c,d 线性变换部分的4个元素* @param tx,ty 平移部分的2个元素*/Affine2D(double a, double b, double c, double d, double tx, double ty);/*** @brief 创建平移变换* @param tx x方向平移量* @param ty y方向平移量* @return 平移变换*/static Affine2D translation(double tx, double ty);/*** @brief 创建旋转变换* @param angle 旋转角度（弧度）* @return 旋转变换*/static Affine2D rotation(double angle);/*** @brief 创建缩放变换* @param sx x方向缩放因子* @param sy y方向缩放因子* @return 缩放变换* @throw std::invalid_argument 当缩放因子为0时抛出*/static Affine2D scaling(double sx, double sy);/*** @brief 创建沿x轴的错切变换* @param kx x方向错切因子* @return 错切变换*/static Affine2D shearX(double kx);/*** @brief 创建沿y轴的错切变换* @param ky y方向错切因子* @return 错切变换*/static Affine2D shearY(double ky);/*** @brief 创建关于x轴的反射变换* @return 反射变换*/static Affine2D reflectionX();/*** @brief 创建关于y轴的反射变换* @return 反射变换*/static Affine2D reflectionY();/*** @brief 创建关于原点的反射变换* @return 反射变换*/static Affine2D reflectionOrigin();/*** @brief 创建关于直线的反射变换* @param k 直线斜率* @return 反射变换*/static Affine2D reflection(double k);/*** @brief 变换点* @param point 要变换的点* @return 变换后的点*/Point2D transform(const Point2D& point) const;/*** @brief 变换向量* @param vector 要变换的向量* @return 变换后的向量*/Vector2D transform(const Vector2D& vector) const;/*** @brief 与另一个变换组合* @param other 另一个变换* @return 组合后的变换*/Affine2D compose(const Affine2D& other) const;/*** @brief 求逆变换* @return 逆变换* @throw std::runtime_error 当变换不可逆时抛出*/Affine2D inverse() const;// 属性访问器double getA() const { return a; }double getB() const { return b; }double getC() const { return c; }double getD() const { return d; }double getTx() const { return tx; }double getTy() const { return ty; }private:double a, b;  // 线性变换部分的第一行double c, d;  // 线性变换部分的第二行double tx, ty