问题 6：在区域 {x2+y2+z2≤1}\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\}{x2+y2+z2≤1} 内找到一个调和函数 $$u$$，使得在边界 $$x^2+y^2+z^2=1$$ 上，$$u$$ 等于 $$g=z^3$$。

提示：根据第8.1节，解必须是一个三次调和多项式，并且它应该只依赖于 $$x^2+y^2+z^2$$ 和 $$z$$（解释为什么）。唯一的方式是找到 $$u=z^3+az(1-x^2-y^2-z^2)$$，其中 $$a$$ 是未知系数。

解决问题 6

需要找到调和函数 $$u$$ 在单位球内满足 $$\Delta u=0$$，且在边界上 $$u=z^3$$。

由于边界条件 $$g=z^3$$ 是 $$z$$ 的三次函数且具有轴对称性（只依赖于 $$z$$），因此解 $$u$$ 也应该具有同样的对称性，即只依赖于 $$z$$ 和 $$r^2=x^2+y^2+z^2$$。这就是为什么解应该只依赖于 $$x^2+y^2+z^2$$ 和 $$z$$。

根据提示，设 $$u=z^3+az(1-r^2)$$，其中 $$r^2=x^2+y^2+z^2$$。在边界 $$r^2=1$$ 上，$$u=z^3$$，满足边界条件。现在需要选择 $$a$$ 使得 $$\Delta u=0$$.

计算 $$\Delta u$$：

• $$\Delta (z^3)=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}(z^3)+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}(z^3)+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}(z^3)=0+0+6z=6z$$.
• 令 $$v=az(1-r^2)=az-az{r}^2$$，则 $$\Delta v=\Delta (az)-\Delta (az{r}^2)$$.
• $$\Delta (az)=a\Delta (z)=0$$.
• 计算 $$\Delta (az{r}^2)$$:
  $$z{r}^2=z(x^2+y^2+z^2)=z{x}^2+z{y}^2+z^3$$.
  • $$\Delta (z{x}^2)=2z$$（因为 $$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}(z{x}^2)=2z$$, 其他导数为零）。
  • $$\Delta (z{y}^2)=2z$$.
  • $$\Delta (z^3)=6z$$.
    所以 $$\Delta (z{r}^2)=2z+2z+6z=10z$$，因此 $$\Delta (az{r}^2)=10az$$.
• 于是 $$\Delta v=0-10az=-10az$$.

因此，
$$\Delta u=\Delta (z^3)+\Delta v=6z-10az.$$
设 $$\Delta u=0$$：
$$6z-10az=0⟹6-10a=0⟹a=\frac{3}{5}.$$
所以调和函数为：
$$u=z^3+\frac{3}{5}z(1-x^2-y^2-z^2).$$