1-AI带你认识TOPSIS

📘 一、TOPSIS 方法简介
1. 基本定义：
TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution），中文通常称为：
•
优劣解距离法
•
逼近理想解排序法
•
理想点法
它是一种经典的多指标综合评价方法，由 C.L. Hwang 和 K. Yoon 于 1981 年提出，主要用于解决多方案、多指标的综合排序与优选问题。

2. 核心思想：

TOPSIS 的核心思想是：通过计算每个评价对象与“理想解”（最优方案）和“负理想解”（最劣方案）之间的距离，来对各个方案进行优劣排序；距离“理想解”越近、距离“负理想解”越远的方案，其综合评价结果越好。

简单来说就是：
•
先找出所有对象中每个指标的最好值（正理想解） 和 最差值（负理想解）
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然后计算每个方案到这两个理想点的距离
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最后根据接近最优、远离最劣的程度进行排序，距离最优最近、最劣最远的方案最优

🧩 二、TOPSIS 方法的基本步骤
下面是 TOPSIS 方法的标准操作流程（非常规范、清晰，适合建模与论文使用）：

步骤 1：构建原始决策矩阵
假设有 m 个评价对象（如方案、城市、企业等），n 个评价指标，构建初始数据矩阵：
X=x11x21⋮xm1x12x22⋮xm2⋯⋯⋱⋯x1nx2n⋮xmn
其中 xij表示第 i个对象在第 j个指标上的原始取值。

步骤 2：数据标准化处理
由于不同指标可能具有不同的量纲（单位）、数量级，需要对原始数据进行标准化（归一化）处理，消除量纲影响，常用方法为：
（1）向量归一化（常用）：
yij=∑i=1mxij2xij
或者（2）极差标准化（区分正向/负向指标）：
•
正向指标（越大越好）：
yij=max(xj)−min(xj)xij−min(xj)
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负向指标（越小越好）：
yij=max(xj)−min(xj)max(xj)−xij
标准化后得到矩阵 Y=(yij)m×n，其中各元素 yij∈[0,1]

步骤 3：确定加权标准化矩阵（可选）
如果各指标的重要性不同，可以引入权重 wj（如通过 AHP、熵权法等方法获得），构造加权标准化决策矩阵：
V=(vij)m×n,vij=wj⋅yij
其中 wj是第 j 个指标的权重，且满足 ∑j=1nwj=1

✅ 在实际应用中，TOPSIS 往往会结合主观或客观权重方法使用，使评价更加科学合理。

步骤 4：确定正理想解和负理想解
•
正理想解（最优解） V+：每个指标取最优值
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对于 正向指标：取最大值
•
对于 负向指标：取最小值
•
负理想解（最劣解） V−：每个指标取最劣值
•
对于 正向指标：取最小值
•
对于 负向指标：取最大值
具体为：
vj+=max(v1j,v2j,...,vmj)或min(v1j,...,vmj)（根据指标类型）
vj−=min(v1j,v2j,...,vmj)或max(v1j,...,vmj)（根据指标类型）
步骤 5：计算各方案到正、负理想解的距离
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到正理想解的距离（欧氏距离）：
Di+=j=1∑n(vij−vj+)2
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到负理想解的距离（欧氏距离）：
Di−=j=1∑n(vij−vj−)2
其中 Di+越小越好，Di−越大越好。

步骤 6：计算相对贴近度（综合得分）
Ci=Di++Di−Di−,0≤Ci≤1
•
Ci越接近 1，说明该方案越接近最优解、远离最劣解，评价结果越好
•
Ci越接近 0，说明该方案越差

步骤 7：排序与决策
•
按照 Ci值从大到小排序
•
Ci最大的方案即为最优方案

✅ 三、TOPSIS 方法的优点与缺点
✅ 优点：
1.
直观易懂：基于“距离理想解”的思想，逻辑清晰，易于理解与解释
2.
适用性广：适用于多指标、多方案的综合评价与排序问题
3.
综合正负两方面信息：同时考虑最优和最劣情况，评价更全面
4.
结果明确：能给出清晰的方案优劣排序，便于决策
5.
可结合权重：常与 AHP、熵权法等结合，使用主观或客观权重，提高科学性
❌ 缺点：
1.
对数据标准化方法敏感：不同的标准化方式可能影响结果
2.
依赖权重设置：权重的合理性直接影响排序结果
3.
仅基于距离度量：未考虑指标之间的相关性等更复杂信息

📚 四、TOPSIS 的应用场景举例
•
方案优选类问题：如选择最优投资方案、供应商、旅游地、城市规划方案等
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绩效评价类问题：如企业绩效、政府绩效、学校排名、医院服务评价等
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综合评价类问题：如城市竞争力、环境质量、能源效率、技术创新能力等
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多指标决策问题：几乎所有涉及多个指标、多个对象优选排序的问题

🧠 五、总结一句话：

TOPSIS（优劣解距离法）是一种基于“距离理想解”思想的多指标综合评价方法，通过计算各评价对象与最优解和最劣解的距离，得到相对贴近度，从而进行排序与优选，是一种直观、科学、应用广泛的决策分析工具。

2-理论知识

介绍

答案：不是

定义

步骤

1）正向化

极小型转极大型

中间型转极大型

区间型转极大型

2）标准化

3）优劣解打分

优秀论文

课后习题

3-基于matlab实现优劣解距离法

源代码（包含详细注释）

%% 初始化数据
disp('--------------------------初始化数据--------------------------');
X = [99 0.010;100 0.012;98 0.040;97 0.033]
[n,m] = size(X);
disp(['有' num2str(n) '个评价对象，' num2str(m) '个评价指标']);%% 正向化
disp('--------------------------进行正向化--------------------------');
vec = input('请输入要正向化的向量组，如[1 2 3]表示1、2、3列需要正向化，如果都不需要输入0：\n')
if (vec~=0)% 遍历需要正向化的列for i = 1:size(vec)option = input(['第' num2str(vec(i)) '列是哪类数据？(【1】极小型【2】中间型【3】区间型)，请输入序号：\n']);% 极小型if (option == 1)X(:,vec(i)) = Min2Max(X(:,vec(i)))% 中间型elseif (option == 2)best = input('请输入中间型的最佳值，如180：\n');X(:,vec(i)) = Mid2Max(X(:,vec(i)),best)% 区间型elseif (option == 3)bound = input('请输入最佳区间，按照"[a b]"的格式，如[80 90]：\n');X(:,vec(i)) = Int2Max(X(:,vec(i)),bound(1),bound(2))elsedisp('输入的序号错误，不存在这类数据\n');endend
end%% 标准化
disp('--------------------------进行标准化--------------------------');
% 行数代表评判对象个数--n
% 列数代表评判指标个数--m
[n,m] = size(X)
exist = 0;
% 遍历矩阵确认是否存在负数
for i = 1 :nfor j = 1:mif (X(i,j)<0)exist = 1;break;endend
end% 如果不存在负数
if (exist == 0)% 每个元素都先平方square_X = X.*X% 先按列求和，再开方sum_X = sum(square_X,1) .^ 0.5Z = X ./ repmat(sum_X,n,1)
% 如果存在负数
else% 求出每一列的最大值max_X = max(X,[],1)% 求出每一列的最小值min_X = min(X,[],1)Z = (X - repmat(min_X,n,1)) ./ (repmat(max_X,n,1) - repmat(min_X,n,1))
end%% 方法一：距离法打分
disp('--------------------------距离法打分--------------------------');
% 按照列得到最值元素
x_max = max(Z,[],1)
x_min = min(Z,[],1)
% 距离法打分
Disntance_Score = (Z - repmat(x_min,n,1)) ./ (x_max - x_min)%% 方法二：优劣解打分
disp('--------------------------优劣解打分--------------------------');
% 生成默认值为1的m维权值列向量
w = ones(m,1)
is_need_weight = input('是否需要权重，若需要，请输入1，否则输入0:');
if (is_need_weight==1)w = [];for i = 1 : mw_j = input(['请输入第' num2str(i) '个指标的权重：']);w = [w;w_j];end
end
% 得到每列最值元素，复制n行变成成n×m型矩阵
Z_plus=repmat(max(Z,[],1),n,1)
Z_sub=repmat(min(Z,[],1),n,1)
D_plus=sum(((Z - Z_plus) .^ 2 ) * w , 2) .^ 0.5
D_sub=sum(((Z - Z_sub) .^ 2 ) * w , 2) .^ 0.5
S = D_sub ./ (D_plus+D_sub)
TOPSIS_Score = S ./ sum(S)%% 保存数据到excel表格
xlswrite('TOPSIS.xlsx',TOPSIS_Score);%% 以下是局部函数
% 极小型转为极大型，传入参数X为极小型数据，输出参数res极大型数据
function [res] = Min2Max(X)res = max(X)-X;
end% 中间型转为极大型，传入参数X为中间型数据，best为最佳值，输出参数res为极大型数据
function [res] = Mid2Max(X,best)M = max(abs(X-best));res = 1-abs(X-best)/M;
end% 区间型转为极大型
% 传入参数x为区间型数据,a,b分别为区间最佳最小值和最佳最大值
% 输入参数res为及大型数据
function [res] = Int2Max(X,a,b)M = max(a - min(X),max(X)-b);for i = 1:size(X)if (X(i)<a)X(i) = 1 - (a - X(i))/M;elseif (X(i) >= a && X(i) <= b)X(i) = 1;elseif (X(i) > b)X(i) = 1 - (X(i) - b)/M;endendres = X;
end