12.权重衰退（与课程对应）

一、权重衰退

1、使用均方范数作为硬性限制

2、使用均方范数作为柔性限制（通常这么做）

3、演示对最优解的影响

4、参数更新法则

5、总结

二、代码实现+从零实现

三、代码实现+简介实现

一、权重衰退

1、使用均方范数作为硬性限制

（1）通过限制参数值的选择范围来控制模型容量

$min$ $L(w, b)$ subject to $||w||^{2}$ $\leqslant \theta$

通常不限制便宜b（限不限制都差不多）

小的 $\theta$ 意味着更强的正则项

2、使用均方范数作为柔性限制（通常这么做）

（1）对每个 $\theta$ ，都可以找到 $\lambda$ 使得之前的目标函数等价于下面

min $L(w, b) + \frac{\lambda }{2} ||w||^{2}$

可以通过拉格朗日乘子来证明

（2）超参数 $\lambda$ 控制了正则项的重要程度

$\lambda$ =0：无作用

$\lambda \rightarrow \infty$ , $w^{*}\rightarrow 0$

3、演示对最优解的影响

4、参数更新法则

（1）计算梯度

$\frac{\partial }{\partial w}(L(w, b)) + \frac{\lambda }{2}||w||^{2})=\frac{\partial L(w, b) }{\partial w} + \lambda w$

（2）时间t更新参数

$w_{t+1}=(1-\eta \lambda )w_{t} - \eta \frac{\partial L(w_{t}, b_{t}) }{\partial w_{t}}$

通常 $\eta \lambda < 1$ ，在深度学习中通常叫做权重衰退

5、总结

（1）权重衰退通过L2正则项使得模型参数不会过大，从而控制模型复杂度

（2）正则项权重是控制模型复杂度的超参数

二、代码实现+从零实现

1、生成数据集：训练集越小，越容易过拟合；特征维度200

n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

2、初始化模型参数

def init_params():w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)b = torch.zeros(1, requires_grad=True)return [w, b]

3、定义L2范数惩罚

def l2_penalty(w):return torch.sum(w.pow(2)) / 2

4、定义训练代码实现

def train(lambd):w, b = init_params()  # 初始化权重net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss  # 模型，损失num_epochs, lr = 100, 0.003animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])  # 绘制for epoch in range(num_epochs):for X, y in train_iter:l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)l.sum().backward()d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)if (epoch + 1) % 5 == 0:animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

5、忽略正则化直接训练

train(lambd=0)
d2l.plt.show()

6、使用权重衰减

train(lambd=3)
d2l.plt.show()

7、完整代码

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l# 权重衰退：从零实现
# 1、生成数据集：训练集越小，越容易过拟合；特征维度200
n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)# 2、初始化模型参数
def init_params():w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)b = torch.zeros(1, requires_grad=True)return [w, b]# 3、定义L2范数惩罚
def l2_penalty(w):return torch.sum(w.pow(2)) / 2# 4、定义训练代码实现
def train(lambd):w, b = init_params()  # 初始化权重net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss  # 模型，损失num_epochs, lr = 100, 0.003animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])  # 绘制for epoch in range(num_epochs):for X, y in train_iter:l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)l.sum().backward()d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)if (epoch + 1) % 5 == 0:animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())# 忽略正则化直接训练
train(lambd=0)
d2l.plt.show()# 使用权重衰减
train(lambd=3)
d2l.plt.show()

三、代码实现+简介实现

1、生成数据集：训练集越小，越容易过拟合；特征维度200

n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

2、权重衰退+简洁实现

def train_concise(wd):net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))for param in net.parameters():param.data.normal_()loss = nn.MSELoss(reduction='none')num_epochs, lr = 100, 0.003# 偏置参数没有衰减trainer = torch.optim.SGD([{"params":net[0].weight, 'weight_decay': wd},{"params":net[0].bias}], lr=lr)animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])for epoch in range(num_epochs):for X, y in train_iter:trainer.zero_grad()l = loss(net(X), y)l.mean().backward()trainer.step()if (epoch + 1) % 5 == 0:animator.add(epoch + 1,(d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())

3、忽略正则化直接训练

train_concise(0)
d2l.plt.show()

4、使用权重衰减

train_concise(3)
d2l.plt.show()

5、完整代码

import torch
from matplotlib.pyplot import xlabel
from torch import nn
from d2l import torch as d2l# 生成数据集：训练集越小，越容易过拟合；特征维度200
n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)# 权重衰退+简洁实现
def train_concise(wd):net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))for param in net.parameters():param.data.normal_()loss = nn.MSELoss(reduction='none')num_epochs, lr = 100, 0.003# 偏置参数没有衰减trainer = torch.optim.SGD([{"params":net[0].weight, 'weight_decay': wd},{"params":net[0].bias}], lr=lr)animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])for epoch in range(num_epochs):for X, y in train_iter:trainer.zero_grad()l = loss(net(X), y)l.mean().backward()trainer.step()if (epoch + 1) % 5 == 0:animator.add(epoch + 1,(d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())# 忽略正则化直接训练
train_concise(0)
d2l.plt.show()# 使用权重衰减
train_concise(3)
d2l.plt.show()

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