题目描述

输入N个互不相同的二维整数坐标，求这N个坐标可以构成的正方形数量。[内积为零的的两个向量垂直]

输入描述
第一行输入为N，N代表坐标数量，N为正整数。N <= 100
之后的 K 行输入为坐标x y以空格分隔，x，y为整数，-10<=x, y<=10

输出描述
输出可以构成的正方形数量。

用例
输入

3
1 3
2 4
3 1

输出

0

说明

（3个点不足以构成正方形）

输入

4
0 0
1 2
3 1
2 -1

输出

1

二维坐标构成正方形数量计算

核心解题思路

该题的关键在于利用几何性质来高效判断正方形的存在。已知两个点((x_1,y_1))和((x_2,y_2))，根据正方形的几何特征，可通过向量旋转(90^{\circ})的方式计算出另外两个可能的对角点坐标。

向量(\overrightarrow{AB}=(x_2 - x_1, y_2 - y_1))，将其旋转(90^{{\circ})（顺时针或逆时针），得到新向量。若原向量为((a,b))，顺时针旋转(90}{\circ})后为((b,-a))，逆时针旋转(90^{\circ})后为((-b,a))。基于此，根据已知两点计算出另外两个可能的对角点坐标，然后检查这两个点是否都存在于给定的坐标列表中。若存在，则说明这四个点可以构成一个正方形。由于每个正方形在遍历点对的过程中会被计算(4)次（不同的边作为起始边），所以最终结果需要除以(4)。

完整代码实现

# 定义一个函数来判断两个点是否相等
def are_points_equal(p1, p2):return p1[0] == p2[0] and p1[1] == p2[1]# 定义一个函数来检查一个点是否存在于点列表中
def point_exists(points, p):for point in points:if are_points_equal(point, p):return Truereturn False# 读取坐标数量
n = int(input())
coordinates = []# 读取坐标并存入列表
for _ in range(n):x, y = map(int, input().split())coordinates.append((x, y))square_count = 0# 遍历所有点对，检查是否能构成正方形
for i in range(n):x1, y1 = coordinates[i]for j in range(i + 1, n):x2, y2 = coordinates[j]# 计算两个可能的对角点x3, y3 = x1 - (y1 - y2), y1 + (x1 - x2)x4, y4 = x2 - (y1 - y2), y2 + (x1 - x2)p3 = (x3, y3)p4 = (x4, y4)if point_exists(coordinates, p3) and point_exists(coordinates, p4):square_count += 1# 计算另外两个可能的对角点x5, y5 = x1 + (y1 - y2), y1 - (x1 - x2)x6, y6 = x2 + (y1 - y2), y2 - (x1 - x2)p5 = (x5, y5)p6 = (x6, y6)if point_exists(coordinates, p5) and point_exists(coordinates, p6):square_count += 1# 每个正方形被计算了4次，因此结果需要除以4
print(square_count // 4)

算法原理解析

点相等判断函数 are_points_equal

该函数通过比较两个点坐标的(x)值和(y)值是否分别相等，来判断两个点是否为同一个点。若(p1)的(x)坐标等于(p2)的(x)坐标，且(p1)的(y)坐标等于(p2)的(y)坐标，则返回 True，否则返回 False。

点存在检查函数 point_exists

遍历给定的点列表 points，对于列表中的每一个点，调用 are_points_equal 函数检查其是否与目标点 p 相等。若存在相等的点，则返回 True，表示目标点存在于列表中；遍历结束仍未找到相等的点，则返回 False。

主逻辑

• 读取坐标数量 n 和具体的坐标值并存入列表 coordinates。
• 两层循环遍历所有的点对 ((i, j))（(i < j)）：
  • 根据当前点对的坐标 ((x_1,y_1)) 和 ((x_2,y_2))，通过向量旋转的几何原理计算出两组可能的对角点坐标（如 (x3,y3)、(x4,y4) 和 (x5,y5)、(x6,y6) ）。
  • 分别检查每组对角点是否都存在于 coordinates 列表中。若存在，则 square_count 计数器加 (1)。
• 由于每个正方形在遍历点对的过程中会被计算 (4) 次（不同的边作为起始边），所以最终结果 square_count 需要除以 (4) 得到实际的正方形数量。

示例解析

示例一（输入 (3) 个点）

输入：

3
1 3
2 4
3 1

在两层循环中，由于只有 (3) 个点，当外层循环 i 取到 (2)（索引从 (0) 开始）时，内层循环 j 从 (i + 1 = 3) 开始，而总共有 (3) 个点，索引最大为 (2)，内层循环不会执行。因此，square_count 始终为 (0)，最终输出 (0)，符合 (3) 个点无法构成正方形的条件。

示例二（输入 (4) 个点能构成 (1) 个正方形）

输入：

4
0 0
1 2
3 1
2 -1

假设我们取点对 ((0,0)) 和 ((1,2))：

• 计算第一组对角点：
  (x3 = 0 - (0 - 2) = 2)，(y3 = 0 + (0 - 1) = -1)，即 (p3 = (2,-1))
  (x4 = 1 - (0 - 2) = 3)，(y4 = 2 + (0 - 1) = 1)，即 (p4 = (3,1))
  检查发现 (p3) 和 (p4) 都存在于坐标列表中，square_count 加 (1)。
• 计算第二组对角点时（可能不符合条件，此处不详细展开）。
  由于存在这样一组符合条件的对角点，且经过其他点对计算（可能重复计算同一个正方形的不同边），最终 square_count 会累加到 (4)（因为每个正方形被计算 (4) 次），除以 (4) 后输出 (1)。

总结

此代码通过巧妙利用几何中向量旋转的性质，避免了复杂的四重循环判断所有四个点组合的方式，大大提高了计算效率。对于初学者来说，理解向量旋转与坐标计算的关系是关键。通过 are_points_equal 和 point_exists 函数实现了点的基本操作判断，主逻辑部分通过遍历点对并结合几何计算来统计正方形数量。这种方法不仅在代码实现上相对简洁，而且在算法效率上也有较好的表现，适用于给定规模（(N <= 100)）的坐标输入情况。通过对示例的分析，能更清晰地看到代码如何根据输入数据进行计算并得出正确结果，有助于深入理解整个算法流程。