在一定条件之下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔点上的值或样本来表示，并且可以用这些样本值把该信号全部恢复出来。这个稍微有点使人吃惊的性质来自于采样定理。

例如一帧一帧的电影画面，在我们大脑中构成连续的生活情节

接下来我们就开启讲解

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一、采样定理

如果一个信号是带限的(即它的傅里叶变换在某一有限频带范围以外均为零),并且它的样本取得足够密的话(相对于信号中的最高频率而言),那么这些样本值就能唯一地用来表征这一信号，并且能从这些样本中把信号完全恢复出来，这一结果就是采样定理。

1.冲激串采样

连续时间信号在均匀间隔上的采样

在时域中有：

其中p为：

则：

由第二节我们讲的相乘性质，则：

且p的傅里叶变换有：

得到最终的结果：

也就是说，是频率为  的周期函数，由一组移位的叠加而成，但在幅度上标以1/T的变化。

我们再来观察上图，

当时，如图c所见，无重叠现象；

而当时，如图d，形成重叠。

c是可以复原原样本的，而d发生了错误重叠。

由此导出采样定理：

采样定理中，采样频率必须大于，该频率一般被称为奈奎斯特率

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接下来我们讲解通信系统

二、复指数与正弦幅度调制

信号x(t)被称为调制信号，而信号c(t)被称为载波信号

已调信号y(t)就是这两个信号的乘积

常见载波信号的形式:

1.复指数

2.正弦

在这两种情况下，频率都称为载波频率

方便起见，我们假设

则对于复指数载波的情况：

记为傅里叶变换形式：

而对于复指数形式的c(t)，有：

因此：

而从已调信号恢复也很简单：

而复指数信号又可以写为欧拉函数的样子

则有下图：

而对于正弦载波的情况：

载波信号的频谱为：

则：

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三、正弦AM的解调

载有信息的x(t)是经由解调而得到恢复的

假设（可以参照下面大的绘图）

若

原始信号可以通过y(t)来调制同样一个正弦载波并使用一个低通滤波器把它恢复出来，可考虑以下过程：

可以看到x(t)可以用一个增益为2，截止频率大于，且小于的理想低通滤波器从w(t)中恢复出来。

过程：

下面两张图解释了调制和解调过程

在这两个系统中，如果解调器载波在相位上与调制器载波是同相的，则这一过程被称为同步解调

在复指数载波的情况下，用  代表调制载波的相位，用  代表解调用载波的相位

因：

则有：

但是对于x(t)取正值的特殊情况，x(t)=|w(t)|，可以通过绝对值操作恢复出来

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非同步解调并不在课程重点内，在此略过。

下一讲继续