第九章 动态规划part03

正式开始背包问题，背包问题还是挺难的，虽然大家可能看了很多背包问题模板代码，感觉挺简单，但基本理解的都不够深入。
如果是直接从来没听过背包问题，可以先看文字讲解慢慢了解 这是干什么的。
如果做过背包类问题，可以先看视频，很多内容，是自己平时没有考虑到位的。
背包问题，力扣上没有原题，大家先了解理论，今天就安排一道具体题目。
掌握01背包，和完全背包，就够用了，最多可以再来一个多重背包。
详细布置

01背包问题 二维

https://programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%8001%E8%83%8C%E5%8C%85-1.html
视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1cg411g7Y6

01背包问题 一维

https://programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%8001%E8%83%8C%E5%8C%85-2.html
视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1BU4y177kY

01背包总结

416. 分割等和子集

本题是 01背包的应用类题目
https://programmercarl.com/0416.%E5%88%86%E5%89%B2%E7%AD%89%E5%92%8C%E5%AD%90%E9%9B%86.html
视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1rt4y1N7jE

01背包

题目链接

https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1046

解题思路

什么是01背包？

背包问题的理论基础重中之重是01背包，一定要理解透！

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
image.png

自底向上思考，暴力解法如何做？

每一件物品只有俩个状态，取或不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是O(2^n),n表示物品数量
所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！

public class BagProblem {/*** 有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。* 每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。**/int maxValue=0;List<Integer> bagLog =new ArrayList<>();int curWeight=0;int curValue=0;public void backtracking(int bagSize,int [] weight,int [] value,int startIndex){if(curWeight>bagSize){return;}//遍历物品for(int i=startIndex;i<weight.length;i++){if(curWeight+weight[i]>bagSize){break;}bagLog.add(i);curValue+=value[i];curWeight+=weight[i];System.out.println("当前背包的物品："+ bagLog.toString() +"价值："+curValue);maxValue=Math.max(maxValue,curValue);backtracking(bagSize,weight,value,i+1);if(bagLog.size()==weight.length){return;}curValue-=value[i];curWeight-=weight[i];bagLog.remove(bagLog.size()-1);}}public  int bagProblemWithBacktracking(int bagSize,int [] weight,int [] value){backtracking(bagSize,weight,value,0);return maxValue;}public static void main(String[] args) {int[] weight = {1,3,4};int[] value = {15,20,30};int bagSize = 10;BagProblem bagProblem = new BagProblem();int _maxValue = bagProblem.bagProblemWithBacktracking(bagSize, weight, value);System.out.printf(""+_maxValue);}}
二维dp数组01背包

:::tips
动规五步曲分析
1.确定dp数组以及下标的含义
对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
二维数组如图所示，要时刻记着dp数组的含义，i代表什么 j代表什么

2.确定递推公式
再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
那么可以有两个方向推出来dp[i][j]
2.1 不放物品i : 由dp[i - 1][j]推出 此时dp[i][j]=dp[i-1][j]
(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同)
2.2 放物品i : 由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，value[i]是物品i的价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] ，就是背包放物品i得到的最大价值
所以递推公式是: dp[i][j]=Math.max(dp [i-1] [j], dp [i-1] [j - weight[i] ]+value[i])

进一步理解疑惑，这里为什么取最大，为什么j-weight[i]？
因为这里放物品i 不是说你的背包是无限大的，直接就放进去，比如：你背包重量是5，当前背包有
i1 重量是1 i2 重量是2 i3重量是1 ，此时来到背包重量5，物品i4的重量是4，你要想能放物品i4，n你就得j-weight[i4] =1 , 那么现在背包有物品i1 + 物品i4 ，这时候就要比较 i1,i4的价值大还是i1,i2,i3的价值大，是不确定的，所以要取他俩的最大值。
j - weight[i] 的意思是要确保能放进去 weight[i] 才能加入背包，也就是背包容量为j - weight[i]的价值是多少 再加上 value[i] ,当然你能不能让数组越界 j - weight[i] <0 根本就放不下这个物品，还是要取dp [i-1] [j]
3.dp数组如何初始化
关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
3.1首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0

3.2在看其他情况，状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化
** j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小**
当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品

所以初始化如图

4.确定遍历顺序
如上图所示有俩个遍历维度，物品与背包重量
遍历物品更好理解，因为逻辑上是取物品放到背包里面嘛，但在二维里都可以。
为什么都可以的呢？
要理解递归的本质和递推的方向。
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。
dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括正上方向）

无非就竖或横着填充二维数组，虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的取值 推导！

5.举例推导dp数组

最终结果就是dp[2][4]。

总结：
做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码！
:::

public class BagProblem {public int bagProblem(int bagSize,int[] weight,int[] value){//1.确定dp数组以及下标的含义//dp[i][j] 任取0-i物品放进重量为j的背包的最大价值//2.确定递推公式//dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])//3.如何初始化dp数组int dp[][]=new int[weight.length][bagSize+1];//weight.length 物品大小//3.1 背包重量是0的时候放不下物品 初始化价值为0, java int数组默认是0//3.2 递推公式由i-1推出，要初始化dp[0,j]的值for (int j = 0; j <= bagSize ; j++) {if(j>=weight[0]){dp[0][j]=value[0];}}//4.确定遍历顺序for(int i=1;i<weight.length;i++){//遍历物品for(int j=1;j<=bagSize;j++){//遍历背包重量//处理 j-weight[i] 小于0的情况放不下物品iif(j<weight[i]){dp[i][j]=dp[i-1][j];}else {dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);}}}//5.打印dp数组for(int i=0;i<weight.length;i++){for(int j=0;j<=bagSize;j++){System.out.print(dp[i][j] + "\t");}System.out.println();}//最后一个位置就是答案return dp[weight.length-1][bagSize];}public static void main(String[] args) {int[] weight = {1,3,4};int[] value = {15,20,30};int bagSize = 4;int maxValue = new BagProblem().bagProblem(bagSize, weight, value);System.out.println("最大值:"+maxValue);}
}

image.png

滚动数组(一维dp数组)01背包

:::tips
滚动数组就是把二维dp降为一维dp
image.png
对于背包问题其实状态都是可以压缩的。
在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。
这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。
动规五步曲
1.确定dp数组的定义以及下标的含义
dp[j] 表示容量为j的背包，所背的物品价值最大为dp[j]
2.一维数组的递推公式
二维递推公式
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
一维dp数组，其实就是上一层dp[i-1] 这一层拷贝到dp[i]
dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]] + value[i])
此时dp[j]有两个选择：
一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，
一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，
指定是取最大的，毕竟是求最大价值。
3.一维dp数组的初始化
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？
看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。

4.一维dp数组遍历顺序
只能先遍历物品在遍历背包，且背包要倒序
二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。
**遍历背包为什么倒序呢？**因为数组是压缩的，不再是像二维那样依赖上一层的互不影响
倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！
举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15
如果正序遍历
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30
此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。
为什么倒序遍历，就可以保证物品只放入一次呢？
倒序就是先算dp[2]
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。
二维不用倒序是因为dp[i][j]都是通过上一层dp[i-1][j]而来

为什么不可以先遍历背包在遍历物品？
因为背包容量是倒序遍历，如果这样背包里就会只放一个物品，举个例子试下就知道了
例如：遍历背包容量第一次取容量是4， 取物品0放入, 取物品1 dp[j-weight[1]] 它是空值 +value[i],此时背包就只有物品i ,因为是从后向前，前面不可能有值，最终背包容量是4的，只有一个价值最大的物品是不对的。

5.举例推导dp数组

:::

public class BagProblem {public int bagProblem(int bigSize,int[] weight,int[] value){//1.确定dp数组以及下标的含义//dp[j] 容量为j的背包，所背物品的最大价值为dp[j]//2.确定递推公式//dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])//3.初始化int [] dp=new int[bigSize+1];Arrays.fill(dp,0);//4.确定遍历顺序 先遍历物品在遍历背包，背包要倒序for(int i=0;i<weight.length;i++){//遍历物品//for(int j=bigSize;j>=weight[i];j--){//    dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);//}//方便打印全部dp数组，实际写用上面注释的遍历方式for(int j=bigSize;j>=0;j--){//遍历背包重量if(j<weight[i]){//确保要当前背包可以装的下物品idp[j]=dp[j];//这里不用写，装不下物品i了，因为是滚动数组，维持原来的物品，上面的循环省去了额外遍历还是有好处的}else {dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);}System.out.print(dp[j]+"\t");}System.out.println();}//5.举例推导dp数组return dp[bigSize];}public static void main(String[] args) {int[] weight = {1,3,4};int[] value = {15,20,30};int bagSize = 4;int maxValue = new BagProblem().bagProblem(bagSize, weight, value);System.out.println("最大值:"+maxValue);}}

这里打印出的背包遍历顺序是4-0 ，下图打印的第一个位置就是dp数组的4号位置，最后一个位置是dp数组的0号位置，因为打印先处理的背包4号位置->3…0。
解释的意思是不要产生误会，看打印然后取dp[0]，实际取dp[4] 就是dp[bigSize]。
image.png
for(int j=bigSize;j>=weight[i];j–) 这个循环明显执行次数更少
image.png

正常想的模拟图应该这么画，实际对应dp数组打印的翻转，你应该懂的！

416. 分割等和子集

题目链接

https://leetcode.cn/problems/partition-equal-subset-sum/description/

解题思路

要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。
回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。
那么来一一对应一下本题，看看背包问题如何来解决。

只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。
背包的体积为sum / 2
背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
背包中每一个元素是不可重复放入。

code

class Solution {// 只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。// 背包的体积为sum / 2// 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值// 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。// 背包中每一个元素是不可重复放入。public boolean canPartition(int[] nums) {int sum=Arrays.stream(nums).sum();if(sum%2==1){return false;}//1.确定dp数组以及下标的含义//01背包中，dp[j] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。//j 是sum/2 物品就是子集//2.确定递推公式//01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);//本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]//dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j=nums[i]+nums[i]]);//3.dp数组如何初始化int bagSize=sum/2;int[] dp=new int[bagSize+1];Arrays.fill(dp,0);//4.确定遍历顺序for(int i=0;i<nums.length;i++){for(int j=bagSize;j>=nums[i];j--){dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);}}//dp[bagSize] 计算出背包的最大数值，必定是装满 //题目要求俩个子集相等，sum/2代表，俩个子集的值//那么sum/2=bagSize = dp[bagSize] 就说明存在这俩个子集return dp[bagSize]==bagSize;}
}

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