一、二维

1、二维随机变量及其分布

假设E是随机试验，Ω是样本空间，X、Y是Ω的两个变量；(X,Y)就叫做二维随机变量或二维随机向量。X、Y来自同一个样本空间。

联合分布函数 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)，即F(x,y)表示求(x,y)左下方的面积。 F(x,y) 不减，例如：y固定，x1<x2，F(x1,y)<F(x2,y)；F(x,y)分别关于x和y右连续。

对于 $x_1$ < $x_2$ ， $y_1$ < $y_2$ 存在 P( $x_1$ < X ≤ $x_2$ ， $y_1$ <Y ≤ $y_2$ ) = F( $x_2$ , $y_2$ ) - F( $x_2$ , $y_1$ )-F( $x_1$ , $y_2$ )+F( $x_1$ , $x_2$ )

P( $x_1$ < X ≤ $x_2$ ， $y_1$ <Y ≤ $y_2$ ) 如左下图表示，等号右边则是图中四块区域的代表。

2、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布

边缘分布 是表示在所有可能的一个变量值上，获取另一个变量的概率之和

X的边缘分布： $F_X$ (x) = P(X ≤ x) = F(x,+∞) = P(X≤x,Y<+∞)

Y的边缘分布： $F_Y$ (y) = P(Y ≤ y) = F(+∞,y) = P(X<+∞,Y≤y)

联合概率质量函数 P(X=x,Y=y) 描述了随机变量 X 和 Y 同时取特定值 x 和y 的概率。所有可能的 x 和 y 值的概率之和等于1。

3、二维连续随机变量的联合密度和边缘密度函数

F(x,y) = P(X≤x,Y≤y) = $\int_{-\infty}^x$ $\int_{-\infty}^y$ f(s,t) ds dt 函数就是对所有的x,y进行积分求和。

例如：已知联合密度函数，求分布函数F(x,y)

解：带入分布函数公式： $\int_{-\infty}^x$ $\int_{-\infty}^y$ f(s,t) ds dt = $\int_{0}^x$ $\int_{0}^y$ $e^{-(x+y)}$ dx dy = $\int_{0}^x$ $e^{-x}$ dx $\int_{0}^y$ $e^{-y}$ dy =(1- $e^{-x}$ )(1- $e^{-y}$ ) ;因为联合密度函数定义域为x,y都大于0，所以积分时只需要大于0即可

边缘密度函数 直接将另一个变量积分部分等价于（x,+ $\infty$ ），则剩下部分为另一个变量的边缘密度函数。

二、条件分布

1、基础定义

已知另一个随机变量或事件的条件下，该随机变量的概率分布：F(x|A)=P(X $\leq$ x | A)

例如：概率密度函数如图，求在X>1的条件下f(x)的条件分布函数

解：F(x | X>1) = P(X $\leq$ x|X>1)=P(X $\leq$ x,X>1)/ P(X>1)

求分子：P(1 $\leq$ X $\leq$ x) = $\int _1^x$ 1/ $\pi(1+x^2)$ dx = 1/ $\pi$ * arctan(x) $|_1^x$ = arctan(x)/ $\pi$ - 1/4

求分母：P(X>1) = $\int _1^\infty$ 1/ $\pi(1+x^2)$ = 1/ $\pi$ * arctan(x) $|_1^\infty$ = 1/ $\pi$ * $\pi$ /2 - 1/ $\pi$ * $\pi$ /4 = 1/4

则整个结果为（arctan(x)/ $\pi$ - 1/4）/1/4=arctan(x)/ $\pi$ -1

2、离散型随机变量的条件分布

从分布表来理解

X\Y	0	1
0	0.1	0.3
1	0.3	0.3

P(Y=y) 是 Y 的边缘概率质量函数，Y 的边缘概率质量函数是对列求和：

Y	0	1
P	0.4	0.6

那么在Y=1的条件下，假设x=0，X=x的概率为： P(X=0∣Y=1)=03/0.6 =0.5；假设x=1，X=x的概率为 P(X=1∣Y=1)=0.3/0.6=0.5

3、连续型随机变量的条件分布

Y=y条件下，条件概率密度函数为： f(x∣y)=f(x,y) / $f_Y$ (y)；同理X=x条件下：f(y∣x)=f(x,y) / $f_X$ (x)。其中 $f_Y$ (y) 、 $f_X$ (x) 是边缘函数。

例如：假设

解：f(x|y) = f(x,y) / $f_Y$ (y) = 1/ $\pi^2$ (1+ $x^2$ )(1+ $y^2$ ) / 1/ $\pi$ (1+ $y^2$ ) = 1/ $\pi^2$ (1+ $x^2$ )

f(y|x) = f(x,y) / $f_X$ (x) = 1/ $\pi^2$ (1+ $x^2$ )(1+ $y^2$ ) / 1/ $\pi$ (1+ $x^2$ ) = 1/ $\pi^2$ (1+ $y^2$ )

三、随机变量独立性

概率密度函数f(x,y)可以表示为各自边缘概率密度函数的乘积：

离散型 ：P(X=x,Y=y)=P(X=x)⋅P(Y=y)

连续型：f(x,y)= $f_X$ (x)⋅ $f_Y$ (y)

四、二维随机变量函数的分布

1、离散型

第一步：列出所有x与y结合的取值点 (例如：z=x+y)

第二步：根据联合概率质量函数 P(X=x,Y=y) 求z的值分布及其概率

第三步；全部z点相加验证是否等于1

例如：

假设有两个离散型随机变量 XX 和 YY，它们的联合PMF如下表所示：

X \ Y	1	2	3
1	0.1	0.2	0.0
2	0.0	0.3	0.0
3	0.1	0.1	0.2

第一步：列出所有z点（P(1,1) ,P(1,2),P(1,3),P(2,1),P(2,2),P(2,3),P(3,1),P(3,2),P(3,3)

第二步：根据点得到对应概率，并根据（z=x+y）的求得Z点数值

Z2=P(1,1) = 0.1

Z3=P(1,2)+P(2,1) = 0.2+0.0 = 0.2

Z4=P(1,3)+P(2,2)+P(3,1) =0.0+0.3+0.1=0.4

Z5=P(2,3)+P(3,2)=0.0+0.1=0.1

Z6=P(3,3)=0.2

第三步：根据得到所有点概率进行求和验证 Z2+Z3+Z4+Z5+Z6 =0.1+0.2+0.4+0.1+0.2=1

2、连续型

第一步：明确要求需要什么函数（分布函数、概率密度函数）

第二步：根据联合密度函数进行（x,y）积分得到分布函数，在进行求导得到z的概率密度函数

$F_Z$ (z)= P(Z ≤ z)=P ( g(X,Y) ≤z ) = $\int$ $\int_{g(x,y)}$ ≤z f(x,y) dx dy ; $f_Z$ (z)=d/dz * $F_Z$ (z)

例如：假设 (X,Y) 的联合概率密度函数为下图，求Z=X+Y的分布

解：

第一步：求分布函数，根据z=x+y 以及函数信息得到 z在(x,y)的分布 => 直角坐标系点（1，1）、（1，0）、（0，1）、（0，0），四个点所在的长方形，线条z=x+y 也就是点（2，0）、（0，2）、（0，0）三点的三角形区域，两块面积的区域交集部分就是z在直角坐标系的投影;根据x,y的值获得z的分布区间（0，2），由于z在（0，1）区间是符合x,y的区间随意落地，可以直接使用积分函数求解；z在（1，2）区间内只能在长方形减去右上三角面积的结果

第二步：对（0，1）进行积分：根据联合密度函数进行积分布函数 $F_Z$ (z)= P(Z ≤ z)=P ( g(X,Y) ≤z ) = $\int$ $\int_{g(x,y)}$ ≤z f(x,y) dx dy = $\int_0^z$ dx $\int_0^{z-x}$ 2 dy = $\int_0^z$ 2y $| _0^{z-x}$ dx = $\int_0^z$ 2(z-x) dx =2zx - $x^2$ $| _0^{z}$ = $z^2$