梯度下降算法（Gradient Descent）的数学公式可以通过以下步骤严格表达：
1. 基本梯度下降（Batch Gradient Descent）
目标：最小化损失函数L(θ)\mathcal{L}(\theta)L(θ)，其中 θ\thetaθ是模型参数。
参数更新规则： θt+1=θt−η⋅∇θL(θt)\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \cdot \nabla_\theta \mathcal{L}(\theta_t)θt+1=θt−η⋅∇θL(θt)
- θt\theta_tθt：第 $t $次迭代的参数值
- η\etaη：学习率（Learning Rate）
- ∇θL(θt)\nabla_\theta \mathcal{L}(\theta_t)∇θL(θt)：损失函数对参数 θ\thetaθ的梯度（所有训练样本的平均梯度）。
2. 随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent, SGD）
每次迭代随机选取一个样本计算梯度：
θt+1=θt−η⋅∇θL(θt;xi,yi)\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \cdot \nabla_\theta \mathcal{L}(\theta_t; x_i, y_i)θt+1=θt−η⋅∇θL(θt;xi,yi)
- ∇θL(θt;xi,yi)\nabla_\theta \mathcal{L}(\theta_t; x_i, y_i)∇θL(θt;xi,yi)：仅基于单个样本 (xi,yi)(x_i, y_i)(xi,yi)的梯度。
3. 小批量梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent）
每次迭代使用一个小批量（Batch）数据计算梯度：
θt+1=θt−η⋅1B∑i=1B∇θL(θt;xi,yi)\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \cdot \frac{1}{B} \sum_{i=1}^B \nabla_\theta \mathcal{L}(\theta_t; x_i, y_i)θt+1=θt−η⋅B1∑i=1B∇θL(θt;xi,yi)
- BBB：批量大小（Batch Size）
- 1B∑i=1B∇θL\frac{1}{B} \sum_{i=1}^B \nabla_\theta \mathcal{L}B1∑i=1B∇θL：批量内样本梯度的平均值。
4. 带动量的梯度下降（Momentum）
引入动量项 vtv_tvt加速收敛并减少震荡：
vt+1=βvt+(1−β)∇θL(θt)v_{t+1} = \beta v_t + (1-\beta) \nabla_\theta \mathcal{L}(\theta_t)vt+1=βvt+(1−β)∇θL(θt)
θt+1=θt−η⋅vt+1\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \cdot v_{t+1}θt+1=θt−η⋅vt+1
- β\betaβ：动量系数（通常设为 0.9），控制历史梯度的影响。
5. Adam 优化器
结合动量（一阶矩）和自适应学习率（二阶矩），并引入偏差修正：
mt+1=β1mt+(1−β1)∇θL(θt)(一阶矩估计)m_{t+1} = \beta_1 m_t + (1-\beta_1) \nabla_\theta \mathcal{L}(\theta_t) \quad \text{(一阶矩估计)}mt+1=β1mt+(1−β1)∇θL(θt)(一阶矩估计)
vt+1=β2vt+(1−β2)(∇θL(θt))2(二阶矩估计)v_{t+1} = \beta_2 v_t + (1-\beta_2) \left( \nabla_\theta \mathcal{L}(\theta_t) \right)^2 \quad \text{(二阶矩估计)}vt+1=β2vt+(1−β2)(∇θL(θt))2(二阶矩估计)
m^t+1=mt+11−β1t+1(一阶矩偏差修正)\hat{m}{t+1} = \frac{m{t+1}}{1 - \beta_1^{t+1}} \quad \text{(一阶矩偏差修正)}m^t+1=1−β1t+1mt+1(一阶矩偏差修正)
v^t+1=vt+11−β2t+1(二阶矩偏差修正)\hat{v}{t+1} = \frac{v{t+1}}{1 - \beta_2^{t+1}} \quad \text{(二阶矩偏差修正)}v^t+1=1−β2t+1vt+1(二阶矩偏差修正)
θt+1=θt−η⋅m^t+1v^t+1+ϵ\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \cdot \frac{\hat{m}{t+1}}{\sqrt{\hat{v}{t+1}} + \epsilon}θt+1=θt−η⋅v^t+1+ϵm^t+1
- β1,β2\beta_1, \beta_2β1,β2：衰减率（通常设为 0.9 和 0.999）
- ϵ\epsilonϵ：数值稳定性常数（通常设为$10^{-8} $）。
6. 梯度下降的数学意义
梯度下降的更新方向由 负梯度方向 −∇θL-\nabla_\theta \mathcal{L}−∇θL决定，其本质是沿着损失函数曲面的最速下降方向移动参数 θ\thetaθ。学习率 η\etaη控制步长，过大可能导致震荡，过小则收敛缓慢。
公式总结表
| 算法 | 公式 |
|---|---|
| 批量梯度下降 | θt+1=θt−η⋅∇θL\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \cdot \nabla_\theta \mathcal{L}θt+1=θt−η⋅∇θL |
| 随机梯度下降 | θt+1=θt−η⋅∇θL(xi,yi)\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \cdot \nabla_\theta \mathcal{L}(x_i, y_i)θt+1=θt−η⋅∇θL(xi,yi) |
| 小批量梯度下降 | θt+1=θt−η⋅1B∑i=1B∇θL(xi,yi)\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \cdot \frac{1}{B} \sum_{i=1}^B \nabla_\theta \mathcal{L}(x_i, y_i)θt+1=θt−η⋅B1∑i=1B∇θL(xi,yi) |
| Momentum | vt+1=βvt+(1−β)∇θL)，(θt+1=θt−ηvt+1v_{t+1} = \beta v_t + (1-\beta)\nabla_\theta \mathcal{L} )，( \theta_{t+1} = \theta_t - \eta v_{t+1}vt+1=βvt+(1−β)∇θL)，(θt+1=θt−ηvt+1 |
| Adam | θt+1=θt−η⋅m^t+1v^t+1+ϵ\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \cdot \frac{\hat{m}{t+1}}{\sqrt{\hat{v}{t+1}} + \epsilon}θt+1=θt−η⋅v^t+1+ϵm^t+1 |
关键点
- 梯度方向：负梯度方向是函数值下降最快的方向（由泰勒展开的一阶近似可得）。
- 学习率选择：学习率 $\eta $需通过实验调参（或使用自适应方法如 Adam）。
- 收敛性：在凸函数中，梯度下降收敛到全局最优；在非凸函数中可能收敛到局部极小或鞍点。
- 复杂度：批量梯度下降计算成本高，小批量/随机梯度下降更适合大规模数据。
通过上述公式，梯度下降算法被严格地数学化，成为深度学习模型优化的基础工具。
