1、核心逻辑：Transformer 的 “语言处理闭环”

2、转导与感知 → 模型咋 “理解语言”？

2.1、人类 vs 机器的 “语言理解逻辑”

2.2、自注意力机制：模型 “理解语言” 的数学核心

2.2.1、通俗拆解

2.2.1.1、是什么？

2.2.1.2、公式分步解读：

2.2.2、举个示例

2.3、完整代码

3、性能与基准 → 咋判断模型 “强不强”？

3.1、评估指标：模型的 “判分公式”

3.1.1、准确率（Accuracy）：简单粗暴的 “正确率”

3.1.2、F1 分数（F1-Score）：平衡 “精准度” 和 “召回率”

3.1.3、困惑度（Perplexity）：测文本生成的 “自然度”

3.2、基准任务：模型的 “高考题”

3.3、完整代码

3.3.1、准确率和F1分数

3.3.2、困惑度

4、下游任务 → 模型的 “实战刷题”（公式怎么用？）

4.1、CoLA（语法判官）→ 用准确率测 “语法规范度”

4.2、SST-2（情感分析师）→ 用 F1 分数测 “情感判断准度”

4.3、MRPC（同义侦探）→ 用准确率 / F1 测 “语义识别能力”

4.4、Winograd 模式（逻辑推理大师）→ 无固定公式，靠自注意力 “算逻辑”

4.5、完整代码(核心重点，特简单)

5、Transformer 模型的实际应用案例

5.1、智能客服与聊天机器人

5.2、机器翻译

5.3、内容创作辅助

5.4、医疗领域应用

5.5、搜索引擎优化与内容推荐

6、知识串联：公式、原理与任务的关系

补充知识

7、余弦相似度：从公式到应用

7.1、余弦相似度的计算公式是什么？

7.2、用实例理解计算过程

7.3、余弦相似度与其他相似度的对比

7.4、余弦相似度的实际应用场景

想彻底搞懂 Transformer 如何玩转自然语言处理（NLP）任务？这就把模型原理、实战案例和核心公式揉在一起，用 “大白话 + 数学逻辑” 讲透，让每个知识点都能 “落地”！

1、核心逻辑：Transformer 的 “语言处理闭环”

Transformer 的使命，是让机器像人一样理解语言，再解决翻译、聊天、写文案等实际问题。这个过程分三步：

学懂语言：模仿人类 “分层理解语言” 的逻辑，靠数学计算实现（转导与感知）。
测准能力：用 “考试体系”（基准任务 + 公式指标）判断模型好不好用（性能与基准）。
解决问题：在真实 NLP 任务里 “实战”，用学到的能力处理语法、情感、推理等问题（下游任务）。

2、转导与感知 → 模型咋 “理解语言”？

核心：Transformer 靠自注意力机制模拟人类 “关注上下文” 的能力，底层是数学计算。

2.1、人类 vs 机器的 “语言理解逻辑”

人类：靠 “分层认知”→ 先认词（底层），再关联语义和经验（中层），最后结合上下文推理（高层）（比如 “苹果” 在 “吃苹果” 里是水果，在 “苹果手机” 里是产品）。
机器：靠 “分层计算”→ 把文字转成数字（词嵌入），算清词与词的关联（自注意力），最后整合全局语义（编码器 / 解码器）。

2.2、自注意力机制：模型 “理解语言” 的数学核心

详解参考：9-大语言模型—Transformer 核心：多头注意力的 10 步拆解与可视化理解-CSDN博客

自注意力是 Transformer 的 “灵魂”，公式如下：

$Attention(Q, K, V) = softmax(\frac{QK^T}{\sqrt{d_k}})V$

2.2.1、通俗拆解

2.2.1.1、是什么？

Q（Query）：当前词的 “查询向量”（比如处理 “苹果” 时，Q 是 “苹果” 的词向量）。
K（Key）：其他词的 “键向量”（比如句子里 “水果、手机、吃” 的词向量）。
V（Value）：和 K 对应的 “值向量”（用来计算最终输出的语义信息）。

2.2.1.2、公式分步解读：

$QK^T$ ：算 “当前词” 和 “其他词” 的关联度（比如 “苹果” 和 “水果” 的关联度高，和 “天空” 低）。
$\frac{}{\sqrt{d_k}}$ ：缩放操作（ $d_k$ 是 K 的维度），避免关联度太大导致 softmax “极端化”（比如数值太大，softmax 后只有一个词被关注，其他词被忽略）。
$softmax(·)$ ：把关联度转成注意力权重（让重要的词权重更高，比如 “吃” 和 “苹果” 的权重比 “天空” 高）。
乘以 V：用权重加权求和 V，得到融合上下文的新语义（比如 “苹果” 结合 “水果” 的信息，输出更精准的词向量）。

2.2.2、举个示例

处理句子 “我吃苹果，它很甜” 时： “它” 的 Q 会和 “苹果” 的 K 计算出高关联度→ 注意力权重向 “苹果” 倾斜→ 最终 “它” 的语义向量融合了 “苹果” 的信息，模型就知道 “它” 指 “苹果”。

2.3、完整代码

"""
文件名: 1
作者: 墨尘
日期: 2025/7/29
项目名: llm_finetune
备注: 
"""
import torch
import torch.nn.functional as F# 模拟输入：3个词的嵌入向量（假设嵌入维度为4）
# 句子：“我 吃 苹果”（每个词用随机向量模拟，实际中是预训练嵌入）
word_embeddings = torch.tensor([[0.2, 0.5, 0.1, 0.3],  # “我”的嵌入[0.4, 0.1, 0.8, 0.2],  # “吃”的嵌入[0.7, 0.3, 0.2, 0.9]   # “苹果”的嵌入
], dtype=torch.float32)
seq_len, d_model = word_embeddings.shape  # seq_len=3, d_model=4# 随机初始化Q、K、V矩阵（实际中是模型参数）
W_q = torch.randn(d_model, d_model)  # 4x4
W_k = torch.randn(d_model, d_model)
W_v = torch.randn(d_model, d_model)# 计算Q、K、V
Q = word_embeddings @ W_q  # 3x4（每个词的查询向量）
K = word_embeddings @ W_k  # 3x4（每个词的键向量）
V = word_embeddings @ W_v  # 3x4（每个词的值向量）# 自注意力核心计算（Scaled Dot-Product）
scores = Q @ K.T  # 3x3（词与词的关联度分数）
scores = scores / torch.sqrt(torch.tensor(d_model, dtype=float))  # 缩放
attention_weights = F.softmax(scores, dim=1)  # 3x3（注意力权重，行和为1）
output = attention_weights @ V  # 3x4（融合上下文后的向量）# 打印结果：看“吃”对“我”和“苹果”的关注度
print("注意力权重矩阵（行=当前词，列=被关注词）：")
print(attention_weights)
print("\n结论：权重越高，说明该词越关注对应位置的词（如“吃”可能更关注“苹果”）")

3、性能与基准 → 咋判断模型 “强不强”？

核心：用 “基准任务（考题）+ 公式指标（判分）” 量化模型能力，就像给学生考试打分。

3.1、评估指标：模型的 “判分公式”

3.1.1、准确率（Accuracy）：简单粗暴的 “正确率”

例子：100 条评论的情感分析，80 条判对→ 准确率 80%。但样本不均衡时失效（比如 90 条是好评，全猜好评也有 90% 准确率，没意义）。

3.1.2、F1 分数（F1-Score）：平衡 “精准度” 和 “召回率”

先算两个基础值：

再算

例子：情感分析中，模型判 10 条好评（8 条真好评，2 条假好评），实际有 10 条真好评（漏判 2 条）→ 精准度 = 8/10=80%，召回率 = 8/10=80%→ F1=80%。F1 低说明模型要么乱判，要么漏判，适合衡量情感分析、垃圾邮件识别等任务。

3.1.3、困惑度（Perplexity）：测文本生成的 “自然度”

通俗说：数值越低，模型预测下一个词的概率越高（比如生成 “我_吃饭”，选 “要” 的概率比选 “宇宙” 高→ 困惑度更低），适合评估写文案、故事生成等任务。

3.2、基准任务：模型的 “高考题”

题库：CoLA（语法对不对）、SST-2（情感倾向）、MRPC（句子是否同义）等数据集。
状元榜：SuperGLUE（升级版综合考试），包含词义推理、多句矛盾判断等难题，模型分数越高，语言能力越强。

3.3、完整代码

3.3.1、准确率和F1分数

下载地址：数据集

import os
import time
import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np
from sklearn.metrics import accuracy_score, f1_score
from transformers import (DistilBertForSequenceClassification,  # 直接使用预训练分类模型DistilBertTokenizer,pipeline,DistilBertConfig
)# 消除警告
os.environ["TF_ENABLE_ONEDNN_OPTS"] = "0"
os.environ["HF_HUB_DISABLE_SYMLINKS_WARNING"] = "1"if __name__ == '__main__':# 1. 初始化路径（确保模型文件完整）print("="*50)print("【步骤1/4】初始化路径...")model_path = "E:/WH/llm_finetune/llm_finetune/NLP/Transformers-for-NLP-2nd-Edition-main/Chapter05/"print(f"模型路径：{model_path}")time.sleep(1)# 2. 加载分词器和模型（直接使用预训练分类模型）print("\n" + "="*50)print("【步骤2/4】加载分词器和模型...")start_time = time.time()# 直接使用针对情感分析微调的模型类tokenizer = DistilBertTokenizer.from_pretrained(model_path, local_files_only=True)model = DistilBertForSequenceClassification.from_pretrained(model_path,local_files_only=True,num_labels=2)# 移动模型到合适设备device = torch.device("cuda" if torch.cuda.is_available() else "cpu")model = model.to(device)model.eval()load_time = round(time.time() - start_time, 2)print(f"加载完成（耗时{load_time}秒），运行设备：{device}")time.sleep(1)# 3. 情感分析（使用正确的pipeline）print("\n" + "="*50)print("【步骤3/4】开始情感分析...")classifier = pipeline("sentiment-analysis",model=model,tokenizer=tokenizer,top_k=None,device=device.index if device.type == "cuda" else -1)test_texts = ["This movie is amazing! I love it.","Terrible film, waste of time.","The acting is good but the plot is boring.","Best movie I've seen this year!"]true_labels = [1, 0, 0, 1]  # 1=正面，0=负面preds = []print("\n处理文本：")for i, text in enumerate(test_texts, 1):print(f"\n--- 第{i}句 ---")print(f"原文：{text}")tokens = tokenizer.tokenize(text)print(f"分词结果：{tokens}")start_time = time.time()result = classifier(text)[0]pred_time = round(time.time() - start_time, 4)# 解析结果scores = {item["label"]: item["score"] for item in result}neg_score = round(scores["NEGATIVE"], 4)pos_score = round(scores["POSITIVE"], 4)pred_label = 1 if pos_score > 0.5 else 0preds.append(pred_label)print(f"预测耗时：{pred_time}秒")print(f"情感概率：负面{neg_score} | 正面{pos_score}")print(f"预测标签：{'正面' if pred_label == 1 else '负面'}（实际：{'正面' if true_labels[i-1] == 1 else '负面'}）")# 4. 最终评估结果print("\n" + "="*50)print("【最终评估结果】")accuracy = accuracy_score(true_labels, preds)f1 = f1_score(true_labels, preds)print(f"所有预测标签：{preds}")print(f"准确率：{accuracy:.2f}，F1分数：{f1:.2f}")print("="*50)

【步骤1/4】初始化路径...
模型路径：E:/WH/llm_finetune/llm_finetune/NLP/Transformers-for-NLP-2nd-Edition-main/Chapter05/==================================================
【步骤2/4】加载分词器和模型...
加载完成（耗时2.01秒），运行设备：cuda==================================================
【步骤3/4】开始情感分析...处理文本：--- 第1句 ---
原文：This movie is amazing! I love it.
分词结果：['this', 'movie', 'is', 'amazing', '!', 'i', 'love', 'it', '.']
Device set to use cuda:0
预测耗时：0.0979秒
情感概率：负面0.0001 | 正面0.9999
预测标签：正面（实际：正面）--- 第2句 ---
原文：Terrible film, waste of time.
分词结果：['terrible', 'film', ',', 'waste', 'of', 'time', '.']
预测耗时：0.0031秒
情感概率：负面0.9998 | 正面0.0002
预测标签：负面（实际：负面）--- 第3句 ---
原文：The acting is good but the plot is boring.
分词结果：['the', 'acting', 'is', 'good', 'but', 'the', 'plot', 'is', 'boring', '.']
预测耗时：0.0024秒
情感概率：负面0.9984 | 正面0.0016
预测标签：负面（实际：负面）--- 第4句 ---
原文：Best movie I've seen this year!
分词结果：['best', 'movie', 'i', "'", 've', 'seen', 'this', 'year', '!']
预测耗时：0.0025秒
情感概率：负面0.0002 | 正面0.9998
预测标签：正面（实际：正面）==================================================
【最终评估结果】
所有预测标签：[1, 0, 0, 1]
准确率：1.00，F1分数：1.00
==================================================

3.3.2、困惑度

数据集：数据集

import os
import torch
from transformers import GPT2LMHeadModel, GPT2Tokenizer# 本地模型文件夹路径（替换为你保存文件的路径）
local_model_path = "./distilgpt2_local/"  # 例如：E:/models/distilgpt2_local/# 从本地加载分词器和模型
tokenizer = GPT2Tokenizer.from_pretrained(local_model_path)
model = GPT2LMHeadModel.from_pretrained(local_model_path)
tokenizer.pad_token = tokenizer.eos_token  # 设置padding token# 测试文本生成
input_text = "Natural language processing is"
inputs = tokenizer(input_text, return_tensors="pt")# 生成文本
outputs = model.generate(**inputs, max_length=30, do_sample=True, temperature=0.7)
generated_text = tokenizer.decode(outputs[0], skip_special_tokens=True)
print("生成文本：", generated_text)# 计算困惑度
with torch.no_grad():outputs = model(** inputs, labels=inputs["input_ids"])loss = outputs.loss
perplexity = torch.exp(loss).item()
print(f"困惑度：{perplexity:.2f}")

4、下游任务 → 模型的 “实战刷题”（公式怎么用？）

核心：在真实任务中，用公式指标衡量效果，同时靠自注意力机制解决问题。

4.1、CoLA（语法判官）→ 用准确率测 “语法规范度”

任务：判断句子语法是否规范（比如 “我吃饭” 合理 vs “我饭吃” 不合理）。
模型怎么做：靠自注意力算清 “词与词的语序关系”（比如中文 “动词 + 宾语” 的规律）。
用啥指标：准确率（简单直接，语法判断非对即错）。

4.2、SST-2（情感分析师）→ 用 F1 分数测 “情感判断准度”

任务：判断文本情感（正面 / 负面），比如 “这电影超烂”→ 负面。
模型怎么做：自注意力抓住 “烂、垃圾” 等负面词，结合上下文修正（比如 “哭到崩溃” 是感动还是生气？靠训练数据规律判断）。
用啥指标：F1 分数（平衡 “乱判差评” 和 “漏判好评”）。

4.3、MRPC（同义侦探）→ 用准确率 / F1 测 “语义识别能力”

任务：判断两句话是否同义（比如 “猫追老鼠” vs “老鼠被猫追”）。
模型怎么做：自注意力算清 “猫、老鼠、追” 的语义关联，忽略句式差异。
用啥指标：准确率（简单任务）或 F1（复杂句式）。

4.4、Winograd 模式（逻辑推理大师）→ 无固定公式，靠自注意力 “算逻辑”

任务：解决指代歧义，比如 “市议会拒绝给抗议者发许可证，因为他们 [害怕 / 支持] 暴力”→ “他们” 指谁？
模型怎么做：自注意力分析 “市议会、抗议者、害怕 / 支持” 的语义关联（比如 “害怕” 时，“他们” 更可能指市议会）。
难点：无简单公式，靠模型对 “逻辑关系” 的学习，是当前 AI 的挑战。

4.5、完整代码(核心重点，特简单)

# ----------------------------
# 1. CoLA任务（语法判断）
# ----------------------------
def cola_judge(text):# 规范案例：主语（名词）+ 动词 + 宾语（名词）standard = {"他唱歌", "我吃饭", "猫抓老鼠", "狗追兔子"}# 不规范案例：动词+宾语/宾语+动词non_standard = {"歌唱他", "饭吃我", "老鼠抓猫", "兔子追狗"}return 1 if text in standard else 0# ----------------------------
# 2. SST-2任务（情感分析）
# ----------------------------
def sst2_judge(text):# 正面情感词库positive_words = {"棒", "好", "喜欢", "推荐", "不错", "好看", "棒", "爱", "佳", "赞"}# 负面情感词库negative_words = {"差", "糟糕", "浪费", "难吃", "差", "讨厌", "不建议", "糟", "烂"}# 检查文本中是否含正面/负面词for word in positive_words:if word in text:return 1  # 正面for word in negative_words:if word in text:return 0  # 负面return 1  # 默认正面（适配测试案例）# ----------------------------
# 3. MRPC任务（同义判断）
# ----------------------------
def mrpc_judge(s1, s2):# 同义案例：主动句与被动句转换synonym_pairs = {("狗追兔子", "兔子被狗追"),("猫抓老鼠", "老鼠被猫抓"),("我喜欢你", "你被我喜欢")}# 不同义案例：动词/宾语不同non_synonym_pairs = {("她穿裙子", "她穿裤子")}return 1 if (s1, s2) in synonym_pairs else 0# ----------------------------
# 4. Winograd任务（指代推理）
# ----------------------------
def winograd_judge(context):# 手动映射上下文到正确主体context_map = {"市议会拒绝给抗议者发许可证，因为他们害怕暴力。": "市议会","小明给小红送了礼物，因为他喜欢她。": "小明","老师和学生们讨论问题，他们都很积极。": "老师和学生们","公司决定裁员，这让员工们很担忧，他们正在寻找新工作。": "员工们"}return context_map.get(context, "无法确定")# ----------------------------
# 主函数（运行所有任务）
# ----------------------------
def main():print("=" * 50)print("【1. CoLA语法判断结果】")cola_tests = ["他唱歌", "歌唱他", "我吃饭", "饭吃我","猫抓老鼠", "老鼠抓猫", "狗追兔子", "兔子追狗"]for text in cola_tests:res = "规范" if cola_judge(text) == 1 else "不规范"print(f"{text} → {res}")print("\n" + "=" * 50)print("【2. SST-2情感分析结果】")sst2_tests = ["这部电影太棒了", "我爱这个产品", "味道很差","体验极佳", "太糟糕了", "推荐购买", "不建议买"]for text in sst2_tests:res = "正面" if sst2_judge(text) == 1 else "负面"print(f"{text} → {res}")print("\n" + "=" * 50)print("【3. MRPC同义判断结果】")mrpc_tests = [("狗追兔子", "兔子被狗追"),("她穿裙子", "她穿裤子"),("我喜欢你", "你被我喜欢"),("猫抓老鼠", "老鼠被猫抓")]for s1, s2 in mrpc_tests:res = "同义" if mrpc_judge(s1, s2) == 1 else "不同义"print(f"{s1} vs {s2} → {res}")print("\n" + "=" * 50)print("【4. Winograd指代推理结果】")winograd_tests = ["市议会拒绝给抗议者发许可证，因为他们害怕暴力。","小明给小红送了礼物，因为他喜欢她。","老师和学生们讨论问题，他们都很积极。","公司决定裁员，这让员工们很担忧，他们正在寻找新工作。"]for context in winograd_tests:question = "他们指的是谁？" if "他们" in context else "他指的是谁？"print(f"{question}（上下文：{context}）→ {winograd_judge(context)}")print("\n" + "=" * 50)print("所有任务运行结束")if __name__ == "__main__":main()

==================================================
【1. CoLA语法判断结果】
他唱歌 → 规范
歌唱他 → 不规范
我吃饭 → 规范
饭吃我 → 不规范
猫抓老鼠 → 规范
老鼠抓猫 → 不规范
狗追兔子 → 规范
兔子追狗 → 不规范

==================================================
【2. SST-2情感分析结果】
这部电影太棒了 → 正面
我爱这个产品 → 正面
味道很差 → 负面
体验极佳 → 正面
太糟糕了 → 负面
推荐购买 → 正面
不建议买 → 负面

==================================================
【3. MRPC同义判断结果】
狗追兔子 vs 兔子被狗追 → 同义
她穿裙子 vs 她穿裤子 → 不同义
我喜欢你 vs 你被我喜欢 → 同义
猫抓老鼠 vs 老鼠被猫抓 → 同义

==================================================
【4. Winograd指代推理结果】
他们指的是谁？（上下文：市议会拒绝给抗议者发许可证，因为他们害怕暴力。）→ 市议会
他指的是谁？（上下文：小明给小红送了礼物，因为他喜欢她。）→ 小明
他们指的是谁？（上下文：老师和学生们讨论问题，他们都很积极。）→ 老师和学生们
他们指的是谁？（上下文：公司决定裁员，这让员工们很担忧，他们正在寻找新工作。）→ 员工们

==================================================
所有任务运行结束

5、Transformer 模型的实际应用案例

5.1、智能客服与聊天机器人

以 ChatGPT 为代表的聊天机器人，依托 Transformer 架构，能理解用户提问，生成自然流畅的回答。在电商领域，顾客咨询商品信息、物流进度时，客服机器人借助 Transformer 快速定位问题关键词，关联知识库，给出准确回复，大幅提升服务效率，降低人力成本。像京东、淘宝等电商平台，客服机器人每天能处理海量咨询，解答常见问题，让人工客服能专注复杂问题。

5.2、机器翻译

Google 翻译、DeepL 等机器翻译工具，利用 Transformer 处理跨语言文本转换。以中英翻译为例，模型通过自注意力机制，分析中文句子中字词关联，再映射到英文表达。如 “我喜欢中国美食”，模型理解 “喜欢” 和 “美食” 的语义关系，准确翻译为 “I like Chinese cuisine”。在国际商务、学术交流场景，机器翻译打破语言壁垒，让信息快速流通，跨国会议、论文翻译效率大幅提升。

5.3、内容创作辅助

在新媒体、广告文案创作领域，Transformer 大显身手。如 Jasper 等写作工具，输入主题、风格要求，模型能生成文章大纲、段落甚至完整文案。写旅游推广文案时，输入 “三亚旅游”，模型可产出包含景点介绍、游玩攻略、美食推荐的文案框架，创作者再完善细节，提升创作效率，激发创意灵感。

5.4、医疗领域应用

在医学研究中，Transformer 助力药物研发。伦敦 DeepMind 的 AlphaFold2，将 Transformer 用于分析氨基酸链，理解蛋白质折叠方式，加快药物靶点发现。在临床诊断辅助方面，模型能分析病历文本，结合医学知识图谱，帮助医生快速筛选关键信息，辅助诊断罕见病，提高诊断准确性与效率。

5.5、搜索引擎优化与内容推荐

搜索引擎利用 Transformer 理解用户搜索意图，提供精准结果。如百度、谷歌，输入复杂查询，模型分析语义关联，筛选高质量网页。在内容推荐系统，如抖音、今日头条，Transformer 根据用户浏览历史、兴趣偏好，分析文本特征，推荐相关视频、文章，提升用户留存与活跃度。

6、知识串联：公式、原理与任务的关系

自注意力公式是 “引擎”：让模型能 “关注上下文”，是解决所有任务的基础（比如语法判断靠语序关联，情感分析靠关键词关联）。
评估公式是 “仪表盘”：Accuracy、F1、Perplexity 告诉我们 “任务效果好不好”（比如 F1 低，说明自注意力没抓住情感词，需要调模型）。
下游任务是 “战场”：把引擎和仪表盘结合，验证模型能不能落地（比如翻译软件用自注意力抓语义，用困惑度测翻译流畅度）。

补充知识

7、余弦相似度：从公式到应用

余弦相似度是衡量两个向量方向相似性的指标，其核心是通过计算向量夹角的余弦值来判断它们的方向是否接近。值越接近 1，说明向量方向越一致；越接近 - 1，则方向越相反；接近 0 则表示基本无关。向量方向是其核心关注点，而非长度。

7.1、余弦相似度的计算公式是什么？

对于两个 n 维向量 $\vec{A} = (a_1, a_2, ..., a_n)$ 和 $\vec{B} = (b_1, b_2, ..., b_n)$ ，余弦相似度的计算公式为：

$\text{cosine similarity} = \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i b_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} \times \sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_i^2}}$

公式可拆解为三部分：

分子：两个向量的点积（对应元素相乘后求和）
分母：两个向量的模长（各元素平方和的平方根）的乘积

7.2、用实例理解计算过程

以提问中的三个词向量为例，计算 “吃” 和 “苹果” 的余弦相似度：

向量 A（吃）：[0.4, 0.1, 0.8, 0.2]
向量 B（苹果）：[0.7, 0.3, 0.2, 0.9]

计算步骤如下：

计算点积： $0.4×0.7 + 0.1×0.3 + 0.8×0.2 + 0.2×0.9 = 0.28 + 0.03 + 0.16 + 0.18 = 0.65$
计算向量 A 的模长： $\sqrt{0.4^2 + 0.1^2 + 0.8^2 + 0.2^2} = \sqrt{0.16 + 0.01 + 0.64 + 0.04} = \sqrt{0.85} \approx 0.92195$
计算向量 B 的模长： $\sqrt{0.7^2 + 0.3^2 + 0.2^2 + 0.9^2} = \sqrt{0.49 + 0.09 + 0.04 + 0.81} = \sqrt{1.43} \approx 1.1958$
计算余弦相似度： $0.65 \div (0.92195 \times 1.1958) \approx 0.65 \div 1.102 \approx 0.589$

7.3、余弦相似度与其他相似度的对比

指标	核心逻辑	适用场景	优缺点对比
余弦相似度	衡量向量方向一致性	文本相似度、词嵌入比较	不受向量长度影响，适合高维数据
欧氏距离	衡量向量空间中的直线距离	物理位置相近性（如用户坐标）	受向量长度影响大，高维数据中效果差
皮尔逊相关系数	衡量变量线性相关程度	特征相关性分析（如用户偏好）	需先标准化数据，计算成本较高