Python 线性回归详解：从原理到实战

线性回归（Linear Regression）是机器学习中最基础也是最重要的算法之一，广泛应用于预测分析领域，例如房价预测、销售额预测等。本文将带你从理论出发，用 Python 手把手实现线性回归，助你迈出机器学习实战第一步。

一、线性回归是什么？

线性回归是一种用于预测目标变量（因变量）与一个或多个特征变量（自变量）之间关系的模型，其核心思想是拟合一条“最佳直线”：

y=w1x1+w2x2+⋯+wnxn+b

其中：

y：预测值
x1,x2,…,xn：特征
w1,w2,…,wn：系数（权重）
b：截距项

二、使用 sklearn 实现一元线性回归

我们从简单的一元线性回归入手，使用 scikit-learn 库实现。

先创建一个csv数据:

import csv# 数据
data = [["广告投入", "销售额"],[29, 77],[28, 62],[34, 93],[31, 84],[25, 59],[29, 64],[32, 80],[31, 75],[24, 58],[33, 91],[25, 51],[31, 73],[26, 65],[30, 84]
]# 创建 CSV 文件并写入数据
with open('test1.csv', 'w', newline='', encoding='utf-8') as csvfile:writer = csv.writer(csvfile)writer.writerows(data)

实现一元线性回归:

此代码看似长，其实是因为打印了很多数据和注释，为了让初学者加深了解。

实际作用代码就几行

import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression
import numpy as npdata = pd.read_csv("data.csv")
# 准备训练数据：X为特征矩阵(所有列除了"销售额")，y为目标变量("销售额")
X = data.drop("销售额",axis=1)  # 特征矩阵
y = data[["销售额"]]           # 目标变量# 创建线性回归模型实例
# 使用特征矩阵X和目标变量y训练线性回归模型
lr_model = LinearRegression()
lr_model.fit(X,y)# 计算"广告投入"和"销售额"两列之间的相关系数矩阵
corr = data[["广告投入","销售额"]].corr()   # 关系系数矩阵
print(corr)
print("-----")# 计算模型在训练数据上的拟合优度(R²值)，评估模型性能
score = lr_model.score(X,y)
print(f"模型拟合优度(R²): {score}")# 获取模型参数：a为自变量系数(斜率)，b为截距(偏置)
a = lr_model.coef_
b = lr_model.intercept_
print(f"自变量系数: {a}")
print(f"截距: {b}")# 打印线性回归方程
print(f"线性回归模型为: y = {a[0][0]:.2f}x1 + {b[0]:.2f}")# 预测广告投入为28时的销售额
print(f"当广告投入为28时，预测销售额为: {lr_model.predict([[28]])}")import matplotlib.pyplot as plt
# 生成用于绘制回归线的新数据点(广告投入范围从24到39)
# 使用模型预测新数据点对应的销售额
x_new = np.arange(20, 40).reshape(-1, 1)
y_new = lr_model.predict(x_new)
# 绘制回归线
plt.plot(x_new, y_new, '--', color='#1F77B4', linewidth=2)
# 绘制散点图
plt.scatter(X,y)
plt.show()

三、多元线性回归示例

如果有多个特征变量：

创建数据：

import csvdata = [["体重", "年龄", "血压收缩"],[76.0, 50, 120],[91.5, 20, 141],[85.5, 20, 124],[82.5, 30, 126],[79.0, 30, 117],[80.5, 50, 125],[74.5, 60, 123],[79.0, 50, 125],[85.0, 40, 132],[76.5, 55, 123],[82.0, 40, 132],[95.0, 40, 155],[92.5, 20, 147]
]with open('test2.csv', 'w', newline='') as csvfile:writer = csv.writer(csvfile)writer.writerows(data)

多元线性回归示例：

import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression# 导入数据
data = pd.read_csv("test2.csv", encoding='gbk', engine='python')# 打印相关系数矩阵
corr = data[["体重", "年龄", "血压收缩"]].corr()
print("相关系数矩阵：")
print(corr)# 第二步，估计模型参数，建立回归模型
lr_model = LinearRegression()
x = data[['体重', '年龄']]
y = data['血压收缩']# 训练模型
lr_model.fit(x, y)# 第四步，对回归模型进行检验
score = lr_model.score(x, y)  # 利用 score 方法获取模型拟合优度（R²）
print("模型拟合优度（R²）：", score)# 第五步，利用回归模型进行预测
print("预测结果 1：", lr_model.predict([[80, 60]]))
print("预测结果 2：", lr_model.predict([[70, 30], [70, 20]]))# 获取自变量系数和截距
a = lr_model.coef_
b = lr_model.intercept_
print("线性回归模型为: y = {:.2f}x1 + {:.2f}x2 + {:.2f}".format(a[0], a[1], b))

四、模型评估：R² 分数

线性回归模型的评估通常使用决定系数 R2：

r2 = model.score(X, y)
print(f"模型 R² 分数: {r2:.2f}")

R2=1：完美预测
R2=0：模型没有预测能力
R2<0：预测还不如使用平均值

五、相关系数矩阵

相关系数矩阵（Correlation Matrix）是描述多个变量之间两两线性相关程度的矩阵，通常使用皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）来衡量。

一、皮尔逊相关系数公式

皮尔逊相关系数 rrr 公式如下：

其取值范围为：

r=1：完全正相关
r=−1：完全负相关
r=0：无线性关系

二、相关系数的解释

相关系数范围	线性相关强度	解释
0.9 ~ 1.0	极强正相关	几乎严格线性关系
0.7 ~ 0.9	强正相关	明显线性趋势
0.5 ~ 0.7	中等正相关	有一定线性趋势
0.3 ~ 0.5	弱正相关	稍有线性趋势
0.0 ~ 0.3	极弱或无相关	几乎无线性关系
< 0	负相关	越小，反向关系越强