加权卡尔曼滤波融合,它通过给不同传感器或估计结果分配不同的权重,来提高状态估计的精度和可靠性。

一、卡尔曼滤波

1.状态方程

X_{k} =\phi _{k,k-1}X_{k-1}+\tau _{k-1}W_{k-1}

           

2.观测方程

Z_{k}=H_{k}X_{k}+V_{k}

其中:

E[W_{k}]=E[V_{k}]=0,cov[W_{k},W_{j}]=Q_{k}\delta _{kj},cov[V_{k},V_{j}]=R_{k}\delta _{kj},

cov[W_{k},V_{j}]=0,\delta _{kj}=1(k=j),\delta _{kj}=0(k\neq j)

基本方程

①状态一步预测

\hat{X}_{k/k-1}=\phi _{k,k-1}\hat{X}_{k-1}

②状态估计

\hat{X}_{k}=\hat{X}_{k/k-1}+K_{k}(Z_{k}-H_{k}\hat{X}_{k/k-1})

③滤波增益

K_{k}=P_{k/k-1}H_{k}^{T}(H_{k}P_{k/k-1}H_{k}^{T}+R_{k})^{-1}

④一步预测均方差

P_{k/k-1}=\phi _{k,k-1}P_{k-1}\phi _{k,k-1}^{T}+\tau _{k-1}Q_{k-1}\tau _{k-1}^{T}

⑤估计均方误差

P_{k}=(I-K_{k}H_{k})P_{k/k-1}(I-K_{k}H_{k})^{T}+K_{k}R_{k}K_{k}^{T}

=(I-K_{k}H_{k})P_{k/k-1} =(P_{k/k1}^{-1}+H_{k}^{T}R_{k}^{-1}H_{k})^{-1}

二、加权卡尔曼滤波

对于多个传感器,分别构成的卡尔曼滤波器,进行加权:

\left\{\begin{matrix} \hat{x} = \sum w_{i} \hat{x}_{i} & \\ \sum w_{i} = 1& \end{matrix}\right.

对于加权系数的求解

\tilde{x} = x - \hat{x} = \sum w_{i} \tilde{x}_{i}

P = E[\tilde{x} \tilde{x}^{T}] = \sum w_{i}w_{j}P_{ij}

当P最小时(即tr[P]_{min}),所得到的误差最小,即为最优估计;

运用拉格朗日构造法,令:

J = tr[P]

\psi = J + \lambda (\sum w_{i} - 1)

求导\frac{\partial \psi }{ \partial w_{i}} = 0;即:

2 \sum trP_{ij}w_{i} + \lambda = 0

根据上式得

\begin{pmatrix} \phi & I \\ I^{T}& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w\\ \lambda /2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}

其中 \phi = \sum trP_{ij}

\begin{pmatrix} w\\ \lambda /2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \phi & I \\ I & 0 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-I^{T} \phi ^{-1} I}\begin{pmatrix} \phi ^{-1}I\\ 1 \end{pmatrix}

得到

w = \frac{\phi ^{-1} I}{ I^{T} \phi ^{-1} I}

三、滤波过程

①对n个传感器分别建立卡尔曼滤波器

\left\{\begin{matrix} X_{k} =\phi _{k,k-1}X_{k-1}+\tau _{k-1}W_{k-1}\\ Z_{k}=H_{k}X_{k}+V_{k}\end{matrix}\right.

②求得对应得估计及其方差,以及相互间得协方差

\left\{\begin{matrix} \hat{x}_{k} = x_{k|k-1} + K_{k}(z_{k} - H_{k}x_{k|k-1}) \\P_{k} = (I -K_{k}H_{k})P_{k|k-1} \\ P_{ij}(k) = (I-K_{i}H_{i})(\phi P_{ij}(k-1)\phi ^{T} +Q) (I-K_{j}H_{j})^{T}\end{matrix}\right.

③计算加权系数

w = \frac{\phi ^{-1} I}{ I^{T} \phi ^{-1} I}

其中,\phi = \sum trP_{ij}

④计算加权最优估计

\hat{x} = \sum w_{i} \hat{x}_{i}

参考文献:

[1]

X. Ding, Z. Wang, L. Zhang and C. Wang, "Longitudinal Vehicle Speed Estimation for Four-Wheel-Independently-Actuated Electric Vehicles Based on Multi-Sensor Fusion," in IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 69, no. 11, pp. 12797-12806, Nov. 2020, doi: 10.1109/TVT.2020.3026106. keywords: {Estimation;Sensors;Tires;Wheels;Kalman filters;Vehicle dynamics;Roads;Multi-sensor fusion;longitudinal vehicle speed estimation;road gradient estimation;Kalman filter;four-wheel-independently-actuated electric vehicles},

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