在正式进入机器学习与大模型的数学核心之前，我们需要先打好“语言”和“逻辑”的基础。
这一章会从 集合与逻辑 入手，它们就像是编程中的语法规则：
- 集合告诉我们“对象属于不属于某个范围”；
- 逻辑告诉我们“命题对不对、能不能推出新的结论”。
这些看似抽象的概念，在 AI 里非常重要：神经网络的输入数据本质上就是集合的元素，训练过程中的条件判断与优化也依赖逻辑和推理。
0-1 集合与逻辑基础
集合运算
集合是什么？
集合（Set）就是一堆对象的“容器”。
- 数学里：集合 A=1,2,3A = {1, 2, 3}A=1,2,3
- 生活里：水果篮子 = {苹果，香蕉，橘子}
集合的运算很直观：
- 并集（Union）：把两个篮子的水果合并，去重。
A∪BA \cup BA∪B = 属于 AAA 或属于 BBB 的元素。 - 交集（Intersection）：两个篮子里都有的水果。
A∩BA \cap BA∩B = 同时属于 AAA 和 BBB 的元素。 - 差集（Difference）：只在 AAA，不在 BBB。
A∖BA \setminus BA∖B = 属于 AAA 但不属于 BBB 的元素。
图示说明：上图表示集合 AAA 与 BBB 的三种常见运算：并集、交集和差集。
在机器学习中的例子：
- 训练数据集（Train）与测试数据集（Test）不能有交集，否则会导致“作弊式”高准确率。
- 语料库的去重就是在做集合运算（去掉重复的句子 = 差集）。
命题逻辑
命题是什么？
命题（Proposition）就是一句 有真假值 的陈述。
- “明天会下雨” ✅ （要么真要么假）
- “你吃饭了吗？” ❌ （没有真假值，不是命题）
命题之间可以组合运算：
- 否定（NOT）：如果 PPP 是“明天会下雨”，那 ¬P\neg P¬P 就是“明天不会下雨”。
- 合取（AND）：P∧QP \land QP∧Q 表示“明天下雨 并且 我带伞”。
- 析取（OR）：P∨QP \lor QP∨Q 表示“明天下雨 或者 我带伞”。
- 蕴含（Implication）：P⇒QP \Rightarrow QP⇒Q 表示“如果明天下雨，那么我会带伞”。
图示说明：命题 PPP 和 QQQ 可以通过逻辑运算组合成新命题。
在机器学习中的例子：
- 决策树 就是命题逻辑的“机械版”。例如：
- 如果（身高 > 1.8m）并且（体重 > 80kg），那么分类为“篮球运动员”。
- 神经网络激活条件 也可以看作逻辑的“模糊版”：ReLU 就像是“如果大于0则输出，否则为0”。
量词
量词 是在命题逻辑的基础上，表示范围的工具。常见的有：
- 全称量词（∀，for all）
- “对于所有学生，都要考试”
- 数学符号：∀x,;P(x)\forall x, ; P(x)∀x,;P(x)
- 机器学习例子：∀\forall∀ 样本 xxx，我们都希望模型能预测正确。
- 存在量词（∃，there exists）
- “有些人喜欢咖啡”
- 数学符号：∃x,;P(x)\exists x, ; P(x)∃x,;P(x)
- 机器学习例子：∃\exists∃ 一些超参数配置能让模型收敛。
图示说明：量词规定了命题作用的范围，全称量词要求“所有情况”，存在量词只要求“至少一个”。
在机器学习中的例子：
- 在验证模型时：
- 全称量词：理想情况是“∀ 测试样本，预测正确”。
- 存在量词：现实情况是“∃ 一些样本被错误分类”。
小结
- 集合：帮助我们组织数据，避免数据泄露或混淆。
- 命题逻辑：是条件判断和推理的基石，决策树、规则模型都离不开它。
- 量词：为逻辑加上范围，用来表达“全部成立”还是“存在某些例外”。
联系 AI 的意义：
集合与逻辑是机器学习数学的“语法”。理解这些，就能更自然地看懂模型定义（输入集合、输出集合）、损失函数约束（逻辑条件）、以及训练目标（全称 vs 存在）。
