前言

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一、VIKOR 方法概述

VIKOR（Multi-criteria Optimization and Compromise Solution）是由 Opricovic 提出的多准则决策（MCDM）方法，核心逻辑是通过“接近理想解的妥协解”排序方案。它结合“群体效用最大化”和“个体遗憾最小化”，适合解决多准则下的方案优选问题（如工程设计、供应链评估）。

二、核心步骤与公式（结合算法）

1. 输入：决策矩阵与准则权重

• 决策矩阵：$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times m}$（$n$准则数，$m$方案数，$a_{ij}$是方案$j$在准则$i$下的值）。
• 准则权重：$w_i$（$\sum w_i=1$，表示准则$i$的重要性）。

2. 步骤 1：归一化决策矩阵（消除量纲）

对原始矩阵按列归一化，公式：
$${\bar{x}}_{ij}=\frac{a_{ij}}{\sqrt{{\sum }_{j=1}^m{a}_{ij}^2}}$$

• 作用：将不同量纲的准则值统一到$[0,1]$区间。

3. 步骤 2：确定理想解与负理想解

对每个准则$i$，找到最优值$f_i^{\ast }$（最大化准则取最大值，最小化准则取最小值）和最劣值$f_i^{-}$（反之）：
$$f_i^{\ast }=\underset{j}{\max }{\bar{x}}_{ij},f_i^{-}=\underset{j}{\min }{\bar{x}}_{ij}$$

4. 步骤 3：计算$S_j$（群体效用）与$R_j$（个体遗憾）

• 群体效用$S_j$：方案$j$与理想解的“群体效用差”，公式：
  $$S_j=\sum _{i=1}^n{w}_i\cdot \frac{f_i^{\ast }-{\bar{x}}_{ij}}{f_i^{\ast }-f_i^{-}}$$

  • 意义：$S_j$越小，方案对“群体效用”的贡献越大。

• 个体遗憾$R_j$：方案$j$与理想解的“最大个体遗憾”，公式：
  $$R_j=\underset{i}{\max }\left[w_i\cdot \frac{f_i^{\ast }-{\bar{x}}_{ij}}{f_i^{\ast }-f_i^{-}}\right]$$

  • 意义：$R_j$越小，方案的“最坏情况遗憾”越小。

5. 步骤 4：计算综合得分$Q_j$

融合$S_j$和$R_j$，公式：
$$Q_j=\nu \cdot \frac{S_j-S^{\ast }}{S^{-}-S^{\ast }}+(1-\nu )\cdot \frac{R_j-R^{\ast }}{R^{-}-R^{\ast }}$$
其中：

• $S^{\ast }={\min }_j{S}_j$（最优群体效用），$S^{-}={\max }_j{S}_j$（最劣群体效用）；
• $R^{\ast }={\min }_j{R}_j$（最优个体遗憾），$R^{-}={\max }_j{R}_j$（最劣个体遗憾）；
• $\nu$：妥协系数（通常取$0.5$，平衡“群体效用”与“个体遗憾”）。

6. 步骤 5：方案排序

按$Q_j$升序排序，$Q_j$越小，方案越优（越接近理想解的妥协解）。

三、关键特点与优势

1. 妥协解逻辑：
   同时考虑“群体效用最大化”（$S_j$）和“个体遗憾最小化”（$R_j$），避免单一目标的极端化。

2. 参数$\nu$的调节：

   • $\nu =0.5$：平衡群体与个体；
   • $\nu >0.5$：侧重“群体效用”（多数规则）；
   • $\nu <0.5$：侧重“个体遗憾”（否决规则）。

3. 适用场景：
   适合“需平衡多方利益”的决策（如供应链中“成本、效率、风险”的权衡）。

五、与其他 MCDM 方法的对比

方法	核心差异点	适用场景
VIKOR	强调“妥协解”，平衡群体效用与个体遗憾，适合需兼顾多方利益的决策	供应链优化、公共政策决策
TOPSIS	通过“距离理想解的相对位置”排序，侧重“接近度”，对异常值敏感	数据波动小的决策场景
COPRAS	区分最大化/最小化准则，通过相对显著性强化最小化准则的影响	工程设计、成本敏感型决策

六、总结

VIKOR 是一种**兼顾“群体利益”与“个体遗憾”**的多准则决策方法，核心通过$S_j$（群体效用）、$R_j$（个体遗憾）和$Q_j$（综合得分）排序方案。其公式设计体现了“妥协优化”思想，尤其适合需平衡多方诉求的复杂决策场景（如城市规划、项目投资）。

简单示例

下面是一个使用VIKOR优化方法的MATLAB实现。这个示例解决了一个经典的"供应商选择"问题，通过VIKOR方法在多个准则下对备选方案进行排序和选择。

%% VIKOR（Multi-criteria Optimization and Compromise Solution）优化方法示例
clear; clc; close all;%% 1. 定义问题数据
% 备选方案（供应商）
alternatives = {'供应商A', '供应商B', '供应商C', '供应商D', '供应商E'};
num_alternatives = length(alternatives);% 评价准则
criteria = {'价格', '质量', '交货期', '服务水平', '环保性'};
num_criteria = length(criteria);% 准则权重（可通过AHP等方法确定）
weights = [0.25, 0.20, 0.15, 0.20, 0.20];% 决策矩阵（方案在各准则下的表现）
% 注："价格"为最小化准则，其余为最大化准则
decision_matrix = [80, 7, 9, 8, 7;    % 供应商A90, 8, 7, 9, 8;    % 供应商B70, 9, 6, 7, 9;    % 供应商C60, 6, 8, 6, 6;    % 供应商D85, 7, 10, 8, 8;   % 供应商E
];% 标记准则类型（1=最大化，0=最小化）
criteria_type = [0, 1, 1, 1, 1];% VIKOR妥协系数（通常取0.5，平衡群体效用与个体遗憾）
v = 0.5;%% 2. VIKOR计算流程
% 步骤1：归一化决策矩阵（向量归一化）
normalized_matrix = zeros(size(decision_matrix));
for j = 1:num_criteriaif criteria_type(j) == 1  % 最大化准则normalized_matrix(:,j) = decision_matrix(:,j) / norm(decision_matrix(:,j));else  % 最小化准则normalized_matrix(:,j) = min(decision_matrix(:,j)) ./ decision_matrix(:,j);normalized_matrix(:,j) = normalized_matrix(:,j) / norm(normalized_matrix(:,j));end
end% 步骤2：确定理想解和负理想解
f_star = zeros(1, num_criteria);
f_minus = zeros(1, num_criteria);
for j = 1:num_criteriaif criteria_type(j) == 1  % 最大化准则f_star(j) = max(normalized_matrix(:,j));f_minus(j) = min(normalized_matrix(:,j));else  % 最小化准则f_star(j) = min(normalized_matrix(:,j));f_minus(j) = max(normalized_matrix(:,j));end
end% 步骤3：计算S和R值
S = zeros(num_alternatives, 1);
R = zeros(num_alternatives, 1);
for i = 1:num_alternativesfor j = 1:num_criteriaS(i) = S(i) + weights(j) * (f_star(j) - normalized_matrix(i,j)) / (f_star(j) - f_minus(j));temp_R = weights(j) * (f_star(j) - normalized_matrix(i,j)) / (f_star(j) - f_minus(j));if temp_R > R(i)R(i) = temp_R;endend
end% 步骤4：计算Q值
S_star = min(S);
S_minus = max(S);
R_star = min(R);
R_minus = max(R);Q = zeros(num_alternatives, 1);
for i = 1:num_alternativesQ(i) = v * (S(i) - S_star) / (S_minus - S_star) + (1-v) * (R(i) - R_star) / (R_minus - R_star);
end% 步骤5：排序
[Q_sorted, sort_idx] = sort(Q, 'ascend');
S_sorted = S(sort_idx);
R_sorted = R(sort_idx);%% 3. 可视化结果
% 3.1 决策矩阵热图
figure('Position', [100, 100, 1000, 800]);
subplot(2, 2, 1);
imagesc(decision_matrix);
title('原始决策矩阵');
xlabel('准则');
ylabel('方案');
set(gca, 'XTick', 1:num_criteria, 'XTickLabel', criteria);
set(gca, 'YTick', 1:num_alternatives, 'YTickLabel', alternatives);
colorbar;
for i = 1:num_alternativesfor j = 1:num_criteriatext(j, i, num2str(decision_matrix(i,j)), 'HorizontalAlignment', 'center', 'FontSize', 10);end
end% 3.2 准则权重饼图
subplot(2, 2, 2);
pie(weights, criteria);
title('准则权重分布');% 3.3 S、R、Q值对比图
subplot(2, 2, 3);
bar_width = 0.25;
x = 1:num_alternatives;
bar(x - bar_width, S, bar_width, 'b', 'DisplayName', 'S (群体效用)');
hold on;
bar(x, R, bar_width, 'r', 'DisplayName', 'R (个体遗憾)');
bar(x + bar_width, Q, bar_width, 'g', 'DisplayName', 'Q (综合得分)');
hold off;
title('S、R、Q值对比');
xlabel('方案');
ylabel('值');
set(gca, 'XTick', 1:num_alternatives, 'XTickLabel', alternatives);
legend;
grid on;% 3.4 VIKOR排序结果
subplot(2, 2, 4);
barh(1:num_alternatives, Q_sorted);
title('VIKOR排序结果');
xlabel('Q值 (越小越好)');
ylabel('方案 (按排名)');
set(gca, 'YTick', 1:num_alternatives, 'YTickLabel', alternatives(sort_idx));
grid on;% 添加标签显示具体Q值
for i = 1:num_alternativestext(Q_sorted(i)+0.01, i, sprintf('%.4f', Q_sorted(i)), 'HorizontalAlignment', 'left', 'VerticalAlignment', 'middle');
end%% 4. 输出结果
fprintf('\n===== VIKOR优化结果汇总 =====\n');
fprintf('\n1. 准则权重:\n');
for i = 1:num_criteriafprintf('   %s: %.2f\n', criteria{i}, weights(i));
endfprintf('\n2. 各方案评估结果:\n');
fprintf('   方案\t\tS值\t\tR值\t\tQ值\n');
for i = 1:num_alternativesfprintf('   %s\t%.4f\t\t%.4f\t\t%.4f\n', alternatives{i}, S(i), R(i), Q(i));
endfprintf('\n3. VIKOR推荐排序:\n');
for i = 1:num_alternativesfprintf('   第%d名: %s (Q值: %.4f)\n', i, alternatives{sort_idx(i)}, Q_sorted(i));
end% 检查是否满足VIKOR接受条件
if (Q_sorted(2) - Q_sorted(1) >= 1/(num_alternatives-1)) && ...(Q_sorted(1) == S_sorted(1) || Q_sorted(1) == R_sorted(1))fprintf('\n4. 接受条件检查: 方案 %s 为唯一最优妥协解\n', alternatives{sort_idx(1)});
elsefprintf('\n4. 接受条件检查: 存在多个妥协解或需进一步分析\n');
end

代码说明：

1. 问题定义：

   • 5个备选方案（供应商A-E）
   • 5个评价准则：价格、质量、交货期、服务水平、环保性
   • 准则权重：通过专家判断或AHP方法预先确定
   • 准则类型："价格"为最小化准则，其余为最大化准则
   • 妥协系数v：默认0.5，平衡群体效用与个体遗憾

2. VIKOR计算流程：

   • 归一化处理：针对不同类型准则采用不同归一化方法
   • 确定理想解和负理想解：对每个准则分别计算
   • 计算S值（群体效用）和R值（个体遗憾）
   • 计算综合得分Q值：融合S和R
   • 排序：按Q值升序排列

3. 可视化功能：

   • 决策矩阵热图：直观展示原始数据
   • 准则权重饼图：显示各准则重要性分布
   • S、R、Q值对比图：横向比较各方案在不同指标下的表现
   • VIKOR排序结果：按Q值从低到高展示

4. 结果输出：

   • 详细列出各方案的S、R、Q值
   • 给出推荐排序结果
   • 检查是否满足VIKOR接受条件（条件1和条件2）

运行结果