---

一、引例——鲸鱼研究

有生态学家对生活在北冰洋水域的鲸鱼进行了跟踪研究，他们利用一台水下无人机来探测鲸鱼数量，这是近十天的数据：

第1天	第2天	第3天	第4天	第5天	第6天	第7天	第8天	第9天	第10天
10	10	14	12	11	15	8	9	7	6

最后四天鲸鱼数目的连续减少趋势令人担忧，水质恶化吗？。

注意到每天探测到的鲸鱼不会是同时发生的，而是分散在一天的不同时间段。

这事实上是一个随机事件的时间分布，于是我们将一天时间划分为12段，那么第一天的数据如下：

那么对于这组数据，鲸鱼出现的概率 p = 5/6

我们试图把鱼群数量转换成时间上的二项分布，那么 12 个 时间段就转化成了一个二项分布，一天内出现10头鲸鱼的概率如下：
$$C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}=C_{12}^{10}\cdot (\frac{5}{6}{)}^{10}\cdot (\frac{1}{6}{)}^2=0.2961$$
这正是 拉普拉斯 得意门生 西莫恩·德尼·泊松(1781~1840) 的思路。

前面我们选取的是第一天的数据，我们现在选取第二天的数据，有14头鲸鱼，12个时间段有些不够用，于是我们划分成24个时间段。

则一天中出现14头鲸鱼的概率：
$$\begin{array}{rlr}& p_i=\frac{14}{24}=\frac{7}{12}& 则C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}=C_{24}^{14}\cdot (\frac{7}{12}{)}^{14}\cdot (\frac{5}{12}{)}^{10}=0.1634\end{array}$$
但是我们上面的思考有一个漏洞就：一个时间段是有可能有多头鲸鱼出现的

这说明什么？时间段太大了！我们直接把一天划分成无数个时间段，单独每个时间段都趋于无穷小，这样无论两头鲸鱼的时间挨得有多近，都能区分开来，则有：
$$\begin{array}{rl}& li{m}_{n\to \infty }{C}_n^k\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}，其中：\\ & n代表时间分段数，p代表任意时间段内鲸鱼出现的概率\\ & p的估计不再以某一天数据为准，而是选取平均值，即p=\frac{\mu }{n}\end{array}$$

公式的进一步推导：
$$\begin{array}{rl}& li{m}_{n\to \infty }{C}_n^k\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}\\ =& li{m}_{n\to \infty }{C}_n^k\cdot (\frac{\mu }{n}{)}^k\cdot (1-\frac{\mu }{n}{)}^{n-k}\\ =& \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}\cdot \frac{{\mu }^k}{n^k}\cdot {\left(1-\frac{\mu }{n}\right)}^{n-k}\\ =& \frac{{\mu }^k}{k!}\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^k}\cdot {\left(1-\frac{\mu }{n}\right)}^{n-k}\\ =& \frac{{\mu }^k}{k!}\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n}\frac{(n-1)}{n}\frac{(n-2)}{n}\cdots \frac{(n-k+1)}{n}\cdot {\left(1-\frac{\mu }{n}\right)}^{n-k}\\ =& \frac{{\mu }^k}{k!}\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }1\cdot 1\dots 1\cdot {\left(1-\frac{\mu }{n}\right)}^{n-k}\\ =& \frac{{\mu }^k}{k!}\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{\mu }{n}\right)}^{n-k}\\ =& \frac{{\mu }^k}{k!}\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{\mu }{n}\right)}^n\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{\mu }{n}\right)}^{-k}\\ =& \frac{{\mu }^k}{k!}\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{\mu }{n}\right)}^n\\ =& \frac{{\mu }^k}{k!}{e}^{-\mu }(等价无穷小)\end{array}$$

二、泊松分布

我们把上面的μ 换成 λ，就得到了我们熟悉的泊松分布公式：
$$\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }，其中\lambda 代表给定时间段或空间区域内，随机事件平均发生的次数。$$

我们利用该公式计算引例中各时间段鲸鱼出现数目的可能性，并用柱状图来表示：

我们取显著性水平为 6.5%，那么从图中可以得知，鲸鱼数目在[5, 15]都是正常范围，我们的样本都在正常范围内。

有时候我们会用用泊松分布近似二项分布，一般在 试验次数n 很大，成功概率 p 很小，且 λ = np 为有限值时，二项分布可以用泊松分布来近似，经过前面的推导，不难明白其中缘由。