我的问题是：这里提到的，为什么会增加V的列向量？V是怎么储存的呢？

这个问题触及了Lanczos算法实现的核心细节。

🧠 为什么会增加V的列向量？

因为Lanczos算法是一个迭代过程，它从一个初始向量开始，通过矩阵A的反复作用，逐步构建出一组正交基。

算法步骤（简化版）：

1. 第0步：从初始向量v₀开始，归一化后存入V的第0列
2. 第1步：计算w₁ = A·v₀，正交化后得到v₁，存入V的第1列
3. 第2步：计算w₂ = A·v₁，正交化后得到v₂，存入V的第2列
4. …以此类推…

每次迭代都会产生一个新的正交向量，所以V的列数随着迭代次数增加而增加。

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💾 V是怎么储存的？

在您提供的代码中，V的存储方式很特别：

V = np.zeros((m, n))  # Store orthonormal vectors v0, v1, ... as row vectors

这里的关键是：V是按行存储的，而不是按列！

存储结构详解：

V = [[v₀₁, v₀₂, v₀₃, ..., v₀ₙ],  ← 第0行：向量v₀的n个分量[v₁₁, v₁₂, v₁₃, ..., v₁ₙ],  ← 第1行：向量v₁的n个分量  [v₂₁, v₂₂, v₂₃, ..., v₂ₙ],  ← 第2行：向量v₂的n个分量...[vₘ₁, vₘ₂, vₘ₃, ..., vₘₙ]   ← 第m行：向量vₘ的n个分量
]

为什么这样设计？

注释中说明了原因：“Numpy array is row-major, so accessing row is faster”

• NumPy数组是行优先存储的
• 按行访问比按列访问更快
• 在迭代中我们经常需要访问整个向量（即整行）

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🔄 迭代过程中的V增长

让我们看看在迭代中V是如何"增加列向量"的：

for j in range(1, m):  # j从1到m-1# ... 计算beta[j-1] ...V[j] = w / beta[j-1]  # ← 这里！新的正交向量存入第j行

实际上：每次迭代不是在V中增加新的列，而是在V中填入新的行！

正确的理解应该是：

每次迭代，V的行数增加1（即新增一个正交向量），同时三对角矩阵T的尺寸也随之增加。

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📊 可视化存储过程

假设n=3（向量维度），m=4（要生成4个正交向量）：

初始状态：

V = [[v₀₁, v₀₂, v₀₃]  ← v₀已填入[ 0,   0,   0 ]  ← 等待v₁[ 0,   0,   0 ]  ← 等待v₂  [ 0,   0,   0 ]  ← 等待v₃
]

第1次迭代后：

V = [[v₀₁, v₀₂, v₀₃]  ← v₀[v₁₁, v₁₂, v₁₃]  ← v₁已填入[ 0,   0,   0 ]  ← 等待v₂[ 0,   0,   0 ]  ← 等待v₃
]

第2次迭代后：

V = [[v₀₁, v₀₂, v₀₃]  ← v₀[v₁₁, v₁₂, v₁₃]  ← v₁  [v₂₁, v₂₂, v₂₃]  ← v₂已填入[ 0,   0,   0 ]  ← 等待v₃
]

第3次迭代后：

V = [[v₀₁, v₀₂, v₀₃]  ← v₀[v₁₁, v₁₂, v₁₃]  ← v₁[v₂₁, v₂₂, v₂₃]  ← v₂[v₃₁, v₃₂, v₃₃]  ← v₃已填入
]

✅ 总结

1. V是按行存储的，每一行代表一个正交向量
2. 每次迭代增加一行（即一个新的正交向量）
3. 注释中的"列向量"可能是笔误，应该是指"行向量"
4. 这种存储方式是为了利用NumPy的行优先特性，提高访问速度

所以图片中的描述应该理解为：每次迭代，V的行数增加1，同时生成一个新的正交向量。