上节介绍了框架下的注意力机制的主要成分 图10.1.3： 查询（自主提示）和键（非自主提示）之间的交互形成了注意力汇聚； 注意力汇聚有选择地聚合了值（感官输入）以生成最终的输出。 本节将介绍注意力汇聚的更多细节， 以便从宏观上了解注意力机制在实践中的运作方式。 具体来说，1964年提出的Nadaraya-Watson核回归模型 是一个简单但完整的例子，可以用于演示具有注意力机制的机器学习。

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

10.2.1. 生成数据集

n_train = 50  # 训练样本数
x_train, _ = torch.sort(torch.rand(n_train) * 5)   # 0-1之间随机生成50个数然后排序后的训练样本def f(x):return 2 * torch.sin(x) + x**0.8y_train = f(x_train) + torch.normal(0.0, 0.5, (n_train,))  # 训练样本的输出 加一点噪音
x_test = torch.arange(0, 5, 0.1)  # 测试样本，是均匀的
y_truth = f(x_test)  # 测试样本的真实输出
n_test = len(x_test)  # 测试样本数
n_test输出：50

下面的函数将绘制所有的训练样本（样本由圆圈表示）， 不带噪声项的真实数据生成函数（标记为“Truth”）， 以及学习得到的预测函数（标记为“Pred”）。

def plot_kernel_reg(y_hat):d2l.plot(x_test, [y_truth, y_hat], 'x', 'y', legend=['Truth', 'Pred'],xlim=[0, 5], ylim=[-1, 5])d2l.plt.plot(x_train, y_train, 'o', alpha=0.5);

10.2.2. 平均汇聚

先使用最简单的估计器来解决回归问题。 基于平均汇聚来计算所有训练样本输出值的平均值：

y_hat = torch.repeat_interleave(y_train.mean(), n_test)
plot_kernel_reg(y_hat)

如下图所示，这个估计器确实不够聪明。 真实函数（“Truth”）和预测函数（“Pred”）相差很大。

10.2.3. 非参数注意力汇聚

# X_repeat的形状:(n_test,n_train),
# 每一行都包含着相同的测试输入（例如：同样的查询）
X_repeat = x_test.repeat_interleave(n_train).reshape((-1, n_train))#把1234变成111222333444.n_train来控制 x_test：测试输入数据，形状为 (n_test,)。
x_test.repeat_interleave(n_train)：将每个测试输入重复 n_train 次，形成一个一维数组。
.reshape((-1, n_train))：将重复后的数组重新整形为二维数组，形状为 (n_test, n_train)。每一行都包含相同的测试输入，重复 n_train 次。
# x_train包含着键。attention_weights的形状：(n_test,n_train),计算测试输入与每个训练输入之间的差值。X_repeat 的形状为 (n_test, n_train)，x_train 的形状为 (n_train,)，广播后形状为 (n_test, n_train)
# 每一行都包含着要在给定的每个查询的值（y_train）之间分配的注意力权重
attention_weights = nn.functional.softmax(-(X_repeat - x_train)**2 / 2, dim=1)
# y_hat的每个元素都是值的加权平均值，其中的权重是注意力权重
y_hat = torch.matmul(attention_weights, y_train)
plot_kernel_reg(y_hat)#y_train：训练目标值，形状为 (n_train,)
#torch.matmul(attention_weights, y_train)：计算加权平均值。attention_weights 的形状为 (n_test, n_train)，y_train 的形状为 (n_train,)，广播后形状为 (n_train, 1)。矩阵乘法的结果 y_hat 的形状为 (n_test, 1)，表示每个测试输入的预测值。

这一部分的作用就是在于，对于一个train长度的y train，你每一个元素都要加上权重，因此得现把train单行长度给广播成train列长度，这样权重相乘就可以做矩阵乘法了

d2l.show_heatmaps(attention_weights.unsqueeze(0).unsqueeze(0),xlabel='Sorted training inputs',ylabel='Sorted testing inputs')

10.2.4. 带参数注意力汇聚

10.2.4.1. 批量矩阵乘法

X = torch.ones((2, 1, 4))
Y = torch.ones((2, 4, 6))
torch.bmm(X, Y).shape输出：torch.Size([2, 1, 6])

在注意力机制的背景中，我们可以使用小批量矩阵乘法来计算小批量数据中的加权平均值。

weights = torch.ones((2, 10)) * 0.1
values = torch.arange(20.0).reshape((2, 10))
torch.bmm(weights.unsqueeze(1), values.unsqueeze(-1))输出：tensor([[[ 4.5000]],[[14.5000]]])

10.2.4.2. 定义模型

基于 (10.2.7)中的 带参数的注意力汇聚，使用小批量矩阵乘法， 定义Nadaraya-Watson核回归的带参数版本为：

w干的事情就是控制你的高斯核让自己不那么平滑，你看上面那个不带参数就是到处都很平滑

class NWKernelRegression(nn.Module):def __init__(self, **kwargs):super().__init__(**kwargs)self.w = nn.Parameter(torch.rand((1,), requires_grad=True))def forward(self, queries, keys, values):# queries和attention_weights的形状为(查询个数，“键－值”对个数)queries = queries.repeat_interleave(keys.shape[1]).reshape((-1, keys.shape[1]))self.attention_weights = nn.functional.softmax(-((queries - keys) * self.w)**2 / 2, dim=1)# values的形状为(查询个数，“键－值”对个数)return torch.bmm(self.attention_weights.unsqueeze(1),values.unsqueeze(-1)).reshape(-1)#和上面的算法是差不多的，无非是写了一个类且多用了一个w

10.2.4.3. 训练

接下来，将训练数据集变换为键和值用于训练注意力模型。 在带参数的注意力汇聚模型中， 任何一个训练样本的输入都会和除自己以外的所有训练样本的“键－值”对进行计算， 从而得到其对应的预测输出。

# X_tile的形状:(n_train，n_train)，每一行都包含着相同的训练输入
X_tile = x_train.repeat((n_train, 1))
# Y_tile的形状:(n_train，n_train)，每一行都包含着相同的训练输出
Y_tile = y_train.repeat((n_train, 1))
# keys的形状:('n_train'，'n_train'-1)
keys = X_tile[(1 - torch.eye(n_train)).type(torch.bool)].reshape((n_train, -1))
# values的形状:('n_train'，'n_train'-1)
values = Y_tile[(1 - torch.eye(n_train)).type(torch.bool)].reshape((n_train, -1))

训练带参数的注意力汇聚模型时，使用平方损失函数和随机梯度下降：

net = NWKernelRegression()
loss = nn.MSELoss(reduction='none')
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.5)
animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', xlim=[1, 5])for epoch in range(5):trainer.zero_grad()l = loss(net(x_train, keys, values), y_train)l.sum().backward()trainer.step()print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(l.sum()):.6f}')animator.add(epoch + 1, float(l.sum()))

# keys的形状:(n_test，n_train)，每一行包含着相同的训练输入（例如，相同的键）
keys = x_train.repeat((n_test, 1))
# value的形状:(n_test，n_train)
values = y_train.repeat((n_test, 1))
y_hat = net(x_test, keys, values).unsqueeze(1).detach()
plot_kernel_reg(y_hat)

d2l.show_heatmaps(net.attention_weights.unsqueeze(0).unsqueeze(0),xlabel='Sorted training inputs',ylabel='Sorted testing inputs')

10.2.5. 小结

• Nadaraya-Watson核回归是具有注意力机制的机器学习范例。

• Nadaraya-Watson核回归的注意力汇聚是对训练数据中输出的加权平均。从注意力的角度来看，分配给每个值的注意力权重取决于将值所对应的键和查询作为输入的函数。

• 注意力汇聚可以分为非参数型和带参数型。