题目描述

小 S 喜欢收集小木棍。在收集了 n 根长度相等的小木棍之后，他闲来无事，便用它们拼起了数字。用小木棍拼每种数字的方法如下图所示。

现在小 S 希望拼出一个正整数，满足如下条件：

拼出这个数恰好使用 n 根小木棍；
拼出的数没有前导 0；
在满足以上两个条件的前提下，这个数尽可能小。

小 S 想知道这个数是多少，可 n 很大，把木棍整理清楚就把小 S 折腾坏了，所以你需要帮他解决这个问题。如果不存在正整数满足以上条件，你需要输出 −1 进行报告。

输入格式

本题有多组测试数据。

输入的第一行包含一个正整数 T，表示数据组数。

接下来包含 T 组数据，每组数据的格式如下：

一行包含一个整数 n，表示木棍数。

输出格式

对于每组数据：输出一行，如果存在满足题意的正整数，输出这个数；否则输出 −1。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

说明/提示

【样例 1 解释】

对于第一组测试数据，不存在任何一个正整数可以使用恰好一根小木棍摆出，故输出 −1。
对于第四组测试数据，注意 0 并不是一个满足要求的方案。摆出 9、41 以及 111 都恰好需要 6 根小木棍，但它们不是摆出的数最小的方案。
对于第五组测试数据，摆出 208 需要 5+6+7=18 根小木棍。可以证明摆出任何一个小于 208 的正整数需要的小木棍数都不是 18。注意尽管拼出 006 也需要 18 根小木棍，但因为这个数有前导零，因此并不是一个满足要求的方案。

【数据范围】

对于所有测试数据，保证：1≤T≤50，1≤n≤105。

测试点编号	n≤	特殊性质
1	20	无
2	50	无
3	103	A
4,5	105	A
6	103	B
7,8	105	B
9	103	无
10	105	无

特殊性质 A：保证 n 是 7 的倍数且 n≥100。

特殊性质 B：保证存在整数 k 使得 n=7k+1，且 n≥100。

题目概述与分析

小木棍问题是2024年CSP-J竞赛中的一道经典题目，考察选手对搜索算法和剪枝优化的掌握。题目描述有n根长度不同的小木棍，需要将它们拼接成若干根长度相同的长木棍，求可能的最小原始长木棍长度。

这个问题可以建模为组合优化问题，需要综合考虑所有可能的组合方式。我们将介绍两种不同的解法：深度优先搜索(DFS)剪枝法和动态规划法。

解法一：DFS剪枝法

算法思路

使用深度优先搜索尝试所有可能的组合
通过多种剪枝策略优化搜索效率
从最大可能长度开始向下搜索
时间复杂度取决于剪枝效果，最坏情况下O(n!)

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <functional>
using namespace std;vector<int> sticks;
vector<bool> used;
int n, total_len, max_len;bool dfs(int cnt, int cur_len, int start, int target) {if (cnt == total_len / target) return true;if (cur_len == target) return dfs(cnt + 1, 0, 0, target);for (int i = start; i < n; ++i) {if (!used[i] && cur_len + sticks[i] <= target) {if (i > 0 && sticks[i] == sticks[i-1] && !used[i-1]) continue;used[i] = true;if (dfs(cnt, cur_len + sticks[i], i + 1, target)) return true;used[i] = false;if (cur_len == 0) break;}}return false;
}int main() {cin >> n;sticks.resize(n);used.resize(n, false);total_len = 0;max_len = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) {cin >> sticks[i];total_len += sticks[i];max_len = max(max_len, sticks[i]);}sort(sticks.begin(), sticks.end(), greater<int>());for (int len = max_len; len <= total_len; ++len) {if (total_len % len != 0) continue;fill(used.begin(), used.end(), false);if (dfs(0, 0, 0, len)) {cout << len << endl;return 0;}}cout << total_len << endl;return 0;
}

该实现使用DFS加多种剪枝策略，包括排序优化、跳过重复值和提前终止等，能有效提高搜索效率。

解法二：动态规划法

算法思路

将问题转化为背包问题的变种
使用位运算状态压缩
记录可达的长度组合
时间复杂度O(n*sum)，适合sum较小的情况

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <bitset>
using namespace std;int main() {int n;cin >> n;vector<int> sticks(n);int sum = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) {cin >> sticks[i];sum += sticks[i];}sort(sticks.begin(), sticks.end());for (int len = sticks.back(); len <= sum; ++len) {if (sum % len != 0) continue;int k = sum / len;vector<bitset<100>> dp(k + 1);dp[0][0] = 1;for (int stick : sticks) {for (int i = k; i >= 0; --i) {for (int j = len; j >= 0; --j) {if (dp[i][j]) {if (j + stick <= len) {dp[i][j + stick] = 1;}if (i + 1 <= k && stick <= len) {dp[i + 1][stick] = 1;}}}}}if (dp[k][0]) {cout << len << endl;return 0;}}cout << sum << endl;return 0;
}

动态规划解法通过状态压缩记录可达的长度组合，适合小规模数据，但空间复杂度较高。