秩数-零化度定理(rank-nullity theorem)

目录

1.   (映射)零空间(线性映射或变换的核)(null-space或nullspace)

2.   跨度(或开度)(span)

3.   (线性映射的)零化度(nullity)

4.   线性变换的维数公式(秩数-零化度定理)(rank-nullity theorem)

5.  函数的上域(codomain)

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1.   (映射)零空间(线性映射或变换的核)(null-space或nullspace)

   与行空间和列空间一样，矩阵的映射零空间是矩阵中的另一个基本空间，是所有在对其应用变换后结果为零的这些向量的集合。

(映射)零空间(null-space)定义: 一个 m ×n  矩阵A 是满足(齐性方程) AX = 0 的所有方程解的集合，它是  ( n 维实坐标向量空间) 的子空间。如果用 Nul A 表示零空间，则零空间可以用集合表示为

   。映射零空间又称为线性映射的核(kernel),因为其决定了这个线性映射的性质。

例1：

     对应齐性(所有项都含有待解未知数这个共同属性)线性方程组

  。

不难求得其两个“特解”，其中，   和   为 1 和 0 或 0 和 1 。

设     和    ，方程1 得到  ，方程 2 得到   。

设    和    ， 方程1 得到    ，方程 2 得到  。

这两个特解(special solution)   和   位于 A 的零空间中。因为  和   。 这两个解的任意线性组合也位于矩阵A 的零空间中。 矩阵 A  乘以向量   产生0 。因此，这两个解向量    和    零空间的一个基(由两个线性无关的向量组成)。

2.   跨度(或开度)(span)

(注：span在用作动词时表示“张成，生成”，用作名词时表示“开度，跨度”。)

    跨度(span)描述的是某些已知向量的线性组合可达的空间。在线性代数中，向量集的跨度是这些向量所有可能的线性组合的集合。在本质上，它是这些向量通过缩放和加法可以到达的“空间”。如果你取某个向量集的所有可能的线性组合，最终得到的向量集就集合这个集合的跨度。理解跨度对于掌握线性代数中更高级的概念(例如线性独立性、基和子空间)至关重要。

线性跨度之定义：令 S 为一个线性空间，并令  为 n 个向量，则向量    的线性跨度    为所有线性组合    的集合 ，可以通过任意选 n 个标量   获得。

例如：

(1) 如果平面上有两个不平行的向量，则它们的跨度就是整个平面。

(2) 如果有两个平行的向量，它们的跨度就是一条线。

(3) 在三维空间中，如果有三个不共面的向量(不都位于同一平面上)，它们的跨度就是整个三维空间。

(4) 令    和    分为 2 × 1 例向量

   和     。

令 x  为    和   的线性组合，其分别具有系数   和  。则

  。

因此，向量    和     的线性跨度是所有可以写成   

   

形式的向量 x ，其中，  和     是任意两个标量。

3.   (线性映射的)零化度(nullity)

    矩阵的零化度是其(映射)零空间(或核)的维数，零空间是所有与矩阵相乘后结果为零向量的向量之集合(也可以说是所有齐性线性方程组的解之集合)。简单来说，它是矩阵解空间中自由变量的数量。零化度也等于矩阵的列数减去其秩数。

4.   线性变换的维数公式(秩数-零化度定理)(rank-nullity theorem)

定理 (维数公式): 令 T:V ⟶ W  为一个线性变换，则

dim(ker T ) + dim(im T ) = dim(V )  。

一个线性变换 T 的零化度(nullity)和秩(数)(rank，或阶数)分别是其核和像的维数，一个矩阵A 的零化度和秩按类似方式定义。

    在本质上，该公式告诉我们(定义)域(domain)的维数是如何在通过变换而“丢失”(映射到零)的向量(解向量，即零化度)和“保留”(映射到上域(codomain)中的其他向量)的向量之间分布的(维数如何在“丢夫”的向量和保留的向量之间分布)。

    例如，如果线性变换将 5 维向量空间映射到另一个空间，并且核(解的基向量数)的维数为 2(“丢失”的部分)，则其像(保留的部分)的维数一定为 3(5 - 2 = 3)。

5.  函数的上域(codomain)

    在数学中，函数(映射)的上域(codomain)或目标集是指函数的所有输出都被约束到的集合(比如，实数域，但并不等于函数都能达到每一个实数)。在符号 f: X → Y 中，它就是集合 Y。术语“值域(range)”有时会被混淆地用来指代函数的上域或像。如图所示：

在图中，f 是从定义域(domain)(图中红色区域所示)到上域(图中蓝色区域) Y 的映射，Y中更小的黄色椭圆形区域是函数的像。

    例如：

函数 f : ℝ ⟶ ℝ  定义为    或其等价形式      ，f 的上域是 ℝ ，但 f 不映射到任何负值，因此 f  的像是    ，即 [0, +∞] 。