阵列信号处理之均匀面阵波束合成方向图的绘制与特点解读

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前言

\;\;\;\;\; 均匀面阵（Uniform Planar Array，UPA）因其结构规则、波束可控性强而在雷达与通信中得到广泛应用。方向图是分析天线阵列性能的重要工具，它直接反映了主瓣宽度、副瓣电平及波束指向特性。本文基于MATLAB给出均匀面阵方向图的绘制方法，并通过二维方向图与一维切片对比，直观展示阵元规模、阵元间距对主瓣宽度、副瓣电平的影响，为相控阵设计与阵列优化提供参考。

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一、方向图函数

\;\;\;\;\; 考虑如下阵列模型

\;\;\;\;\; 单个远场信号入射时，相对于参考阵元的相差为
$${\varphi }_{m\times n}(\theta ,\phi )=\frac{2\pi }{\lambda }(m{d}_x\sin \theta \cos \phi +n{d}_y\sin \theta \sin \phi )$$ \;\;\;\;\; 单个远场信号入射的方向矢量为
$$\mathbf{a}(\theta ,\phi )={\left[\begin{array}{ccccccc}1& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}{\varphi }_{0\times 1}}& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}{\varphi }_{0\times 2}}& ...& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}{\varphi }_{0\times (N-1)}}& ...& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}{\varphi }_{(M-1)\times (N-1)}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{C}}^{(MN)\times 1}$$ \;\;\;\;\; 若波束指向为$({\theta }_0,{\phi }_0)$，则权矢量为
$$\mathbf{w}=\mathbf{a}({\theta }_0,{\phi }_0)$$ 方向图函数为
$$B(\theta ,\phi )={\mathbf{w}}^{\mathrm{H}}\ast \mathbf{a}(\theta ,\phi )$$

二、方向图绘制

\;\;\;\;\; 下面是8×8，间距为半波长均匀面阵在球坐标系和直角坐标系下的方向图，波束指向为$(45°,30°)$。

三、副瓣电平

\;\;\;\;\; 观察副瓣电平时，将坐标系改为UV 坐标（方向余弦）。即
$$\begin{array}{rl}u& =\sin \theta \cos \varphi \\ v& =\sin \theta \sin \varphi \end{array}$$ 显然有
$$u^2+v^2={\sin }^2\theta \le 1$$ 下面是8×8，间距为半波长均匀面阵在UV坐标系下的方向图。

\;\;\;\;\; 为了验证副瓣电平固定在-13dB附近，下面又绘制了8×16和16×8规模下的方向图。


\;\;\;\;\; 从以上仿真结果可以看出，随着阵元数增多，主瓣宽度逐渐收窄，波束分辨力提升；同时副瓣数量增多，分布更密集；副瓣电平理论上保持在约–13.26 dB，因此副瓣高度基本不变，固定在-13dB附近。总体而言，更多的阵元意味着更窄的主瓣、更高的方向性，但副瓣电平无法降低，需要借助加权实现副瓣抑制。

四、阵元个数对主瓣宽度的影响

\;\;\;\;\; 下面两图是$N$固定为16时，不同$M$下的方向图。


\;\;\;\;\; 从图中可以看出，增大x轴方向的阵元个数对俯仰维的主瓣宽度影响更明显一些，阵元个数越大，主瓣宽度越窄。

\;\;\;\;\; 下面两图是$M$固定为16时，不同$N$下的方向图。


\;\;\;\;\; 从图中可以看出，增大y轴方向的阵元个数对方位维的主瓣宽度影响更明显一些，同样有阵元个数越大，主瓣宽度越窄。

五、阵元间距对主瓣宽度的影响

\;\;\;\;\; 下面两图是阵元规模为16×16时，不同阵元间距下的方向图。


\;\;\;\;\; 从图中可以看出，增大阵元间距对两个维度的主瓣宽度影响都明显。阵元间距越大，主瓣宽度越窄，波束指向性更好。

六、MATLAB源代码

绘制均匀面阵波束合成方向图与特点解读的超详细MATLAB代码

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总结

\;\;\;\;\; 从以上仿真可以得出，随着阵元数增多，主瓣宽度逐渐变窄，波束分辨力提升；同时副瓣数量增多，分布更密集，但副瓣电平维持在约–13dB左右；随着阵元间距数增加，主瓣宽度也逐渐变窄，波束分辨力也在提升。