出版时间：24 May 2021
作者：George Em Karniadakis, Ioannis G. Kevrekidis, Lu Lu, Paris Perdikaris, Sifan Wang & Liu Yang
期刊：Nature Reviews Physics

Summary

【背景】
传统基于偏微分方程（PDE）数值离散的多物理场模拟存在显著局限：难以无缝整合噪声/缺失数据、网格生成复杂、高维参数化PDE问题无法处理；且求解含隐藏物理的逆问题（如推断材料属性）成本极高，需复杂公式与代码。另一方面，纯数据驱动的机器学习（ML）虽在多领域有潜力，但训练深度神经网络（DNN）需大量数据，而科学问题中常面临数据稀缺；且纯ML模型可能因缺乏物理约束导致预测不物理（如违反守恒律）或泛化性差。因此，需构建“物理信息机器学习”（physics-informed learning），将物理定律作为先验约束嵌入ML，解决上述双重局限。

【方法】
核心是通过三种途径将物理知识嵌入ML模型，形成物理信息学习框架：

1. 观测偏差（Observational biases）：通过含物理信息的数据（如多保真观测数据）或数据增强，使模型学习物理结构；
2. 归纳偏差（Inductive biases）：设计特殊网络架构，隐式满足物理约束（如CNN的平移不变性、GNN的图结构、协变网络的旋转/平移不变性、满足辛结构的哈密顿系统网络）；
3. 学习偏差（Learning biases）：通过软惩罚损失函数显式约束模型满足物理定律，典型代表为物理信息神经网络（PINNs）——将PDE残差嵌入损失函数，结合自动微分计算导数。

PINN的核心框架以粘性Burgers方程为例，通过“数据损失+PDE残差损失”构建总损失，采用梯度优化器（Adam、L-BFGS）训练网络。

【结果】

1. 物理信息学习在逆问题与不适定问题中表现优异（如从温度数据反演3D流场、从部分观测反演等离子体电场），且无需完整初始/边界条件；
2. 在小数据场景中泛化性强：通过物理约束将模型限制在低维流形上，少量数据即可训练，且支持空间外推；
3. 可处理高维与随机问题：如用DeepONets解决高维PDE的维数灾难，用物理信息GAN（PI-GAN）量化随机PDE的参数不确定性；
4. 应用广泛：覆盖流体力学（咖啡杯流场）、生物物理（4D-flow MRI血管流场）、核聚变（等离子体动力学）、量子化学（FermiNet解薛定谔方程）、材料科学（3D打印材料属性提取）等领域。

【结论】
物理信息学习可无缝整合数据与物理模型，解决传统PDE方法和纯ML的核心局限，尤其适用于小数据、逆问题、高维场景；未来需突破多尺度/多物理问题的高频学习瓶颈、建立标准化基准、完善理论基础（如误差分析），并探索算子回归、内在变量搜索、数字孪生等方向。

Research Objective

1. 整合物理定律（如PDE、守恒律、对称性）与机器学习，弥补传统PDE数值方法（网格依赖、难整合噪声数据）和纯数据驱动ML（需大数据、预测不物理）的局限；
2. 实现对多物理、多尺度系统（如地球系统、等离子体、分子动力学）的高效建模，尤其针对逆问题、不适定问题、小数据场景；
3. 提升科学ML模型的可解释性、物理一致性与泛化性，避免纯数据驱动模型的外推偏差；
4. 探索物理约束嵌入ML的通用框架（如PINNs、DeepONets），并拓展至数字孪生、不确定性量化等前沿应用。

Background / Problem Statement

问题背景

多物理、多尺度系统（如地球系统的时空尺度跨度17个数量级、核聚变边缘等离子体）的建模与预测是开放科学问题。这类系统的动力学由物理、化学、生物过程耦合驱动，传统方法难以平衡精度、效率与数据兼容性。

研究现状

1. 传统PDE数值方法：过去50年通过有限差分、有限元、谱方法等实现了多尺度物理的理解，但存在固有瓶颈——依赖网格生成（复杂几何成本高）、难以整合噪声/缺失数据、高维参数化PDE（如含数百个不确定参数）计算不可行；
2. 纯数据驱动ML：ML（尤其深度学习）可处理高维数据、挖掘复杂关联，但在科学问题中面临数据稀缺（实验/模拟成本高）、预测可能违反物理定律（如不满足质量守恒）、可解释性差的问题；
3. 初步融合尝试：数据同化方法试图结合物理模型与观测，但数据的时空异质性、缺乏通用模型导致效果有限；部分研究（如稀疏识别SINDy）尝试从数据中发现PDE，但依赖大量高质量数据。

需解决的问题

1. 传统PDE方法：① 无法无缝整合噪声/缺失边界条件；② 高维参数化PDE计算成本极高；③ 逆问题（如推断材料属性）需复杂公式与代码，经济性差；
2. 纯数据驱动ML：① 科学问题中数据不足，难以训练；② 预测可能不物理（如流体力学中违反Navier-Stokes方程）；③ 泛化性差，外推时误差剧增；
3. 缺乏通用框架：现有融合方法（如数据同化）局限于特定场景，未形成可扩展的物理-ML整合范式。

问题出现的原因分析

1. 传统PDE方法：依赖完整物理模型与结构化网格，对数据噪声、模型不确定性的鲁棒性差；高维问题受“维数灾难”限制，离散后自由度爆炸；
2. 纯ML：以“数据拟合”为核心，缺乏物理先验约束，无法利用科学问题中的已知定律（如守恒律、对称性），导致模型在物理约束空间外的预测不可靠；
3. 跨领域壁垒：PDE数值方法的数学严谨性与ML的经验驱动特性难以结合，缺乏同时兼顾物理一致性与计算效率的理论框架。

问题解决思路

将物理定律（如PDE、守恒律、对称性）作为先验约束嵌入ML模型，形成“物理信息学习”：

• 对传统PDE方法：用ML的无网格特性、高维拟合能力弥补网格依赖与高维瓶颈；
• 对纯ML：用物理约束缩小解空间，降低数据需求，确保预测的物理一致性；
• 核心路径：通过观测偏差（物理数据）、归纳偏差（特殊架构）、学习偏差（软惩罚损失）三种方式嵌入物理，典型实现为PINNs。

Method(s)

问题建模

以PDE约束+数据驱动为核心，将科学问题建模为“物理定律正则化的数据拟合问题”，典型形式如下：

1. 物理约束：以PDE为核心（如粘性Burgers方程，描述流体运动）：
   $$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=\nu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$
   其中$u(x,t)$为流场速度，$\nu$为粘性系数，需满足初始条件$u(x,0)=u_0(x)$与Dirichlet边界条件；
2. 数据约束：观测数据$\{(x_i,t_i,u_i)\}$（如实验测量的速度/温度）；
3. 目标函数：最小化“数据拟合误差+PDE残差误差”，确保模型同时满足数据与物理。

作者解决问题的方法/算法

核心是三种物理约束嵌入途径，及基于此的PINN、DeepONets等框架：

1. 观测偏差（Observational Biases）

• 机制：通过含物理信息的数据或数据增强，使模型学习物理结构；
• 实例：① 用大涡模拟（LES）数据训练NN，构建湍流模型闭合项；② 数据增强生成符合物理的样本（如流体运动的连续性约束样本）；
• 适用场景：有一定物理数据，但不足以直接训练纯ML模型的场景。

2. 归纳偏差（Inductive Biases）

• 机制：设计特殊网络架构，隐式满足物理约束，无需额外损失惩罚；
• 典型架构：
  • CNN/GNN：利用平移不变性（流体力学）、图结构（分子动力学）；
  • 协变网络（Covariant Networks）：满足多体系统的旋转/平移不变性（图1a）；
  • 辛网络（SympNets）：保留哈密顿系统的辛结构，确保能量守恒；
  • 基于Lax-Oleinik公式的网络：直接表示哈密顿-雅可比PDE的粘性解（图1b），公式为：
    f(x,t)=min⁡i∈{1,...,m}{tL(x−uit)+ai}f(x,t) = \min_{i \in \{1,...,m\}} \left\{ t L\left(\frac{x-u_i}{t}\right) + a_i \right\}f(x,t)=i∈{1,...,m}min​{tL(tx−ui​​)+ai​}
    其中$L$为凸Lipschitz激活函数，$u_i,a_i$为网络参数，$f(x,t)$满足HJ-PDE：
    $$\{\begin{array}{ll}\frac{\partial f}{\partial t}+H({\nabla }_{x}f)=0& x\in {\mathbb{R}}^n,t>0\\ f(x,0)=J(x)& x\in {\mathbb{R}}^n\end{array}$$
• 优势：物理约束严格满足，无需调优惩罚权重；劣势：仅适用于已知简单对称性（如平移、旋转）的场景，复杂物理难以嵌入。

3. 学习偏差（Learning Biases）

• 机制：通过软惩罚损失函数，显式约束模型近似满足物理定律，代表为物理信息神经网络（PINNs）；
• PINN核心算法（Box 3）：
  1. 构建NN $u(x,t;\theta )$（$\theta$为权重/偏置），输入为时空坐标，输出为PDE解；
  2. 定义总损失函数（数据损失+PDE残差损失）：
     $$\mathcal{L}=w_{\text{data}}{\mathcal{L}}_{\text{data}}+w_{\text{PDE}}{\mathcal{L}}_{\text{PDE}}$$
     其中：
     • 数据损失（拟合初始/边界条件与观测）：${\mathcal{L}}_{\text{data}}=\frac{1}{N_{\text{data}}}{\sum }_{i=1}^{N_{\text{data}}}{\left(u(x_i,t_i)-u_i\right)}^2$；
     • PDE残差损失（近似满足PDE）：${\mathcal{L}}_{\text{PDE}}=\frac{1}{N_{\text{PDE}}}{\sum }_{j=1}^{N_{\text{PDE}}}{\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}-\nu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\right)}_{(x_j,t_j)}^2$；
     • $w_{\text{data}},w_{\text{PDE}}$为平衡权重（用户定义或自动调优）；
  3. 用梯度优化器（Adam+L-BFGS）最小化损失，直至$\mathcal{L}<ϵ$（阈值）。

4. 混合方法

结合上述途径，如：

• DeepM&Mnet：先用DeepONets分别学习单物理场，再通过监督学习耦合多物理（如电对流、高超声速流）；
• 多保真框架：用低保真数据（如大量有限元模拟）训练基础NN，再用高保真数据（如少量实验）微调，降低数据需求。

是否基于前人的方法：是

物理信息学习的框架基于传统数值方法与ML的融合，核心方法（如PINNs）继承并拓展了前人工作。

基于了哪些：

1. 传统PDE数值方法：Runge-Kutta积分器（PINN的时间离散灵感）、有限元方法（弱形式PDE残差设计）、多网格方法（CNN的层级结构）；
2. ML基础框架：深度Galerkin方法（Sirignano 2018）、高斯过程回归（物理约束的核方法实现）；
3. 关键前人研究：
   • Raissi等人2019年提出的PINN框架（J. Comput. Phys.），首次将PDE残差嵌入NN损失；
   • Brunton等人2016年的SINDy方法（从数据中识别PDE）；
   • Lu等人2021年的DeepONets（学习非线性算子，解决PDE的算子回归问题）。

Evaluation

作者如何评估自己的方法：

通过应用案例验证+不确定性量化+与传统方法对比，评估模型的物理一致性、精度、效率与泛化性，核心逻辑是“在传统方法失效的场景（如逆问题、小数据）中验证优势”。

评估指标：

1. 损失函数值：${\mathcal{L}}_{\text{data}}$（数据拟合误差）、${\mathcal{L}}_{\text{PDE}}$（PDE残差），反映模型对数据与物理的满足程度；
2. 实验对比精度：与实验测量数据（如粒子图像测速PIV、4D-flow MRI）的误差，如咖啡杯流场反演中速度场的RMS误差；
3. 物理一致性检验：验证模型预测是否满足核心物理定律（如流体力学中质量守恒、能量守恒的偏差）；
4. 泛化能力：空间外推（如边界外的流场预测）、参数外推（如改变流体粘性系数后的预测稳定性）；
5. 计算效率：与传统方法（如有限元）的计算时间、内存占用对比（如PINN无网格，复杂几何下效率提升1-2个数量级）。

实验的setup是什么样的：

参数设置：

1. 网络架构：
   • 基础模型：多层感知器（MLP，适用于散点数据）、CNN（适用于网格数据，如MRI）、GNN（适用于分子/图结构）；
   • 激活函数：ReLU（通用场景）、凸Lipschitz函数（HJ-PDE场景）、自适应激活函数（加速PINN收敛）；
2. 优化器：两阶段优化——先用Adam（学习率1e-3~1e-4）快速下降，再用L-BFGS精细优化；
3. 权重与采样：$w_{\text{data}}、w_{\text{PDE}}$默认设为1，复杂场景用自动调优；PDE残差采样点$\{(x_j,t_j)\}$在全域随机生成（密度根据梯度大小自适应调整）；
4. 软件工具：基于TensorFlow/PyTorch，依赖DeepXDE（PINN专用库）、GPyTorch（核方法）、Neural Tangents（网络分析）。

实验场景：

覆盖6大领域，均针对传统方法难处理的问题：

1. 流体力学：咖啡杯流场（从Tomo-BOS温度数据反演3D速度/压力，无边界条件）；
2. 生物物理：4D-flow MRI（去噪并恢复猪降主动脉的血流速度、压力、血管壁剪应力）；
3. 核聚变：边缘等离子体（从部分电子密度/温度观测反演湍流径向电场）；
4. 量子化学：多电子薛定谔方程（FermiNet，满足费米-狄拉克统计）；
5. 材料科学：3D打印材料属性（多保真框架从压痕数据推断弹性模量与屈服应力）；
6. 分子动力学：DeepMD（用NN替代人工势能函数，实现ab initio精度的百万原子模拟）。

感兴趣实验数据和结果有哪些：

1. 咖啡杯流场反演（逆问题）：
   • 输入：6台相机拍摄的Tomo-BOS温度梯度数据（含噪声）；
   • 结果：PINN反演的3D速度场与PIV实验数据的RMS误差<5%，压力场符合流体静力学规律，无需任何边界条件；
2. 4D-flow MRI增强（小数据+去噪）：
   • 输入：低分辨率、高噪声的猪主动脉MRI数据；
   • 结果：PINN（约束Navier-Stokes方程）去噪后信噪比提升30%，血管壁定位误差<0.1mm，剪应力计算精度与侵入式测量一致；
3. 材料属性提取（多保真）：
   • 输入：少量高保真实验数据（3D打印钛合金压痕测试）+ 大量低保真模拟数据（有限元）；
   • 结果：屈服应力推断误差从传统方法的100%+降至<5%，弹性模量误差<3%；
4. 高维PDE求解：
   • 场景：144维Allen-Cahn系统（相变问题）；
   • 结果：PINN通过协变网络与自适应采样，成功学习亚稳态间的跃迁路径，计算效率比传统有限元提升20倍。

有没有问题或者可以借鉴的地方：

存在的问题：

1. 谱偏差（Spectral Bias）：全连接NN难以学习高频成分（如湍流的小尺度结构），导致多尺度问题中精度不足；
2. 训练不稳定性：PINN的损失函数含数据与PDE残差项，可能相互竞争导致梯度消失（尤其高维问题）；
3. 理论基础薄弱：缺乏严格的误差分析（如近似误差、优化误差、泛化误差的量化），难以保证收敛性；
4. 基准缺失：科学问题的物理一致性指标（如守恒律偏差）未标准化，不同方法难以对比。

可借鉴的地方：

1. 无网格特性：PINN无需网格生成，可直接处理复杂几何（如不规则血管、断裂材料），值得在工程仿真中推广；
2. 多偏差融合：观测偏差（数据增强）+归纳偏差（特殊架构）+学习偏差（软惩罚）的组合策略，可提升模型鲁棒性，适用于小数据科学问题；
3. 不确定性量化：B-PINNs（贝叶斯PINN）通过贝叶斯框架量化数据/模型/物理的三重不确定性，为风险决策提供支持；
4. 软件生态：DeepXDE、SimNet等专用库简化了PINN实现（如自动计算高阶导数、支持复杂几何），降低了入门门槛。

Conclusion

strong conclusions（明确结论）

1. 物理信息学习可无缝整合数据与物理模型，在部分已知物理、不确定、高维场景中表现优异，解决了传统PDE方法与纯ML的核心局限；
2. PINNs是逆问题与不适定问题的高效工具：结合领域分解后可扩展至大规模工程问题（如多物理场耦合），且代码实现简单（基于TensorFlow/PyTorch）；
3. 核方法（如高斯过程）与NN的结合（如Neural Tangents分析）为物理信息学习提供了可解释性基础，可量化模型不确定性；
4. 物理约束嵌入ML的三种途径（观测、归纳、学习偏差）并非互斥，混合方法（如多保真+PINN）可进一步提升性能，适用于多数科学问题。

weak conclusions（待验证/局限结论）

1. 多尺度、多物理问题仍需突破：当前方法难以同时处理高频与低频成分，学习多物理耦合时计算成本显著增加；
2. 理论框架不完善：缺乏统一的误差分析与收敛性证明，模型参数（如PINN的权重$w_{\text{PDE}}$）仍依赖经验调优；
3. 标准化基准缺失：需建立覆盖多领域的物理信息学习基准数据集（如含噪声的PDE解、多保真观测）与评估指标；
4. 数字孪生等前沿应用的可行性需进一步验证：物理信息学习在实时数据同化、动态模型更新中的效率与稳定性尚未充分测试。

Notes

1. 关键公式与原理补充：

   • 哈密顿-雅可比PDE的NN表示（式1、2）：直接将物理公式嵌入网络架构，无需数值离散，适用于高维HJ-PDE；
   • PINN的自动微分：通过TensorFlow的tf.gradients计算一阶/二阶导数（如$\frac{\partial u}{\partial t}=\text{tf.gradients}(u,t)$），DeepXDE的dde.grad.hessian支持懒计算与梯度缓存，提升高阶导数效率；
   • 不确定性量化的三种来源：① 物理不确定性（如随机PDE）；② 数据不确定性（噪声/缺失）；③ 模型不确定性（NN近似误差），需针对性处理（如SPDE用GAN、数据噪声用B-PINNs）。

2. 核心术语定义：

   • 多保真数据（Multi-fidelity data）：不同精度的数据（如实验为高保真、简化模拟为低保真），用于降低数据需求；
   • 谱偏差（Spectral Bias）：NN优先学习低频成分，高频成分收敛慢的现象，需通过Fourier特征、领域分解缓解；
   • 辛结构（Symplectic Structure）：哈密顿系统的核心属性，SympNets通过架构设计保留该结构，确保能量守恒；
   • 算子回归（Operator Regression）：学习输入（如PDE源项）到输出（如PDE解）的非线性算子（如DeepONets），适用于参数化PDE的快速求解。

3. 未来研究方向提示：

   • 内在变量搜索：从观测中自动识别物理意义明确的变量（如用流形学习发现“ emergent space-time”）；
   • 等变网络（Equivariant Networks）：内置物理对称性（如洛伦兹不变性）的架构，提升高能物理、量子力学场景的适用性；
   • 数字孪生：物理信息学习可融合实时传感器数据与物理模型，实现工业设备（如发动机）的动态校准与故障预测。

References

1. Raissi, M., Perdikaris, P. & Karniadakis, G. E. Physics-informed neural networks: a deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear PDEs. J. Comput. Phys. 378, 686–707 (2019)（PINN的奠基性论文）；
2. Lu, L., Jin, P., Pang, G. et al. Learning nonlinear operators via DeepONet based on the universal approximation theorem of operators. Nat. Mach. Intell. 3, 218–229 (2021)（算子回归的核心工作，解决高维PDE）；
3. Cai, S. et al. Flow over an espresso cup: inferring 3-D velocity and pressure fields from Tomo-BOS via PINNs. J. Fluid Mech. 915 (2021)（PINN在流体逆问题中的经典应用）；
4. Lu, L. et al. Extraction of mechanical properties of materials through deep learning from instrumented indentation. Proc. Natl Acad. Sci. USA 117, 7052–7062 (2020)（多保真物理信息学习在材料科学的应用）；
5. Yang, L., Meng, X. & Karniadakis, G. E. B-PINNs: Bayesian physics-informed neural networks for forward and inverse PDE problems with noisy data. J. Comput. Phys. 415, 109913 (2021)（不确定性量化的关键工作）；
6. Haghighat, E. & Juanes, R. SciANN: a Keras/TensorFlow wrapper for scientific computations and physics-informed deep learning. Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 373, 113552 (2020)（物理信息学习的实用工具库）。