TOPSIS 优劣解距离法总结

1. 基本思想

TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）方法通过计算方案与正理想解（最优值）和负理想解（最劣值）的距离，来评价方案的优劣。

• 接近正理想解，远离负理想解 → 方案更优。

2. 主要步骤

(1) 构造决策矩阵

设有 $m$ 个方案，$n$ 个评价指标：
$X=(x_{ij}{)}_{m\times n},i=1,\dots ,m,j=1,\dots ,n$

(2) 数据归一化

不同指标量纲不同，需要无量纲化。常见方法：

• 向量归一化（TOPSIS 常用、标准化处理）：
  $r_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^m{x}_{ij}^2}}$
• 极值归一化（Min-Max Normalization）：
  $r_{ij}=\frac{x_{ij}-\min (x_j)}{\max (x_j)-\min (x_j)}(正向化处理)$

(3) 加权归一化

若指标权重为 $w_j$，则：
$v_{ij}=w_j\cdot r_{ij},j=1,\dots ,n$

(4) 确定正负理想解

• 对于效益型指标（越大越好）：
  $v_j^{+}={\max }_i{v}_{ij},v_j^{-}={\min }_i{v}_{ij}$
• 对于成本型指标（越小越好）：
  $v_j^{+}={\min }_i{v}_{ij},v_j^{-}={\max }_i{v}_{ij}$
  得到：
  $A^{+}=(v_1^{+},v_2^{+},\dots ,v_n^{+}),$
  $A^{-}=(v_1^{-},v_2^{-},\dots ,v_n^{-})$

(5) 计算与理想解的距离

• 与正理想解的距离：
  $D_i^{+}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^n(v_{ij}-v_j^{+}{)}^2}$
• 与负理想解的距离：
  $D_i^{-}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^n(v_{ij}-v_j^{-}{)}^2}$

(6) 计算贴近度系数

定义方案 $i$ 的贴近度：
$C_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}},0\le C_i\le 1$

• $C_i$ 越大，说明方案越接近理想解，排序越靠前。

3. 方法特点

• 能处理多指标综合评价问题。
• 不需要严格的指标分布假设。
• 结果直观：贴近度 $C_i\in [0,1]$。
• 缺点：依赖于权重选择，极端值敏感。

4. 常见应用场景

• 方案优选（如最佳选址、最佳投资方案）
• 风险评价（如供应链风险、金融风险）
• 综合评价（如高校综合排名、城市竞争力）

5. 小结

TOPSIS 方法步骤简洁，计算清晰，特别适用于数学建模竞赛中的综合评价类问题。
流程总结：
原始矩阵 → 归一化 → 加权 → 正负理想解 → 距离计算 → 贴近度系数 → 排序

归一化、距离法和标准化的区别与联系

1. 概念区别

• 归一化：不仅能将结果划到 ([0,1]) 区间，还能使结果的和为 1。
• 标准化：是为了消除不同量纲的影响，常见方法是 Z-score 标准化。
• 距离法：几何意义是每个值所占的线段比例，用于衡量与理想解的接近程度。

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2. 结果范围

• 距离法 和 标准化 都能使结果落到 ([0,1]) 区间，但不能保证和为 1。
• 归一化 可以保证数据范围在 ([0,1])，并且使和为 1（如向量归一化）。

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3. 最大值与最小值的选择

• 使用距离法时，需要确定每个指标的最大值和最小值。
• 对于很多指标（例如 GDP 增速），并不存在理论上的最大值和最小值，此时应选取给定数据中的最值作为参照。

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4. 对比表格

方法	主要目的	结果范围	是否和为 1	是否依赖最大/最小值
归一化	消除量纲，映射到固定区间	([0,1])	✅ 是	依赖（极值归一化）
标准化	消除量纲，均值 0 方差 1	理论上 ((-\infty, +\infty))，特殊情况可落在 ([0,1])	❌ 否	不依赖
距离法	计算数据在区间中的比例关系	([0,1])	❌ 否	✅ 必须依赖最值

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5. 小结

• 归一化 → 消除量纲，结果在 ([0,1])，和为 1。
• 标准化 → 消除量纲，结果可能在 ([0,1])，但和不为 1。
• 距离法 → 依赖最大值和最小值，结果反映数据在区间上的比例关系。