PCA（主成分分析）降维详解
一、什么是 PCA
PCA（Principal Component Analysis，主成分分析）是一种常用的数据降维方法。它通过线性变换将原始的高维数据映射到低维空间，同时尽可能保留原数据的主要信息（即方差信息）。
一句话总结：
PCA 找到数据变化最大的方向，把数据投影到这些方向上，从而减少维度、压缩数据，同时降低冗余和噪声。
二、PCA 的主要作用
数据降维
减少特征数量，加快模型训练速度。降噪
去除方差较小、贡献不大的特征，减少噪声影响。特征提取
把原特征组合成新的主成分，减少相关性。可视化
将高维数据映射到二维或三维，方便绘图观察。
三、PCA 的核心思想
PCA 的核心思想是：
找到数据方差最大的方向（主成分方向）
将数据投影到这些方向上
选择前 k 个主成分作为新的特征空间
方差越大，表示数据在该方向的变化信息越多，保留它可以最大化信息量。
四、PCA 数学推导（简化版）
假设数据集为 X（已中心化）：
计算协方差矩阵
求特征值和特征向量
特征向量 vi 表示主成分方向
特征值 λi 表示方差大小
按特征值从大到小排序
取前 k 个特征向量组成投影矩阵 W降维
五、PCA 实现步骤
数据标准化（均值为 0，方差为 1）
计算协方差矩阵
求特征值和特征向量
选择前 k 个主成分
将数据投影到新空间
六、PCA 的优缺点
优点
降维有效，速度快
去除冗余特征，减少过拟合
对噪声有一定抑制作用
缺点
仅适用于线性降维
主成分是特征组合，不易解释含义
对特征缩放敏感，需要标准化
七、PCA 应用场景
图像压缩（如人脸识别中的特征提取）
高维数据可视化（如基因数据、股票数据）
机器学习前的数据预处理
八、PCA() 函数原型和参数表：
class sklearn.decomposition.PCA(n_components=None,*,copy=True,whiten=False,svd_solver='auto',tol=0.0,iterated_power='auto',n_oversamples=10,power_iteration_normalizer='auto',random_state=None
)
| 参数 | 类型 / 取值范围 | 默认值 | 作用说明 |
|---|---|---|---|
| n_components | int / float / 'mle' / None | None | - int：降到指定维度- float ∈ (0,1]：保留的累计方差比例（svd_solver='full' 时有效）- 'mle'：自动估计最佳维度（svd_solver='full' 时）- None：保留 min(n_samples, n_features) 个主成分 |
| copy | bool | True | 是否在降维前复制数据，False 则在原数组上执行（可能修改原数据） |
| whiten | bool | False | 是否将输出的主成分缩放为单位方差（去相关+标准化），可能改变原数据的尺度含义 |
| svd_solver | 'auto' / 'full' / 'arpack' / 'randomized' / 'covariance_eigh' | 'auto' | - 'auto'：自动选择- 'full'：精确 SVD- 'arpack'：截断 SVD（适合小规模特征子集）- 'randomized'：随机近似 SVD（高维快）- 'covariance_eigh'：特征值分解协方差矩阵（样本≫特征时快） |
| tol | float | 0.0 | SVD 收敛阈值（对迭代方法有效） |
| iterated_power | int / 'auto' | 'auto' | 随机 SVD 的迭代次数（通常保持默认） |
| n_oversamples | int | 10 | 随机 SVD 的过采样参数（svd_solver='randomized' 时） |
| power_iteration_normalizer | 'auto' / 'QR' / 'LU' / None | 'auto' | 随机 SVD 的幂迭代归一化方式 |
| random_state | int / RandomState / None | None | 随机种子（svd_solver='randomized' 时保证结果可复现） |
九、PCA Python 实战
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.decomposition import PCA
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei'] # 使用微软雅黑字体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 处理负号显示异常# 1. 加载数据
iris = load_iris()
X = iris.data
y = iris.target# 2. 创建 PCA 模型（降到 2 维）
pca = PCA(n_components=2)
X_pca = pca.fit_transform(X)# 3. 可视化
plt.figure(figsize=(8,6))
for target, color, label in zip([0,1,2], ['r','g','b'], iris.target_names):plt.scatter(X_pca[y == target, 0], X_pca[y == target, 1], c=color, label=label)plt.xlabel('主成分 1')
plt.ylabel('主成分 2')
plt.title('PCA 降维后的鸢尾花数据')
plt.legend()
plt.show()# 4. 方差贡献率
print("各主成分方差贡献率:", pca.explained_variance_ratio_)
# 输出结果：各主成分方差贡献率: [0.92461872 0.05306648]输出示例：
各主成分方差贡献率: [0.92461872 0.05306648]说明前两个主成分保留了约 97.7% 的信息。
十、PCA 可视化原理
PCA 本质上是在找一组新的坐标轴（主成分轴），数据被重新投影到这些轴上，从而实现降维。
在二维图中，这些主成分轴相当于旋转后的新坐标系。
十一、总结
PCA 是通过最大化方差来提取主要特征的线性降维方法。
核心步骤是计算协方差矩阵 → 求特征值和特征向量 → 投影到主成分。
适合在特征数量大、存在相关性、需要可视化的场景使用。
方法的作用和场景说明)