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题目一：路径总和 II（LeetCode 113）

题目分析：

给你二叉树的根节点 root 和一个整数目标和 targetSum ，找出所有 从根节点到叶子节点 路径总和等于给定目标和的路径。叶子节点是指没有子节点的节点。例如：输入root = [5,4,8,11,null,13,4,7,2,null,null,5,1], targetSum = 22，输出[[5,4,11,2],[5,8,4,5]]。

解题思路：

回溯法：通过递归遍历二叉树，记录从根节点到当前节点的路径，当到达叶子节点且路径和等于目标和时，将路径加入结果集。
路径记录：使用列表存储当前路径上的节点值，递归进入子节点时添加节点值，回溯时移除节点值。
终止条件：当当前节点为叶子节点（左右子节点均为空）时，判断路径和是否等于目标和，若相等则保存路径。

示例代码：

# 二叉树节点定义
class TreeNode:def __init__(self, val=0, left=None, right=None):self.val = valself.left = leftself.right = rightdef pathSum(root, targetSum):result = []def backtrack(node, current_path, current_sum):if not node:return# 将当前节点加入路径current_path.append(node.val)current_sum += node.val# 到达叶子节点且路径和等于目标值if not node.left and not node.right:if current_sum == targetSum:result.append(current_path.copy())# 递归遍历左右子树backtrack(node.left, current_path, current_sum)backtrack(node.right, current_path, current_sum)# 回溯：移除当前节点current_path.pop()backtrack(root, [], 0)return result# 辅助函数：根据列表构建二叉树（简化版，仅用于测试）
def build_tree(values):if not values:return Noneroot = TreeNode(values[0])queue = [root]i = 1while queue and i < len(values):node = queue.pop(0)if values[i] is not None:node.left = TreeNode(values[i])queue.append(node.left)i += 1if i < len(values) and values[i] is not None:node.right = TreeNode(values[i])queue.append(node.right)i += 1return root# 测试示例
if __name__ == "__main__":# 构建示例二叉树：[5,4,8,11,null,13,4,7,2,null,null,5,1]values = [5,4,8,11,None,13,4,7,2,None,None,5,1]root = build_tree(values)targetSum = 22result = pathSum(root, targetSum)print("路径总和等于{}的路径：".format(targetSum), result)  # 输出：[[5,4,11,2],[5,8,4,5]]

代码解析：

backtrack函数递归遍历二叉树，参数包括当前节点、当前路径列表、当前路径和。
每次进入节点时，将节点值加入路径并更新路径和；若为叶子节点且路径和等于目标值，则复制当前路径加入结果集。
递归遍历左右子树后，执行回溯操作（弹出当前节点值），确保路径列表正确反映上层节点的路径。
时间复杂度为O(n²)（n为节点数，最坏情况下每个节点都需复制路径，路径长度为O(n)），空间复杂度为O(n)（递归栈深度和路径列表长度）。

题目二：颜色分类（LeetCode 75）

题目分析：

给定一个包含红色、白色和蓝色、共n个元素的数组nums，原地对它们进行排序，使得相同颜色的元素相邻，并按照红色、白色、蓝色顺序排列。我们使用整数0、1和2分别表示红色、白色和蓝色。必须在不使用库内置的排序函数的情况下解决这个问题。例如：输入nums = [2,0,2,1,1,0]，输出[0,0,1,1,2,2]。

解题思路：

三指针法：使用三个指针（left、current、right）分别追踪0的右边界、当前遍历位置、2的左边界。
遍历逻辑：

• 若current指向0，交换left和current的值，left和current同时右移（确保0在左侧）；
• 若current指向1，无需交换，current右移；
• 若current指向2，交换current和right的值，right左移（确保2在右侧），current不动（需重新检查交换后的值）。
  终止条件：当current > right时，所有元素排序完成。

示例代码：

def sortColors(nums):"""Do not return anything, modify nums in-place instead."""left = 0  # 0的右边界（left左侧全为0）current = 0  # 当前遍历位置right = len(nums) - 1  # 2的左边界（right右侧全为2）while current <= right:if nums[current] == 0:# 交换0到左侧nums[left], nums[current] = nums[current], nums[left]left += 1current += 1elif nums[current] == 1:# 1无需交换，直接移动currentcurrent += 1else:  # nums[current] == 2# 交换2到右侧nums[current], nums[right] = nums[right], nums[current]right -= 1# 测试示例
if __name__ == "__main__":nums = [2,0,2,1,1,0]sortColors(nums)print("排序后的颜色数组：", nums)  # 输出：[0,0,1,1,2,2]

代码解析：

三指针分工明确，left确保左侧全为0，right确保右侧全为2，current负责遍历中间的1（或待处理元素）。
通过一次遍历完成排序，所有交换操作均在原数组上进行，无需额外空间。
时间复杂度为O(n)（仅遍历一次数组），空间复杂度为O(1)（只使用三个指针变量），实现了原地排序。

题目三：验证二叉搜索树（LeetCode 98）

题目分析：

给你一个二叉树的根节点 root ，判断其是否是一个有效的二叉搜索树。有效二叉搜索树定义如下：

• 节点的左子树只包含 小于 当前节点的数。
• 节点的右子树只包含 大于 当前节点的数。
• 所有左子树和右子树自身必须也是二叉搜索树。
  例如：输入root = [2,1,3]，输出true；输入root = [5,1,4,null,null,3,6]，输出false（4的左子树包含3，小于5）。

解题思路：

中序遍历：二叉搜索树的中序遍历结果是严格递增的，可通过验证中序遍历序列是否递增来判断。
递归验证：通过递归函数传递当前节点值的合法范围（下界和上界），确保左子树所有节点值小于当前节点值，右子树所有节点值大于当前节点值。
边界处理：使用负无穷和正无穷作为初始上下界，空树视为有效的二叉搜索树。

示例代码：

# 二叉树节点定义
class TreeNode:def __init__(self, val=0, left=None, right=None):self.val = valself.left = leftself.right = rightdef isValidBST(root):def helper(node, lower, upper):# 空树是有效的if not node:return True# 当前节点值必须在(lower, upper)范围内val = node.valif val <= lower or val >= upper:return False# 左子树的上界为当前节点值，右子树的下界为当前节点值return helper(node.left, lower, val) and helper(node.right, val, upper)# 初始范围为(-无穷, +无穷)return helper(root, float('-inf'), float('inf'))# 辅助函数：构建二叉树（同题目一）
def build_tree(values):if not values:return Noneroot = TreeNode(values[0])queue = [root]i = 1while queue and i < len(values):node = queue.pop(0)if values[i] is not None:node.left = TreeNode(values[i])queue.append(node.left)i += 1if i < len(values) and values[i] is not None:node.right = TreeNode(values[i])queue.append(node.right)i += 1return root# 测试示例
if __name__ == "__main__":# 示例1：[2,1,3]root1 = build_tree([2,1,3])print("是否为有效二叉搜索树1：", isValidBST(root1))  # 输出：True# 示例2：[5,1,4,None,None,3,6]root2 = build_tree([5,1,4,None,None,3,6])print("是否为有效二叉搜索树2：", isValidBST(root2))  # 输出：False

代码解析：

helper函数递归验证每个节点是否在合法范围内：左子树的所有节点必须小于当前节点值（上界为当前节点值），右子树的所有节点必须大于当前节点值（下界为当前节点值）。
初始调用时，下界为负无穷，上界为正无穷，确保根节点值合法。
若所有节点都满足范围约束，则返回true，否则返回false。
时间复杂度为O(n)（每个节点访问一次），空间复杂度为O(n)（递归栈深度，最坏情况下为链状树）。

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