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 在 1. bfv_basics.cpp 中，我们展示了如何使用BFV方案执行非常简单的计算。计算是在 plain_modulus 参数的模下执行的，并且 只使用了 BFV 明文多项式的一个系数。这种方法有两个显著的问题：

1. 实际应用通常使用整数或实数算术，而不是模算术；
2. 我们只使用了明文多项式的一个系数。这真的很浪费，因为明文多项式很大，无论如何都会被完整加密。

对于 (1)，人们可能会问为什么不简单地 增加 plain_modulus 参数 直到不发生溢出，并且计算表现得像整数算术一样。问题是增加 plain_modulus 会 增加噪声预算消耗，并且也会 减少初始噪声预算。

 在这些示例中，我们将讨论将数据布局到 明文元素 中的其他方法（编码），这些方法允许更多计算而不发生数据类型溢出，并且可以允许 充分利用整个明文多项式。

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一、batch_encoder (用于 BFV)

1. 概述

 Batch Encoder 的目标是什么？通常，一个同态加密的密文只加密一个明文值。如果我们想对 两个数组 (向量) 逐项相加，就需要为每个元素单独加密成一个密文，然后对每对密文分别进行同态加法，这非常低效。
 Batch Encoder 的作用就是将一个明文向量，比如 $[a_1,a_2,...,a_k]$ 打包编码到一个 单一的明文多项式 中。然后对这个单一多项式进行加密，得到一个 单一的密文。之后所有同态运算都作用在这一个密文上。一般称之为 SIMD 策略，这极大地提高了同态加密的吞吐量和效率。

 设 N 表示 poly_modulus_degree，T 表示 plain_modulus。批处理 允许将 BFV 明文多项式 视为 2×(N/2) 矩阵，每个元素 都是 模 T 的整数。
 在 矩阵视图 中，加密操作对加密矩阵 按元素执行，允许用户在完全可向量化的计算中获得几个数量级的加速。
 因此，除了最简单的计算外，批处理应该是与 BFV 一起使用的首选方法，当正确使用时，将产生优于任何不使用批处理的实现。

2. 数学原理

 核心思想是，如果一个 模多项式 (在 BFV 中即 $x^N+1$) 可以其系数环 (这里是 $Z_t$) 上分解为多个 两两互质的因子，那么原始的、复杂的商环就与这些因子定义的更简单的商环的 直积 (Direct Product) 存在一种被称为 同构 的深刻联系。

1. 中国剩余定理：
    Batch Encoder 的核心是基于 中国剩余定理 的多项式环分解。基本概念为：
   1. BFV 明文文空间是多项式环 $\frac{Z_t[x]}{x^N+1}$。
   2. 其中 $N=poly\_modulus\_degree$，$t=plain\_modulus$。
   3. 当 t 是 满足特定条件的素数 时，这个环可以分解。这个条件就是 $$t\equiv 1(mod2N)$$当满足这个条件时，多项式 $x^N+1$ 可以完全分解为 N 个不同的线性因子。
2. 环的分解：
    当上面的条件满足的时候，我们有：$$\frac{Z_t[x]}{x^N+1}\cong Z_t\times Z_t\times ...\times Z_t(N个副本)$$$\cong$ 是同构的意思，表示两个代数结构是同构的，即它们在结构上是相同的，尽管它们的元素可能不同。
    这意味着：
   • 一个度数小于 N 的多项式 <—> N 个独立的模 t 整数。
   • 多项式运算 <—> 对应位置的元素运算。
   • 实现了 SIMD 计算。
3. 矩阵视图：
    在 SEAL 中，N 个槽被组织为 $2\times (N/2)$ 矩阵：

[ slot_0, slot_1, ..., slot_(N/2-1) ]
[ slot_(N/2), ..., slot_(N-1)      ]

3. 使用方法

1. 第一步当然是设置 加密参数，其中加密方案、多项式模数次数、密文系数模数何止前的思路一样。但是要求将 plain_modulus 设置为一个 与 1 模 2*poly_modulus_degree 同余的素数。这一步 Microsoft SEAL 提供了一个辅助方法来寻找这样的素数。在这个示例中，我们创建一个支持批处理的 20 位素数。

parms.set_plain_modulus(PlainModulus::Batching(poly_modulus_degree, 20));  // 设置支持批处理的明文模数

2. 用设置好的参数生成上下文；
3. 生成 KeyGenerator、Encryptor、Evaluator、Decryptor；
4. 生成 BatchEncoder 的实例，批处理 '槽’的总数 等于 poly_modulus_degree = N，这些槽被组织成 2×(N/2) 矩阵，可以进行加密和计算。每个槽 包含一个 模 plain_modulus 的整数；
5. 先将数据存到 vector<uint64_t> pod_matrix(slot_count, 0ULL) 向量中。然后通过 BatchEncoder类 提供的方法 .encode，将矩阵编码为明文 Plaintext类 的实例中；
6. 解码的过程完全相反，通过 BatchEncoder类 提供的 .decode 方法，将 Plaintext类 明文解码为 vector<uint64_t> 向量。
7. 对明文进行加密和运算的方法同之前一摸一样。

4. 代码示例

    print_example_banner("Example: Encoders / Batch Encoder");EncryptionParameters parms(scheme_type::bfv);  // 创建BFV方案的加密参数对象size_t poly_modulus_degree = 8192;  // 设置多项式模数次数为8192parms.set_poly_modulus_degree(poly_modulus_degree);  // 应用多项式模数次数设置parms.set_coeff_modulus(CoeffModulus::BFVDefault(poly_modulus_degree));  // 设置系数模数为BFV默认值parms.set_plain_modulus(PlainModulus::Batching(poly_modulus_degree, 20));  // 设置支持批处理的明文模数SEALContext context(parms);  // 使用参数创建SEAL上下文对象KeyGenerator keygen(context);  // 创建密钥生成器对象SecretKey secret_key = keygen.secret_key();  // 生成私钥PublicKey public_key;  // 声明公钥对象keygen.create_public_key(public_key);  // 创建公钥RelinKeys relin_keys;  // 声明重线性化密钥对象keygen.create_relin_keys(relin_keys);  // 创建重线性化密钥Encryptor encryptor(context, public_key);  // 创建加密器，使用公钥Evaluator evaluator(context);  // 创建计算器Decryptor decryptor(context, secret_key);  // 创建解密器，使用私钥BatchEncoder batch_encoder(context);  // 创建批处理编码器对象size_t slot_count = batch_encoder.slot_count();  // 获取槽的总数size_t row_size = slot_count / 2;  // 计算每行的大小cout << "明文矩阵行大小: " << row_size << endl;vector<uint64_t> pod_matrix(slot_count, 0ULL);  // 创建大小为slot_count的向量，初始化为0pod_matrix[0] = 0ULL;  // 设置第一行第一个元素pod_matrix[1] = 1ULL;  // 设置第一行第二个元素pod_matrix[2] = 2ULL;  // 设置第一行第三个元素pod_matrix[3] = 3ULL;  // 设置第一行第四个元素pod_matrix[row_size] = 4ULL;  // 设置第二行第一个元素pod_matrix[row_size + 1] = 5ULL;  // 设置第二行第二个元素pod_matrix[row_size + 2] = 6ULL;  // 设置第二行第三个元素pod_matrix[row_size + 3] = 7ULL;  // 设置第二行第四个元素Plaintext plain_matrix;  // 声明明文对象batch_encoder.encode(pod_matrix, plain_matrix);  // 将矩阵编码为明文vector<uint64_t> pod_result;  // 声明结果向量batch_encoder.decode(plain_matrix, pod_result);  // 解码明文到向量print_matrix(pod_result, row_size);  // 打印结果矩阵Ciphertext encrypted_matrix;  // 声明密文对象encryptor.encrypt(plain_matrix, encrypted_matrix);  // 加密明文/*对密文的操作会导致在所有8192个槽（矩阵元素）中同时执行同态操作。为了说明这一点，我们构造另一个明文矩阵[ 1,  2,  1,  2,  1,  2, ..., 2 ][ 1,  2,  1,  2,  1,  2, ..., 2 ]并将其编码为明文。*/vector<uint64_t> pod_matrix2;  // 声明第二个矩阵向量for (size_t i = 0; i < slot_count; i++)  // 循环填充向量pod_matrix2.push_back((i & size_t(0x1)) + 1);  // 使用位运算生成1,2交替的模式Plaintext plain_matrix2;  // 声明第二个明文对象batch_encoder.encode(pod_matrix2, plain_matrix2);  // 编码第二个矩阵print_matrix(pod_matrix2, row_size);  // 第二个输入明文矩阵evaluator.add_plain_inplace(encrypted_matrix, plain_matrix2);  // 将密文与明文相加（就地操作）evaluator.square_inplace(encrypted_matrix);  // 对密文进行平方（就地操作）evaluator.relinearize_inplace(encrypted_matrix, relin_keys);  // 重线性化以减少密文大小/*我们还剩多少噪声预算？*/cout << "    + 结果中的噪声预算: " << decryptor.invariant_noise_budget(encrypted_matrix) << " 位" << endl;/*我们解密并分解明文以恢复矩阵形式的结果。*/Plaintext plain_result;  // 声明结果明文对象print_line(__LINE__);cout << "解密并解码结果。" << endl;decryptor.decrypt(encrypted_matrix, plain_result);  // 解密密文batch_encoder.decode(plain_result, pod_result);  // 解码明文到向量cout << "    + 结果明文矩阵 ...... 正确。" << endl;print_matrix(pod_result, row_size);

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二、ckks_encoder (用于 CKKS)

暂时掠过