利用R包mice实现的链式方程多重插补方法来插补缺失的数据。

所有多重插补方法都遵循三个步骤

插补——与单次插补类似，对缺失值进行插补。但是，插补值会从分布中提取m次，而不是仅提取一次。此步骤结束时，应该有m 个完整的数据集。
分析——对m个数据集进行逐一分析。此步骤结束时，应该有m个分析结果。
池化——通过计算关注变量的平均值、方差和置信区间，或组合各个独立模型的模拟结果，将m个结果合并为一个结果。

为什么要多重插补？

单次插补直接用某种方法填补缺失值，得到一个完整数据集，但忽略了插补值本身存在的不确定性，会低估标准误，导致统计推断过于乐观。

多重插补通过多次（比如5次、10次）插补，生成多个完整数据集，反映了缺失值可能的多种合理取值，从而考虑了插补的不确定性。

链式方程多重插补（MICE）怎么做？

先对所有变量的缺失值初始化（比如用均值或随机值填充），得到一个初步完整数据集。

逐个变量进行迭代插补，比如第1个变量的缺失值用其它变量的当前完整值建立回归模型预测（如线性回归、逻辑回归、PMM等），插补预测值（加上随机扰动）。

依次对第2个、第3个…变量做类似操作，每一轮完成一遍所有变量的插补。

这个过程迭代多次（比如20次），模型逐渐稳定。

每一次迭代的最终结果就是一个完整数据集，重复m次（默认5次）得到多个完整数据集。

随机性的来源在哪里？

每次变量插补时，不是简单用回归预测值，而是用带随机误差的预测值，比如PMM（预测均值匹配）会随机从训练样本中选取一个类似的真实值来填补。

这种“随机扰动”保证了插补值的多样性，使得多组插补结果反映了缺失值潜在的真实变异。

同时，在初始化、模型拟合、抽样步骤中都会引入随机性，保证不同插补数据集的差异。

什么是 PMM（预测均值匹配）？

在 MICE 多重插补中，PMM 是一种常用的插补方法，它不直接使用回归预测值，而是找一个“相似的人”来“借值”填补缺失。
例子
假设你现在有个变量是认知分数（比如“记忆得分”），有些人没填。
你要为“小明”插补一个记忆得分，他的其它信息是：
年龄：40
教育年限：16年
BMI：23
其他认知指标：都正常

你用这些变量训练了一个回归模型来预测“记忆得分”。
回归模型告诉你：“小明的记忆得分大概是 78.3”。
但你不会直接填 78.3。
PMM 怎么做呢？
找到所有“非缺失者”（有真实记忆得分的人），用同一个模型去预测他们的得分。
得到每个人的“预测得分”和他们的真实得分（比如：预测=78.0，真实=80）。
从中选出预测得分最接近 78.3 的几个“邻居”（通常是5个）。
从这几个邻居的“真实得分”中随机抽一个来给小明用，比如抽到的是“80”，那小明就插补为 80。

所以随机来自：

1. “邻居”中随机选一个真实值填进去；
2. 整个插补过程本身也有随机扰动（不同种子、初始化方式）；
   插补每个数据集时都独立进行，因此你得到了5个（默认）不完全一样的版本。

分别对5个数据集进行了检验，并应用Rubin规则汇集了5个数据集中的参数估计值。

参考：
https://en.wikipedia.org/wiki/Imputation_(statistics)