位运算优化实战：数值构造问题详解

今天我们将深入分析一个有趣的位运算优化问题，这个问题展示了如何通过巧妙的预处理和贪心算法来高效解决数值构造问题。

问题背景与定义

给定一个初始值x（0 ≤ x ≤ m）和一系列位运算操作（AND/OR/XOR），我们需要找到一个x，使得经过这些运算后的结果最大。

具体问题描述：

输入：
- 整数n（操作数量，1 ≤ n ≤ 10^5）
- 整数m（上限值，0 ≤ m ≤ 10^9）
- 接下来n行：每行一个操作符（"AND"、"OR"或"XOR"）和一个操作数v（0 ≤ v ≤ 10^9）
输出：
- 经过所有操作后能得到的最大结果值

核心解题思路

预处理极端情况

极端值分析原理：

位运算的一个重要特性是其结果只取决于当前位的状态。对于32位整数的每一位（从第0位到第31位），我们只需要考虑初始为0或1两种情况即可确定最终结果。

bitset存储策略：

使用两个32位的bitset：

z：记录初始全0经过所有操作后的结果
o：记录初始全1经过所有操作后的结果

操作处理逻辑：

每个操作同时应用于两种极端情况：

if(op == "AND") {z &= v;  // 初始0 AND vo &= v;  // 初始1 AND v
} 
else if(op == "OR") {z |= v;  // 初始0 OR vo |= v;  // 初始1 OR v
} 
else {  // XORz ^= v;  // 初始0 XOR vo ^= v;  // 初始1 XOR v
}

贪心构造算法

高位优先原则：

从最高位（第30位，因为第31位是符号位）开始向低位处理，优先设置高位为1能带来更大的数值增益。

构造决策条件：

对于每一位i：

如果z[i]为1：无论x的该位是0还是1，结果都为1，直接设置
如果o[i]为1且不超过m：需要x的该位为1才能得到1
其他情况：该位保持0

边界检查机制：

使用sum变量追踪当前已设置的位值总和，确保sum + (1<<i) ≤ m才设置该位。

代码深度解析

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int n, m, v;
string op;
bitset<32> z, o;  // z记录全0经过操作后的结果，o记录全1经过操作后的结果int main() {cin >> n >> m;z.reset();  // 初始化为全0（二进制000...0）o.set();    // 初始化为全1（二进制111...1）// 预处理阶段：处理n个操作while(n--) {cin >> op >> v;if(op == "AND") z &= v, o &= v;else if(op == "OR") z |= v, o |= v;else z ^= v, o ^= v;  // XOR操作}// 构造阶段：从高位到低位贪心构造int ans = 0, sum = 0;for(int i = 30; i >= 0; i--) {  // 从高位到低位处理if(z[i]) {ans += (1 << i);  // 无条件设置该位}else if(o[i] && sum + (1 << i) <= m) {  // 有条件设置该位ans += (1 << i);sum += (1 << i);  // 更新已使用数值}// 否则该位保持0}cout << ans << endl;return 0;
}