中学数集相等概念凸显无穷集不可～其真子集——初数一直将不是N的真子集误为⊂N

黄小宁

[摘要]证明了初等数学应有几何起码常识：当且仅当平移的距离=0时才能使平移前、后的点集（元点不少于两个）重合。从而表明初中的直线公理使中学数学一直将无穷多各异数轴误为同一轴。医学若将前所未知的“新冠”病毒误为已熟知的流感病毒，后果...；初等数学将前所未知的N外标准自然数误为已熟知的N内数从而将根本不是N的真子集误为⊂N就使康脱推出错上加错的更重大错误：N可～其真子集。指出分形几何显示存在有首、末项的无穷序列。

[关键词]“更无理”的R外标准实数；N最大元；初数一直将假N（R）误为N（R）；推翻直线公理和百年集论；批判性思维；从小到大、一个不漏的每一（一切）元

教学，首先要教正确的学习目的与方法，这是“渔”和纲。不迷信盲从老师和书本，敢于独立思考是最重要的学习方法。我们的教育是培养答题器、复读机还是培养有发现问题解决问题能力的人才？这是事关国家前途命运的重大问题。钱学森所说的“杰出人才”是指那些不迷信盲从前人理论敢于挑战“绝对不可能”引发科学革命的人才。杰出人才读书的目的不是为了通过考试而是为了创造：创造出前所未有的新知识。“对一切负数x都有数y=x+1>x”明确表示有数y>一切负数x，同样“对数集A一切元x都有y=x+1>x”明确表示有数y>A一切元x。问题是不少人为了分数而扼杀自己的正常思维能力。应试教育使人读书的目的是为了通过考试从而不敢有批判性思维而“一切以标准答案为准”。一切以...为准的学习方法使人高分低能。

百年集论在数学中的地位相当于百年相对论在物理学中的地位。科教界将百年集论誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。这说明推翻数学引以为豪的百年集论是挑战绝对不可能。

一、数集相等的定义凸显中学数学一直将无穷多各异数轴误为同一轴

“自然数集”N各元n的对应数n+1的全体H是N的一部分吗？答题器立刻回答：是。自有函数概念几百年来数学一直有中学函数“常识”：H⊂N，其实这是将不是N的真子集误为⊂N的错误——百年病态集论的症结。

设本文所说集合是元不少于两个的集，集A=｛x｝表A各元均由x代表，相应变量x的变域是A。其余类推。同一字母x可代表各不同的数，同样，为简便起见本文中同一字母（例A）在此场合代表某集，在彼场合可代表另一集。其余类推。知道什么是“一一对应”就能知道什么是一一对应相等。

数集相等的定义：若数集A各元x与B各元y可一一对应相等：x↔y=x（恒等对应、变换），则称A=B。若A=B则A必可恒等变换地变为B=A。

A=｛x=j｝=｛1，2，3｝各元x的对应y=-x+4的全体B=｛y｝=｛3，2，1｝=A，B各元均由y=-x+4代表。A=｛1，2，3｝各元与B=｛3，2，1｝各元一一对应相等：x=j↔y=-x+4=j；注：箭头两边的j是同一j但两边的x不是同一x，此x=j，彼x=4-j。这说明A可恒等变换地变为B=A。

复平面z各点z的对应点z+1的全体是z+1平面。z面平移变换为z+1面就使x轴⊂z面沿本身平移变换为u=x+1轴。R可几何化为R轴，R轴可沿本身平移变为R′轴，R′轴可沿本身平移变为R″轴，...。

x轴即R轴各点x可沿x轴正向保距平移变为点y=x+1形成元为点y的y=x+1轴≌x轴即x轴沿本身平移变为y=x+1轴附着在x轴上。初中的直线公理使自有函数概念几百年来数学一直有流行几百年使世人深信不疑的中学函数“常识”：x轴=y轴。中学数集相等的定义表明这是将似是而非的假R轴误为R轴的重大错误。注：y轴可沿本身平移变为y+1轴，y+1轴可沿本身平移变为（y+1）+1轴，...。

R一切整数x组成A，A各元x的保距对应数x+0.5的全体记为B。A各元x与B各元x+0.5一一对应：x↔x+0.5，显然A各元x只能与各对应数x+0.5中的x一一对应相等而与各x+0.5本身不能一一对应相等从而使B≠A。同样上述x轴各元x与y=x+1轴各元y=x+1只能一一对应而不能一一对应相等说明y轴≠x轴；x轴作恒等变换x↔y=x不能变为y=x+1轴（只能变为y=x轴），据数集相等的定义y=x+1轴≠x轴。

x可是点的坐标。数集可几何化为一维空间中的点集。在一维空间中的点集的各种平移变换：x↔x′=x+非负常数c（箭头两边的x是同一x）中显然当且仅当平移的距离c=0时才能是恒等变换，即当且仅当c=0时各x与各对应x+c才能一一对应相等从而使平移前后的点集是同一集。

h定理1：初等数学应有几何起码常识：当且仅当平移的距离=0时才能使平移前、后的点集（元点不少于两个）重合。

证：点集A各元点运动后还回到原位置的变换称为A的恒等变换。若A=B则A必可恒等变换地变为B=A，而在空间点集A的各种平移变换中当且仅当平移的距离=0时才能是A的恒等变换。所以若A平移非0距离变为B≌A则作平移运动的A不可恒等变换地变为B——说明A≠B。所以定理成立。证毕。

h定理1说明任何直线a沿本身平移非0距离变为的直线b≠a；同样…。然而直线公理使中学数学一直将无穷多各异直线误为同一线：a。

二、初数一直将根本不是无穷集的真子集误为其真子集——百年病态集论的症结

中学生就应熟悉非常简单易懂的保距变换概念。保距变换是刚体运动，只有刚体变换才能使变换前后的点集全等，别的任何变换都不能使变换前后的点集全等。

重合的两个点之间的距离是0。两个点由不重合变为重合的变换是不保距变换。元不少于两个的任何空间点集W的保距变换是刚体变换（运动）。W作刚体（保距）运动的特点：在作保距运动（运动的距离可=0）的各点中：没有点能与别的点重合。在作运动（运动的距离可=0）的各点中：若有点与别的点重合则说明这是不保距运动即不是点集的刚体运动。本文证明W变为V⊂W不是W的刚体（保距）变换。

点集A=｛x｝=｛0,1｝（各数x是点的坐标）中：点0移位变为点1的同时1变为1（即点1变回自己）就使A 失元变为｛1，1｝，A 各元x都发生变化（点1原地不动是变回自己）后就使A 变为｛1｝了。可见 A失去元0的原因必可是：点0离开原位变为点1的同时原来的点1变回自己（点0移位与点1重合使A失去一元）。这说明点集W失去部分元点p=h变为非空V⊂W的原因必可是：W有部分元点p=h移动与别的元点∈W重合的同时其余元点p≠h都不动使W失去部分元点，而此变换一定是不保距变换——说明有

h定理2：保距变换（即刚体运动）不能使点集W变为其真子集V⊂W（例“无界”的x轴沿本身平移非0距离不能成为x轴的一部分）。

点集N=｛x=n｝（x=n是点的坐标）⊂x轴也可沿x轴方向平移。自识自然数5000多年来数学一直未能证明存在与1相隔无穷多个自然数的标准无穷大自然数及其倒数，从而否定存在这类数，正如西医否定人体存在经络系统那样。点集N=｛x=n｝各点x=n的保距对应点y=x+1=n+1（n+1是n的后继）的全体H={y=n+1}≌N。据h定理2H≌N不是N的任何真子集——说明H={y}不能被N包含而必至少有一元y=y0（0是下标）=n0+1>n0∈N在N外，式中n0=Ω是N的最大元（而与1相隔无穷多个自然数∈N），因其后继n0+1在N外。初数几百年“常识”：H～N是N的真子集，使康脱推出错上加错的更重大错误：N可～其真子集。N有最大元说明N的任何真子集的元必少于N的元。显然Ω和Ω±1等等均是标准分析一直用而不知的N内、外标准无穷大自然数，它们的倒数是标准分析一直用而不知的标准无穷小正数。自有自然数概念后的5000年里一直无人能识“更无理”的自然数Ω使初数一直将无穷多各异假N误为N。

“一一对应”中的“一”的含义之一：一个不漏。有傻瓜相机也有傻瓜常识:说N（R）内从小到大一个不漏的每一（一切）数x均有对应标准数y=x+1比x大,显然就是说有“更无理”标准数y=t（设此t表示数学前所未知的“特异”数）大于N（R）(每一)一切数x。关键是连文盲都知“一个不漏”的确切含义。

中学的不等式起码常识：y=x+1>x∈N（R）中的x可取何数，y就可>何数，若x可一个不漏地遍取N（R）一切数x则y必可>N（R）一切数x而取N（R）外数，即y=x+1的变域中必有元y=x+1=t>N（R）一切数x从而推翻“N（R）含一切标准自然数（实数）”这一初数“常识”。显然>N（R）一切数x的t是“更无理”的标准无穷大正数，1/t是标准无穷小正数。

可见“没标准无穷大自然数”这一中学“常识”是5000年不倒的极顽固错误堡垒，但在傻瓜常识和不等式起码常识面前，此堡垒不堪一击。

射线A=R+={x≥0}⊂R轴沿其正向平移距离1变成元为点y=x+1（∈y=x+1轴）≥1的射线B=｛y=x+1≥1｝（⊂y=x+1轴）≌R+，据h定理2B≌R+不是R+的任何真子集——说明B=｛y=x+1≥1｝不能被R+包含而必有元y=x+1=t≥1“更无理”地突破了R+的“框框”而在R+外——推翻“R含一切标准实数”这一初数“常识”。据语文常识“对R+一切（任何）元x都有y=x+1>x（R+一切元都由此x代表）”明确表示有数y=t>R+一切（任何）元x（发现t就能从数量关系的高度上来阐明上述y=x+1轴≠x轴的原因）。初数几百年“B⊂R+”使康脱推出错上加错的更重大错误：R+可～其真子集，且使初数一直误以为射线R+可≌其真子集。

R轴失元变为射线R+⊂R轴不是刚体运动使R轴不≌射线R+，据≌图概念R轴不≌射线R+说明R+与R轴形状相同大小不同即长度不同。

设集｛（x，y）｝是元为数对的数对集。其余类推。R各元x变为有序数对（x，y=2x）就得元为数对的数对集。由一对对数组成的数集才能成为数对集。因N=｛0，1，2，…，x，x+1，…｝各偶数x=0，2，…与各奇数x+1可一一配对，所以N各偶数x变为数对（x，x+1）得到的数对集E=｛（x，x+1）｝由N一切数x，x+1组成。挖去E= ｛（0，1），（2，3），…，（x，x+1），…｝中的0使E变为的F={（，1），（2，3），（4，5）,...}显然不是数对集而由无穷多对又加一个数组成，其中只有1是“单身”数，其它数都有“配偶”。设F中奇数只能与F中偶数配对就使F中单身的奇数1变为非单身的同时必拆散一数对而生一新单身奇数，例“拆东补西”地让数对（2，3）中偶数2改与1配对，奇数3就成新单身奇数。“一单身奇数变为非单身的同时必生一新单身奇数”说明F中各奇、偶数之间无论怎样重新配对都不能使F中单身奇数有任何减少——说明F中各奇、偶数之间任意重新配对后都必保持有一单身奇数使F不能变为数对集。无穷数列F={（，1），（2，3），（4，5）,...}中各偶数p=2，4，6，…都有对应奇数p-1∈N。以上的“都必保持有一单身奇数”说明F中各奇数不动但各偶数2,4,...都移到其左邻括号内改与括号内奇数配对成新的数对（规定有序数对中的偶数在左边）得D={（2，1），（4，3）,...，（，Ω）}必还是由无穷多对又加一个数组成的集而必有一单身奇数Ω在一切新数对的后面（否则就违反逻辑学起码常识了）。因在F变为D时F中各奇数都不动，所以奇数Ω是数列F的末项从而是F的最大数。因F由N一切正数组成所以F的最大数Ω是N的最大元。肉眼不能看到D的单身数≠其没单身数Ω。“肉眼”数学因目光太短浅从而一直被“实无穷”中的假象迷惑。人有逻辑推理能力从而不应被“实无穷”中的假象迷惑。

h定理3：若G～无穷数集W=｛x=j｝≠G则G≠W的任何非空真子集V⊂W（注！W≠G）。

证：W=｛x=j｝各元是j=x，若G～W各元也是j则显然G=W。W⊃V各元x=j与G～W各元y=f（x）一一对应：x=j↔y=f（x）（若y=f（x）=j则是一一对应相等从而有W=G）。V=｛x｝⊂W=｛x｝。V能=G～W吗？若V⊂W各元x=j与G各元y=f（x）一一对应相等：x=j↔f（x）=j（箭头两边的j是同一j但两边的x可不是同一x）则意味G各元是f（x）=j使框框内的f（x）=j而有G=｛j｝=W=｛x=j｝，然而事实上G≠W；所以V各元与G各元是不能一一对应相等的——说明G≠V⊂W。证毕。

三、N（R）中暗含群众不知的“地下”数

从代数角度来说，代数式中至少能代表两个数的字母就是变量（变数），不能代表数的字母不是变量。变量x所取的各数均由x代表。无穷小x→0中的x代表数。取正数∈R的无穷小变量1/n（n→∞）变至后来所取各数1/n均<“任意给定”的正数ε（任何有穷正数都可由此ε代表）说明R中暗含有正数1/n<ε。无穷大变量n→∞中的n代表数，在N内取数的n→∞变至后来所取各数n均>“任意给定”的正数M说明N有元n>M。100和233等等都不能>M，任何有穷自然数都不能>M，显然>“任给定”正数M的n是无穷大自然数。

有Ω个9的x=0.999...显然<1，1与x的距离1-x=1-0.999...=0.000...1（<“任意给定”的正数ε）是有Ω个小数位的无穷小正数。

四、分形几何显示：有首、末项的无穷序列

高中有分形几何中的“柯赫雪花”。科普大师约翰·葛瑞本一眼看出：“...就会得到由无限小的V形棱角所构成的柯克曲线”（约翰·葛瑞本著，张宪润译《深奥的简洁》91页，湖南科技出版社，2008）。一边长为1的等边△经过n（>“任意给定”的正数M）次变换就变成“n阶柯赫雪花闭曲线”。如上图所示，长为1的直线段D（△的一条边）有起点即左端点d和终点即右端点c。第一次变换将D变成由41（1是上标）=4条直线段组成的一阶折线L，各条直线段称为L的边，L有4条边；第二次变换将一阶L变成由42条线段组成的二阶折线L，第n（>“任意给定”的正数M）次变换就将D变成由4n条无穷短的直线段(短至其长度可＜“任给定”正数ε而又>0)组成的n（>M）阶折线L。在放大足够大倍的思维显微镜下可知L是由无穷多无穷小的V形棱角连接成的锯齿状图形。L与D都有起点d和终点c说明n（>M）阶折线L所有边b1（1是下标）、b2、b3、...可排为首项为直线段b1（一端点是L的起点d）的无穷序列{b1，b2，b3，...}，而显然其有末项，因L有起点和终点。

五、结束语

以上说明数学家们在打基础的中学阶段就受到重大误导教育而又一直被蒙在鼓里。破除迷信、解放思想、实事求是才能创造5千载难逢的神话般世界奇迹使数学发生革命飞跃。“发现虚数是划时代的贡献”，发现“更无理”数扩充数域是数学发展史上的重大转折与飞跃。备注：本文是原文的增补稿，已对原文采取法律公证等法律保护措施。

参考文献

[1]黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。

[2]黄小宁。中学数学重大错误:将N外自然数误为N内数[J]. 当代教育实践与教学研究（电子刊）,2024(6):212-216.

[3]黄小宁。证明数偶集{（1,2）（3,4）…（2n-1,2n）…}有最大数元——反复论证集有奇、偶型之分纠正课本重大错误[J]，科技视界，2014（24）：362。