Python 数学公式与函数大全

Python 提供了丰富的数学计算支持，包括内置函数、标准库（math、cmath、numpy）和第三方库（sympy、scipy）。以下是常用数学公式和函数的分类整理：

1. 基本数学运算

1.1 算术运算

运算符/函数	描述	示例
`+`, `-`, `*`, `/`	加减乘除	`3 + 2 → 5`
`//`	整除	`7 // 2 → 3`
`%`	取模（余数）	`7 % 2 → 1`
`**`	幂运算	`2 ** 3 → 8`
`abs(x)`	绝对值	`abs(-5) → 5`
`pow(x, y)`	幂运算（等价于 `x ** y`）	`pow(2, 3) → 8`
`round(x, n)`	四舍五入（`n` 位小数）	`round(3.14159, 2) → 3.14`

1.2 分数与小数

from fractions import Fraction
from decimal import Decimal# 分数运算
a = Fraction(1, 3)  # 1/3
b = Fraction(1, 2)  # 1/2
print(a + b)  # 输出: 5/6# 高精度小数
c = Decimal('0.1') + Decimal('0.2')
print(c)  # 输出: 0.3（避免浮点误差）

2. 数学函数库（`math` 和 `cmath`）

2.1 基本函数

函数	描述	示例
`math.sqrt(x)`	平方根	`math.sqrt(4) → 2.0`
`math.exp(x)`	自然指数（exe**x）	`math.exp(1) → 2.718...`
`math.log(x, base)`	对数（默认自然对数）	`math.log(8, 2) → 3.0`
`math.log10(x)`	以 10 为底的对数	`math.log10(100) → 2.0`

2.2 三角函数

函数	描述	示例
`math.sin(x)`	正弦（弧度制）	`math.sin(math.pi/2) → 1.0`
`math.cos(x)`	余弦	`math.cos(0) → 1.0`
`math.tan(x)`	正切	`math.tan(math.pi/4) → 1.0`
`math.degrees(x)`	弧度转角度	`math.degrees(math.pi) → 180.0`
`math.radians(x)`	角度转弧度	`math.radians(180) → 3.14159...`

2.3 复数运算（`cmath`）

import cmathz = 1 + 2j
print(cmath.sqrt(z))  # 输出: (1.272...+0.786...j)
print(cmath.phase(z))  # 辐角（弧度）

3. 高级数学库（`numpy` 和 `scipy`）

3.1 线性代数（`numpy`）

import numpy as np# 矩阵运算
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
print(A @ B)  # 矩阵乘法# 特征值与特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

3.2 科学计算（`scipy`）

from scipy.integrate import quad
from scipy.optimize import minimize# 数值积分
result, error = quad(lambda x: x**2, 0, 1)  # ∫x² dx (0→1)
print(result)  # 输出: 0.333...# 优化问题
res = minimize(lambda x: (x[0]-1)**2 + (x[1]-2)**2, x0=[0, 0])
print(res.x)  # 最优解: [1.0, 2.0]

4. 符号计算（`sympy`）

用于解析数学公式（如求导、积分、解方程）：

from sympy import symbols, diff, integrate, solvex, y = symbols('x y')
expr = x**2 + 2*x + 1# 求导
print(diff(expr, x))  # 输出: 2*x + 2# 积分
print(integrate(expr, x))  # 输出: x**3/3 + x**2 + x# 解方程
solution = solve(x**2 - 4, x)
print(solution)  # 输出: [-2, 2]

5. 统计与概率

5.1 随机数（`random`）

import randomprint(random.random())  # [0, 1) 随机浮点数
print(random.randint(1, 10))  # 1~10 随机整数

5.2 统计计算（`statistics`）

from statistics import mean, median, stdevdata = [1, 2, 3, 4, 5]
print(mean(data))  # 平均值: 3.0
print(stdev(data))  # 标准差: 1.581...

6. 特殊函数

函数	描述	示例
`math.gamma(x)`	Gamma 函数	`math.gamma(5) → 24.0`
`math.erf(x)`	误差函数	`math.erf(1) → 0.842...`
`scipy.special.besselj(n, x)`	贝塞尔函数	需安装 `scipy`

总结

需求	推荐库	示例
基本运算	内置函数	`abs(-5)`
三角函数/对数	`math`	`math.sin(math.pi)`
复数运算	`cmath`	`cmath.sqrt(-1)`
矩阵运算	`numpy`	`np.linalg.inv(A)`
符号计算	`sympy`	`solve(x**2 - 1, x)`
科学计算	`scipy`	`scipy.integrate.quad`