随机数生成的历史背景

Middle-Square 方法（中位平方法）：

  • 已知最早的随机算法之一
  • 或由修道士 Brother Edvin 在 1245 年发明
  • 由 John von Neumann 在 1949 年重新发现
  • 缺点明显，但执行速度快

Monte Carlo 方法：

  • 起初是机密代码名
  • 由 Stanislaw Ulam 和 John von Neumann 在 1946 年为曼哈顿计划开发
  • 在 ENIAC 上实现
  • 通过大量模拟生成随机样本，再用统计方法分析其行为
  • 直到今天仍广泛用于复杂系统模拟

随机数的现代用途

应用示例
模拟蒙特卡洛方法、物理/金融模拟等
算法遗传算法、随机算法、Zobrist 哈希
排列洗牌、随机抽签、比赛排位、选举
选择游戏抽奖、学生点名、艺术创作、快速排序 pivot
抽样医药实验、调查问卷、审计、生产质检
加密需要额外强度，不适用 <random>

注意：密码学需求远高于 <random> 能提供的强度，需使用操作系统安全 API 或专用库（如 OpenSSL、libsodium 等）

识别“随机”本身就是难题

“假设神谕者给了你十个连续的 0，你会觉得这是随机的吗？”

  • 这是一个引发思考的问题：十个连续的零看起来像是非随机的，但事实上，在随机数序列中，这样的情况完全可能出现。
  • Pete Becker 的观点是：十个数字太少了，无法判断一个随机数生成器的质量。
  • 同样，Scott Adams（Dilbert漫画作者） 用讽刺幽默的方式表达了类似的观点 —— 我们人类对“看起来随机”的直觉，往往靠不住。

人类直觉在“随机性”问题上常常失灵

P. Diaconis 的研究：硬币落地后落在原来同一面朝上的概率其实略大于 50%（约 51%）。

  • 表明真实世界中的“随机”也有物理偏差。
  • 比如，头朝上的硬币更容易再次朝上朝上——这打破了我们对抛硬币“完美对半概率”的直觉认知。

Joe Peach 的故事：一个人在赌桌上用硬币决定是否要要牌，结果硬币立在了边上 —— 一种极小概率但确实可能发生的“随机事件”。

实现真正的随机行为非常困难

  • Chris Wetzel 指出：统计意义上的“随机”意味着不可预测与无法发现模式。
  • Jeff Atwood 和 Mads Haahr 都提到：计算机是“决定性”机器，本质上无法直接生成真正的随机数。
  • 随机数相关的教材和论文中，充斥着最终被证明有缺陷或完全错误的算法，说明这确实是一个“看起来简单，实际上复杂”的问题领域。

培训严重不足

  • 编程教育很少系统讲授随机性、概率分布、随机变量等知识。
  • 一个看似简单的例子：
    如果 f() 是均匀分布的，那么 2 * f() 也是均匀分布，
    但 f() + f() 却变成了接近正态分布（高斯分布） —— 并非均匀。

    这意味着我们即使对随机数做了很小的变换，也可能改变其分布性质！

挑战性问题（由 von Neumann 提出）：

给定一个有偏的硬币（概率未知，0 < p < 1），
如何用它生成公平（等概率）的结果？
提示：Wikipedia 上“公平硬币”条目有解法（可查找 von Neumann extractor）
→ 但作者建议你先自己思考！

建议：务必极其小心！（

  • Stephen K. Park 和 Keith W. Miller：大多数随机数生成器其实都存在非随机行为，有些甚至“糟糕透顶”。
  • Brad Lucier：历史上确实有不少“非常糟糕的” RNG 算法被发表在权威期刊，并被广泛采用。
  • detly 博客名言：对随机数做任意运算，并不意味着输出依然是随机的！

最后 —— 一点讽刺幽默

“你得到了你要求的，但不是你想要的。”

  • 很多程序员写随机代码的时候“语法正确”，但输出的结果和预期完全不符。
  • 在 RNG 上更容易出这种“技术上没错、但实际上错了”的情况。

用户分类：

  1. 初级用户：
    • 一个默认引擎类型（std::default_random_engine）
    • 两个通用的均匀分布模板（整数、实数）
  2. 中高级用户：
    • 9 个预设引擎类型（如 Mersenne Twister）
    • 18 个可配置的分布类型（如正态、泊松等）
    • 一个系统随机源类（std::random_device）
    • 一个辅助种子类（std::seed_seq）
  3. 专家用户：
    • 6 个可配置引擎模板（如线性同余、混合引擎等）
    • 一个自定义分布模板工具
      说明：<random> 设计为支持从简单用途到复杂科研级别的随机数生成。

C++ 中的术语（Slide 18）

术语混乱的历史：

传统术语“随机数生成器”太模糊了！

在 <random> 中，我们区分两个核心组件：

  1. Engine（引擎）：
    • 生成原始、均匀、伪随机的比特序列。
    • 理想上是 不可预测 的（虽然计算机做不到真正随机）。
    • 如 std::mt19937、std::default_random_engine 等。
  2. Distribution（分布）：
    • 从 engine 的比特流中抽样，转换为特定分布的数值。
    • 如：
      • std::uniform_int_distribution
      • std::normal_distribution
      • std::poisson_distribution
      • std::chi_squared_distribution
      • std::weibull_distribution
        结论：引擎负责“比特”，分布负责“形状”。

引擎类型和用法

  • 引擎对象 e 在每次调用 e() 时返回一串伪随机的比特（长度为 n），以 E::result_type 编码的整数形式返回。
  • 比如：
    • std::mt19937::min() = 0
    • std::mt19937::max() = 2³² - 1
  • 每次调用返回的数是可预测的（伪随机），但难以预测（设计目标）。
  • 一般不需要直接使用返回的比特串，而是通过分布对象来使用引擎。

分布类型和用法

  • 分布对象 d 通过调用 d(e) 获取一个符合分布的随机值。
  • 示例 1：掷骰子函数
#include <random>
int roll_a_fair_die() {static std::default_random_engine e{};static std::uniform_int_distribution<int> d{1, 6};return d(e); // 返回 1 到 6 的伪随机整数
}
  • 示例 2：生成长度为 N 的数组，填入掷骰子结果
constexpr std::size_t N = 1000;
int a[N];
std::generate(a, a + N, roll_a_fair_die); // 用骰子函数填数组

注意事项：

  • 使用 static 是为了避免每次调用重新构建引擎，影响性能与随机性。
  • 可将引擎设为全局、共享，便于多个模块使用同一随机序列。

小结这一部分的要点：

内容要点
rand()不可移植，质量差，应避免使用
<random>可扩展、高质量、现代化设计
Engine生成伪随机比特流
Distribution将比特流映射为具有特定统计特性的值
示例使用引擎 + 分布组合获得掷骰子的整数

对C++ <random> 头文件中随机数引擎和分布的深入讲解，重点涵盖了以下几个方面：

1. random_device 作为 URBG（Uniform Random Bit Generator）

  • random_device 设计用来访问物理或环境随机源，比如 /dev/random、CPU 的 RDRAND 指令，或者大气噪声等。
  • 它的构造函数带一个实现定义的字符串，用来指定设备。
  • 它有 entropy() 成员函数，用来估计该设备产生的随机性的熵值（信息量）。
  • 这保证了你可以用它作为真正随机（或接近真实随机）的随机数生成器。

2. 提供的 20 种分布

  • 包含五类：
    • 均匀分布：uniform_int_distribution, uniform_real_distribution
    • 伯努利及相关分布：bernoulli_distribution, binomial_distribution, geometric_distribution, negative_binomial_distribution
    • 泊松及相关分布：poisson_distribution, exponential_distribution, gamma_distribution, weibull_distribution, extreme_value_distribution
    • 正态及相关分布：normal_distribution, lognormal_distribution, chi_squared_distribution, cauchy_distribution, fisher_f_distribution, student_t_distribution
    • 采样分布：discrete_distribution, piecewise_constant_distribution, piecewise_linear_distribution
  • 设计理由是这些分布是统计、工程和科学应用中最常见、最重要的。

3. 分布与引擎的互操作性

  • 任何实现了 URBG 接口的引擎都可以和任意分布搭配使用。
  • 这保证了扩展性，用户可以自定义新的引擎和分布，且和标准库无缝集成。
  • 例如，PCG、Random123 是第三方扩展引擎，GCC 自带了一些额外的分布。

4. 自定义分布的辅助工具

  • generate_canonical<>() 是一个模板工具，能从 URBG 中产生一个在 [0,1) 均匀分布的浮点数，作为构造自定义分布的基础。

5. 分布的统计测试

  • 通过均值、方差、卡方检验、Kolmogorov-Smirnov 检验等统计测试验证分布是否合理。
  • 偶尔失败是正常的，失败太多才要怀疑随机数生成的质量。

6. 不要滥用 rand() % n 取模法

  • 这个简单取余方法会导致偏差，因为 rand() 的范围通常不是 n 的整数倍。
  • 应该用标准库的分布，比如 std::uniform_int_distribution，或者通过拒绝采样(rejection sampling)实现均匀分布。

7. 如何正确生成随机数

  • 实例化一个引擎（如 std::default_random_engine）
  • 实例化一个分布（如 std::uniform_int_distribution<int>)
  • 每次生成随机数时通过 distribution(engine) 产生，确保满足所需分布。

8. 种子与可复现性

  • 引擎种子很关键，单个整数种子对大型状态的引擎（如 Mersenne Twister）不足。
  • std::seed_seq 试图扩展种子，但不总是效果很好。
  • 种子来源可以是时间戳、进程ID等，但它们质量较低。

9. C++17 之后新增的随机数算法

  • std::sample：可以从一个范围中采样固定大小的随机子集。
  • std::shuffle：随机打乱序列。
  • 不再推荐使用 random_shuffle，它已被移除。

10. 迭代器接口（可选进阶）

  • 设计了 variate_iterator，可以把一个随机引擎 + 分布封装成输入迭代器，从而在标准算法中直接使用随机数。
    总结起来，这些内容帮你深入理解 <random> 设计理念、最佳实践、性能与质量权衡、以及如何用好它来写出健壮的随机数代码。

你这段内容介绍了 C++17 <random> 库中的一些高级用法，特别是 sample() 和 shuffle() 的用法，还有用迭代器接口封装随机数分布生成的思路。

1. sample() 用法

C++17 新增了 std::sample()，功能是从一个区间（population）中随机采样固定数量元素。接口：

template<class PopulationIter, class SampleIter, class Size, class URBG>
SampleIter sample(PopulationIter first, PopulationIter last,SampleIter out, Size wanted_size, URBG&& g);
  • PopulationIter 是输入区间的迭代器。
  • SampleIter 是输出区间迭代器。
  • wanted_size 是采样元素数。
  • URBG 是随机数生成器。
    实现时，会根据输入迭代器能力，选择不同算法。

2. shuffle() 用法

用于将序列随机打乱。
示例：

using card_t = int;
using deck_t = std::array<card_t, 52>;
deck_t deck;
std::iota(deck.begin(), deck.end(), 0);  // 生成0~51
using engine_t = std::default_random_engine;
engine_t e{ std::random_device{}() };     // 真随机种子
std::shuffle(deck.begin(), deck.end(), e);
// 输出花色和点数
auto suit = [](card_t c) { return "♠♥♦♣"[c / 13]; };
auto rank = [](card_t c) { return "A23456789TJQK"[c % 13]; };
for (auto c : deck)std::cout << rank(c) << suit(c) << ' ';

3. shuffle_sort 的“反直觉”示例

template<class RA, class Engine>
void shuffle_sort(RA b, RA e, Engine g)
{while (!std::is_sorted(b, e))std::shuffle(b, e, g);
}
  • 这个算法随机打乱序列直到它排序好了，显然效率非常差，作为玩笑演示。

4. 自定义 shuffle 实现示例

这段代码体现了 Fisher–Yates 洗牌算法：

template<class RA, class URBG>
void shuffle(RA b, RA e, URBG&& g)
{using diff_t = decltype(e - b);using dist_t = std::uniform_int_distribution<diff_t>;using param_t = typename dist_t::param_type;static dist_t d;  // 分布范围由调用时动态传入diff_t L = e - b - 1;for (diff_t m = 0; m < L; ++m)std::iter_swap(b + m, b + d(g, param_t{m, L}));
}
  • d(g, param_t{m, L}) 生成 [m, L] 范围内的随机数。
  • 逐步交换未洗牌部分的元素，保证均匀性。

5. 设计基于 <random> 的迭代器 variate_iterator

这是一个可用作输入迭代器的类，封装了随机数引擎和分布，使其可以像迭代器一样访问随机数流。

代码草图解析

template<class URBG, class Dist>
class variate_iterator : public std::iterator<std::input_iterator_tag, typename Dist::result_type>
{
private:using val_t = typename Dist::result_type;URBG* u{nullptr};   // 非拥有指针，指向随机数生成器Dist* d{nullptr};   // 非拥有指针，指向分布val_t v{};          // 最近一次生成的随机数值bool valid{false};  // 当前缓存的值是否有效void step() noexcept { valid = false; }val_t& deref() {if (!valid) {v = (*d)(*u);  // 调用分布生成新的随机数valid = true;}return v;}
public:constexpr variate_iterator() noexcept = default;variate_iterator(URBG& u_, Dist& d_) : u(&u_), d(&d_) {}val_t& operator*() { return deref(); }val_t const* operator->() { return &deref(); }variate_iterator& operator++() { step(); return *this; }variate_iterator operator++(int) {variate_iterator tmp = *this;step();return tmp;}// TODO: 添加相等比较等必要接口，符合输入迭代器要求
};

用途示例

  • 生成随机数序列并复制到容器：
std::default_random_engine engine{std::random_device{}()};
std::uniform_real_distribution<double> dist(0.0, 1.0);
variate_iterator<std::default_random_engine, decltype(dist)> it(engine, dist);
std::vector<double> v(100);
std::copy_n(it, 100, v.begin());
  • 用于数学操作，如点积：
double prod = std::inner_product(v.begin(), v.end(), it, 0.0);
  • 对已有向量加随机噪声：
std::transform(v.begin(), v.end(), v.begin(), [&](double x) { return x + *it++; });

总结

  • <random> 提供了强大的随机数工具，不光是生成单个随机数，也可以对序列做采样、洗牌。
  • 通过封装迭代器，可以让随机数生成器与 STL 算法更好地结合。
  • 了解算法实现（如 Fisher-Yates shuffle）能帮助你理解随机过程的正确性。
  • sample() 函数允许随机采样，避免了先打乱再选取的低效方法。

几个简单实用的随机数小例子（小李子），用C++ <random>写的，涵盖不同类型的随机数生成：

1. 生成 0 到 99 的随机整数

#include <iostream>
#include <random>
int main() {std::random_device rd;  // 真随机种子std::mt19937 gen(rd()); // Mersenne Twister引擎std::uniform_int_distribution<> dist(0, 99); // 均匀分布 [0,99]for (int i = 0; i < 10; ++i) {std::cout << dist(gen) << " ";}std::cout << "\n";
}

2. 生成 0.0 到 1.0 之间的浮点数

#include <iostream>
#include <random>
int main() {std::random_device rd;std::mt19937 gen(rd());std::uniform_real_distribution<> dist(0.0, 1.0);for (int i = 0; i < 10; ++i) {std::cout << dist(gen) << " ";}std::cout << "\n";
}

3. 从容器中随机采样（使用 std::sample）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <random>
#include <algorithm>
int main() {std::vector<int> population{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};std::vector<int> sample_result;std::random_device rd;std::mt19937 gen(rd());std::sample(population.begin(), population.end(), std::back_inserter(sample_result),4, gen);  // 从population随机采样4个元素for (int x : sample_result) {std::cout << x << " ";}std::cout << "\n";
}

4. 洗牌一副扑克牌（52张）

#include <iostream>
#include <array>
#include <algorithm>
#include <random>
int main() {using card_t = int;std::array<card_t, 52> deck;std::iota(deck.begin(), deck.end(), 0);  // 0~51std::random_device rd;std::mt19937 gen(rd());std::shuffle(deck.begin(), deck.end(), gen);auto suit = [](card_t c) { return "♠♥♦♣"[c / 13]; };auto rank = [](card_t c) { return "A23456789TJQK"[c % 13]; };for (auto c : deck) {std::cout << rank(c) << suit(c) << " ";}std::cout << "\n";
}

5. 用随机数给数组元素加点噪声

#include <iostream>
#include <vector>
#include <random>
#include <algorithm>
int main() {std::vector<double> data = {1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0};std::random_device rd;std::mt19937 gen(rd());std::normal_distribution<> noise(0, 0.1); // 均值0，标准差0.1的高斯噪声std::transform(data.begin(), data.end(), data.begin(),[&](double x) { return x + noise(gen); });for (auto d : data) {std::cout << d << " ";}std::cout << "\n";
}

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