矩阵求导常用公式解析：标量、向量与矩阵的导数计算

矩阵求导是机器学习、优化理论中的重要数学工具。本文将系统推导标量对向量、向量对向量、标量对矩阵的求导公式，并解析分子布局与分母布局的核心差异。

矩阵求导的布局问题

1. 分子布局 vs 分母布局对比表

特性	分子布局 (Numerator Layout)	分母布局 (Denominator Layout)
导数维度	$m\times n$	$n\times m$
元素排列规则	$\frac{\partial y_i}{\partial x_j}$	$\frac{\partial y_j}{\partial x_i}$
线性变换示例	$\frac{\partial \mathbf{Ax}}{\partial \mathbf{x}}=\mathbf{A}$	$\frac{\partial \mathbf{Ax}}{\partial \mathbf{x}}={\mathbf{A}}^T$
链式法则顺序	从左到右自然顺序	需要转置调整顺序

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2. 布局冲突的典型场景分析

场景：计算 $\frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{x}}$，其中 $\mathbf{z}=\mathbf{Wx}+\mathbf{b}$

• 分子布局：
  $$\frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{x}}=\mathbf{W}(\text{维度 }m\times n)$$

• 分母布局：
  $$\frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{x}}={\mathbf{W}}^T(\text{维度 }n\times m)$$

应用建议：

• 在反向传播算法中，分母布局更自然（梯度维度与参数维度一致）
• 在理论推导中，分子布局更便于公式链式展开

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3. 混合布局的兼容性处理

当不同文献使用不同布局时，可通过以下规则转换：
$${\left(\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}\right)}_{\text{Denominator}}={\left(\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}\right)}_{\text{Numerator}}^T$$

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一、标量对向量求导

1. 线性函数求导

设向量 $\mathbf{a}=[a_1,a_2,\dots ,a_n{]}^T$，$\mathbf{x}=[x_1,x_2,\dots ,x_n{]}^T$，标量函数为：

$$y={\mathbf{a}}^T\mathbf{x}=\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i$$

求导结果：
梯度向量为系数向量本身：

$$\frac{\partial y}{\partial \mathbf{x}}=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]=\mathbf{a}$$

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2. 二次型函数（对称矩阵）

设对称矩阵 $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$，标量函数：

$$y={\mathbf{x}}^T\mathbf{Ax}=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$$

求导过程：
对分量 $x_k$ 求偏导：

$$\frac{\partial y}{\partial x_k}=2\sum _{i=1}^n{a}_{ik}{x}_i$$

梯度向量：
$$\frac{\partial y}{\partial \mathbf{x}}=2\mathbf{Ax}$$

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3. 二次型函数（非对称矩阵）

当 $\mathbf{A}$ 非对称时，标量函数展开同上。对 $x_k$ 求偏导：

$$\frac{\partial y}{\partial x_k}=(\mathbf{Ax}{)}_k+({\mathbf{A}}^T\mathbf{x}{)}_k$$

梯度向量：
$$\frac{\partial y}{\partial \mathbf{x}}=(\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^T)\mathbf{x}$$

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二、向量对向量求导（分子布局）

1. 线性变换的雅可比矩阵（详细推导）

设 $\mathbf{y}=\mathbf{Ax}+\mathbf{b}$，其中：

• $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ 为系数矩阵
• $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$ 为输入向量
• $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^m$ 为偏置向量

分量化表示：
$$y_i=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j+b_i(i=1,2,\dots ,m)$$

对分量求偏导：
对每个 $y_i$ 关于 $x_j$ 求偏导：
$$\frac{\partial y_i}{\partial x_j}=a_{ij}$$

雅可比矩阵构造：
将所有偏导数按如下规则排列：

• 行索引对应输出分量 $y_i$
• 列索引对应输入分量 $x_j$

$$\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}& \frac{\partial y_1}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1}& \frac{\partial y_2}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial y_2}{\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1}& \frac{\partial y_m}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}\end{array}\right]=\mathbf{A}$$

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2. 一般向量函数的雅可比矩阵（补充关键说明）

对向量函数 $\mathbf{y}=\mathbf{f}(\mathbf{x})=[f_1(\mathbf{x}),f_2(\mathbf{x}),\dots ,f_m(\mathbf{x}){]}^T$，其雅可比矩阵的构造规则为：

• 每个元素 $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ 表示第 $i$ 个输出对第 $j$ 个输入的偏导
• 行维度 $m$ 由输出向量维度决定
• 列维度 $n$ 由输入向量维度决定

关键特性：

• 若 $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 为线性函数（即 $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{Ax}$），雅可比矩阵退化为系数矩阵 $\mathbf{A}$
• 若 $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 为非线性函数（如神经网络激活函数），需逐元素计算偏导数

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3. 链式法则的矩阵形式

设复合函数 $\mathbf{z}=\mathbf{g}(\mathbf{y})=\mathbf{g}(\mathbf{f}(\mathbf{x}))$，则链式法则的矩阵形式为：
$$\frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{x}}=\frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{y}}\cdot \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}$$
其中：

• $\frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{y}}\in {\mathbb{R}}^{p\times m}$
• $\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$
• 最终结果维度为 $p\times n$

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三、标量对矩阵求导

1. 标量函数 $y=\text{tr}(\mathbf{A})$ 对矩阵 $\mathbf{A}$ 求导

• 矩阵的迹：
  $$\text{tr}(\mathbf{A})=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$$

• 对矩阵元素 $a_{ij}$ 求偏导：

  • 当 $i\ne j$ 时，
    $$\frac{\partial y}{\partial a_{ij}}=0$$
  • 当 $i=j$ 时，
    $$\frac{\partial y}{\partial a_{ii}}=1$$

• 梯度矩阵：
  $$\frac{\partial y}{\partial \mathbf{A}}=\mathbf{I}$$
  （其中 $\mathbf{I}$ 是与 $\mathbf{A}$ 同维度的单位矩阵）

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2. 标量函数 $y=\text{tr}(\mathbf{AB})$ 对矩阵 $\mathbf{A}$ 求导（假设 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 可相乘）

• 迹的性质：
  $$\text{tr}(\mathbf{AB})=\text{tr}(\mathbf{BA})(\text{若维度合适})$$

• 展开形式：
  设 $\mathbf{A}$ 为 $m\times n$ 矩阵，$\mathbf{B}$ 为 $n\times m$ 矩阵，则
  $$y=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{ji}$$

• 对 $a_{kl}$ 求偏导：
  $$\frac{\partial y}{\partial a_{kl}}=b_{lk}$$

• 梯度矩阵：
  $$\frac{\partial y}{\partial \mathbf{A}}={\mathbf{B}}^T$$

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3. 标量函数 $y={\mathbf{x}}^T\mathbf{Ax}$ 对矩阵 $\mathbf{A}$ 求导（$\mathbf{x}$ 为向量）

• 展开形式：
  $$y=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$$

• 对 $a_{kl}$ 求偏导：
  $$\frac{\partial y}{\partial a_{kl}}=x_k{x}_l$$

• 梯度矩阵：
  $$\frac{\partial y}{\partial \mathbf{A}}=\mathbf{x}{\mathbf{x}}^T$$

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