今天是动态规划的最后一篇内容了，本篇主要是针对回文字符串这种“与众不同”的递推规律来进行讲解

647. 回文子串

统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目

暴力解法

两层for循环，遍历区间起始位置和终止位置，然后还需要一层遍历判断这个区间是不是回文。所以时间复杂度：O(n^3)

动态规划

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

如果大家做了很多这种子序列相关的题目，在定义dp数组的时候很自然就会想题目求什么，我们就如何定义dp数组。

绝大多数题目确实是这样，不过本题如果我们定义，dp[i] 为下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话，我们会发现很难找到递归关系。dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。所以我们要看回文串的性质。

我们在判断字符串S是否是回文，那么如果我们知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。那么此时我们是不是能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串下标范围[i,j]）是否回文，依赖于，子字符串（下标范围[i + 1, j - 1]））是否是回文。

所以为了明确这种递归关系，我们的dp数组是要定义成二维dp数组。dp[i][j]（布尔类型）：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

确定递推公式（这个地方要和遍历顺序一起理解，递推公式对于解题非常重要）

在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。

当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。

当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

dp数组如何初始化

dp[i][j]初始化为false。

确定遍历顺序

遍历顺序可就有点讲究了。

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

总而言之，一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

举例推导dp数组

举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：

class Solution:def countSubstrings(self, s: str) -> int:dp = [[False] * len(s) for _ in range(len(s))]result = 0for i in range(len(s)-1, -1, -1): #注意遍历顺序for j in range(i, len(s)):if s[i] == s[j]:if j - i <= 1: #情况一 和 情况二result += 1dp[i][j] = Trueelif dp[i+1][j-1]: #情况三result += 1dp[i][j] = Truereturn result

双指针法

回文子串的对称中心有两种情况：

奇数长度的回文子串（如 "aba"）：中心是单个字符（示例中的 "b"）。
偶数长度的回文子串（如 "abba"）：中心是两个相邻字符（示例中的 "bb"）。

中心扩展法的逻辑是：

枚举字符串中每个可能的中心（单个字符或相邻两个字符）。
从中心向两侧扩展，判断扩展后的子串是否为回文。
每扩展成功一次，就计数一个回文子串。

class Solution:def countSubstrings(self, s: str) -> int:result = 0for i in range(len(s)):result += self.extend(s, i, i, len(s)) #以i为中心result += self.extend(s, i, i+1, len(s)) #以i和i+1为中心return resultdef extend(self, s, i, j, n):res = 0while i >= 0 and j < n and s[i] == s[j]:i -= 1j += 1res += 1return res

516.最长回文子序列

这种回文子序列可以删除元素是很难想的，因为规律不是很直观。本题和上题的区别在于：回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

确定递推公式

在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。

如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

dp数组如何初始化

当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。其他情况dp[i][j]初始为0就行

确定遍历顺序

从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。

遍历模拟

class Solution:def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:dp = [[0] * len(s) for _ in range(len(s))]for i in range(len(s)):dp[i][i] = 1for i in range(len(s)-1, -1, -1):for j in range(i+1, len(s)):if s[i] == s[j]:dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2else:dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])return dp[0][-1]