目录
激活函数
1. Sigmoid
2. Tanh 函数（双曲正切）
3. ReLU 函数
4. Leaky ReLU (LReLU)
5. Softmax
总结对比表
损失函数选择
激活函数
激活函数是神经网络中每个神经元（节点）的核心组成部分。它接收上一层所有输入的加权和（加上偏置项），并产生该神经元的输出。其主要作用是引入非线性，使得神经网络能够学习和逼近任意复杂的函数关系。如果没有非线性激活函数，无论网络有多少层，最终都等价于一个线性变换（单层感知机），能力极其有限。
1. Sigmoid
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公式：
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原理： 将输入压缩到
(0, 1)区间。输出值可以被解释为概率（尤其是在二分类问题的输出层）。它平滑、易于求导。 -
特征：
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输出范围： (0, 1)
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单调递增： 函数值随输入增大而增大。
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S型曲线： 中间近似线性，两端饱和（变化缓慢）。
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导数：
最大值为0.25（当x=0时）。
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缺点：
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梯度消失： 当输入
x的绝对值很大时（处于饱和区），导数σ'(x)趋近于0。在反向传播过程中，梯度会逐层连乘这些接近0的小数，导致深层网络的梯度变得非常小甚至消失，使得网络难以训练（权重更新缓慢或停滞）。 -
信息丢失：输入100和输入10000经过sigmoid的激活值几乎都是等于 1 的，但是输入的数据却相差 100 倍。
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输出非零中心化： 输出值始终大于0。这可能导致后续层的输入全为正（或全为负），使得权重更新时梯度全部朝同一方向（正或负）移动，降低收敛效率（呈“之”字形下降路径）。
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计算相对较慢： 涉及指数运算。
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函数绘制：
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当
x -> -∞时，σ(x) -> 0(左水平渐近线 y=0)。 -
当
x = 0时，σ(0) = 0.5。 -
当
x -> +∞时，σ(x) -> 1(右水平渐近线 y=1)。 -
图像是一条平滑的、从接近0上升到接近1的S形曲线，关于点(0, 0.5)中心对称。导数曲线是一个钟形曲线，在x=0处达到峰值0.25，向两边迅速衰减到0。
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2. Tanh 函数（双曲正切）
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公式：
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原理： 将输入压缩到
(-1, 1)区间。是Sigmoid函数的缩放和平移版本。解决了 Sigmoid 输出均值非零的问题，更适合作为隐藏层激活函数。 -
特征：
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输出范围： (-1, 1)
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单调递增： 函数值随输入增大而增大。
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S型曲线： 中间近似线性，两端饱和。
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零中心化： 输出关于原点对称（
tanh(-x) = -tanh(x)）。这是相比于Sigmoid的主要优势，通常能使后续层的输入具有更理想的均值，有助于加速收敛。 -
导数：
tanh'(x) = 1 - tanh²(x)，最大值为1（当x=0时）。
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缺点：
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梯度消失： 和Sigmoid类似，当
|x|很大时，导数趋近于0，仍然存在梯度消失问题（虽然比Sigmoid稍好，因为其导数值更大）。 -
计算相对较慢： 同样涉及指数运算。
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函数绘制：
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当
x -> -∞时，tanh(x) -> -1(左水平渐近线 y=-1)。 -
当
x = 0时，tanh(0) = 0。 -
当
x -> +∞时，tanh(x) -> 1(右水平渐近线 y=1)。 -
图像是一条平滑的、从接近-1上升到接近1的S形曲线，关于原点(0,0)中心对称。导数曲线是一个钟形曲线，在x=0处达到峰值1，向两边衰减到0。整体形状比Sigmoid更陡峭，饱和区变化更快。
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3. ReLU 函数
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公式：
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原理： ReLU 是目前最常用的隐藏层激活函数之一，通过简单的线性分段
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特征：
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输出范围： [0, +∞)
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计算极其高效： 只需比较和取最大值操作，没有指数等复杂运算。
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缓解梯度消失： 在正区间 (
x > 0)，导数为1，梯度可以无损地反向传播，有效缓解了梯度消失问题，使得深层网络训练成为可能。这是其成功的关键。 -
ReLU 函数的导数是分段函数：
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生物学合理性： 更接近生物神经元的稀疏激活特性（只有一部分神经元被激活）。
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稀疏激活：
时输出为 0，使网络具有 “稀疏性”（仅部分神经元激活），模拟生物神经元的工作模式。
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缺点：
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死亡ReLU (Dying ReLU)： 在负区间 (
x < 0)，导数为0。如果一个神经元的加权和输入在训练过程中大部分时间都小于0（例如，学习率过高或负的偏置过大），那么它的梯度在反向传播时始终为0，导致该神经元的权重无法再更新，永远“死亡”（输出恒为0，不再参与训练）。 -
输出非零中心化： 输出始终 >= 0。
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在
x=0处不可导： 实践中通常将x=0处的导数设为0或1（通常设为0）。
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函数绘制：
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当
x < 0时，ReLU(x) = 0(沿x轴负半轴)。 -
当
x >= 0时，ReLU(x) = x(沿y=x直线在第一象限)。 -
图像是一个简单的折线：在原点(0,0)左侧是水平线（y=0），在原点右侧是一条45度角的直线（y=x）。导数图像：在x<0处是y=0的水平线；在x>0处是y=1的水平线；在x=0处不连续（通常画一个空心点）。
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4. Leaky ReLU (LReLU)
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公式：
(其中
α是一个很小的正数常数，如0.01) -
原理： 针对标准ReLU的“死亡”问题进行的改进。在负区间给予一个很小的非零斜率
α。 -
特征：
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输出范围： (-∞, +∞) (理论上，但负值部分很小)
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缓解死亡ReLU： 在负区间有小的梯度
α，(x<0)时输出(\alpha x)（非零），即使输入为负，神经元也有机会更新权重，避免了永久性“死亡”。 -
计算高效： 和ReLU一样高效。
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缺点：
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效果依赖
α： 需要人工设定或尝试α值。虽然通常设0.01有效，但并非最优。 -
在
x=0处不可导： 同样的问题。 -
负区间表现可能不一致： 微小的负斜率可能不足以完全解决某些场景下的问题，或者引入不必要的复杂性。
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函数绘制：
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当
x >= 0时，LReLU(x) = x(沿y=x直线在第一象限)。 -
当
x < 0时，LReLU(x) = αx(一条斜率为α的直线，在第三象限，非常平缓)。 -
图像在原点右侧与ReLU相同（y=x），在原点左侧是一条斜率很小（接近水平）的直线。导数图像：在x>0处是y=1的水平线；在x<0处是y=α的水平线（非常接近0）；在x=0处不连续。
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5. Softmax
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公式：
(其中
是第i个神经元的输入，K是输出层神经元的个数/类别数)
给定输入向量 z=[
,
,…,
]
1.指数变换：对每个
，使z的取值区间从
变为
2.将所有指数变换后的值求和，得到
3.将t中每个
除以归一化因子s，得到概率分布:
即：
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原理： 将多个神经元的输入（通常是一个向量
z = [z1, z2, ..., zK]）转换为一个概率分布。每个输出值在(0, 1)区间，且所有输出值之和为1，适合作为多分类任务的输出层。 -
特征：
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输出范围： (0, 1)
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归一化： 输出总和为1，非常适合表示K个互斥类别的概率分布（多分类问题）。
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放大差异： 输入值中最大的那个，其对应的输出概率会被显著放大（指数效应），较小的输入对应的概率会被压缩。
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在实际应用中，Softmax常与交叉熵损失函数Cross-Entropy Loss结合使用，用于多分类问题。在反向传播中，Softmax的导数计算是必需的。
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缺点：
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仅用于输出层： 通常只在多分类网络的最后一层使用。
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梯度消失：当某个输入远大于其他时，其对应的输出趋近于 1，其他趋近于 0，梯度接近 0。
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API
torch.nn.functional.softmax
import torch
import torch.nn as nn
# 表示4分类，每个样本全连接后得到4个得分，下面示例模拟的是两个样本的得分
input_tensor = torch.tensor([[-1.0, 2.0, -3.0, 4.0], [-2, 3, -3, 9]])
softmax = nn.Softmax()
output_tensor = softmax(input_tensor)
# 关闭科学计数法
torch.set_printoptions(sci_mode=False)
print("输入张量:", input_tensor)
print("输出张量:", output_tensor)
输出结果：
输入张量: tensor([[-1., 2., -3., 4.],[-2., 3., -3., 9.]])
输出张量: tensor([[ 0.0059, 0.1184, 0.0008, 0.8749],[ 0.0000, 0.0025, 0.0000, 0.9975]])总结对比表
| 激活函数 | 公式 | 输出范围 | 优点 | 缺点 | 适用场景 | 函数绘制描述 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Sigmoid | (0, 1) | 平滑，输出可解释为概率，导数易求 | 梯度消失严重，输出非零中心，计算慢 | 二分类输出层，早期隐藏层 | S形曲线，从(0,0)附近到(0,1)附近，关于(0,0.5)对称 | |
| Tanh | (-1, 1) | 零中心化，梯度比Sigmoid稍大 | 仍有梯度消失，计算慢 | 隐藏层（比Sigmoid更常用） | S形曲线，从(0,-1)附近到(0,1)附近，关于(0,0)对称 | |
| ReLU | max(0, x) | [0, +∞) | 计算极快，有效缓解梯度消失（正区间），生物学启发，实践效果好 | 死亡ReLU问题，输出非零中心，x=0不可导 | 最常用隐藏层 (CNN, FNN) | x<0为水平线(y=0)，x>=0为45度线(y=x)，原点处转折 |
| Leaky ReLU | | (-∞, +∞) | 缓解死亡ReLU，计算快 | 效果依赖α，x=0不可导，负斜率可能非最优 | 隐藏层 (ReLU的改进尝试) | x>=0同ReLU(y=x)，x<0为斜率很小的直线(y=αx) |
| Softmax | (0, 1), Σ=1 | 输出归一化为概率分布，适合多分类 | 仅用于输出层，数值不稳定(需技巧) | 多分类输出层 | 作用于向量，输出概率向量。最大输入对应最大概率(接近1) |
损失函数选择
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隐藏层：优先用ReLU，计算快、效果稳。若出现大量 “死神经元”（输出恒为 0），换Leaky ReLU
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输出层：
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二分类： Sigmoid (输出单个概率)。
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多分类： Softmax (输出类别概率分布)。
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回归：
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输出非负（如销量）：ReLU
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输出可正可负（如温度）：线性激活（y=x） 或Tanh（配合缩放）
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循环网络（RNN/LSTM）：门控用Sigmoid（控制开关），状态用Tanh（限制范围）。
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避免使用： 在深度网络的隐藏层中，通常避免使用Sigmoid（梯度消失问题严重），也较少使用原始Tanh（ReLU族通常更优）。
