算法介绍

拓扑排序（Topological Sorting）是针对有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph） 的一种重要排序算法，其核心是将图中所有顶点按照一定规则排列，使得对于图中任意一条有向边 (u, v)，顶点 u 都排在顶点 v 之前。

拓扑排序的本质是解决 “依赖关系” 问题—— 当任务 / 节点之间存在先后依赖（如 “必须完成 A 才能做 B”）时，通过拓扑排序可以找到一个合法的执行顺序；若图中存在环（如 “A 依赖 B，B 依赖 C，C 依赖 A”），则不存在拓扑排序（此时可用于检测环）。

核心原理

拓扑排序的关键是 “消除入度为 0 的节点”：

入度（In-degree）：顶点被指向的边的数量（即 “前驱节点” 的数量）。
入度为 0 的节点：没有前驱依赖，可优先执行 / 输出。
流程：反复找到入度为 0 的节点，输出该节点后移除其所有出边（减少其邻接节点的入度），直至所有节点被输出（合法拓扑序）或无法找到入度为 0 的节点（存在环，无拓扑序）。

适用场景

拓扑排序广泛应用于 “存在依赖关系” 的场景：

课程安排：修课需先完成先修课程（如 “修算法前必须修数据结构”）。
任务调度：任务 A 必须在任务 B 之前执行。
编译依赖：程序模块的编译顺序（被依赖的模块先编译）。
依赖包安装：软件包的安装顺序（依赖的包先安装）。

实现步骤(Kahn 算法)

Kahn 算法是最直观的拓扑排序实现，利用队列存储 “入度为 0 的节点”，通过层次遍历逐步消除依赖。

步骤：

构建邻接表：存储图的边关系（u -> v 表示 u 是 v 的前驱）。
计算入度数组：记录每个节点的入度（初始值）。
初始化队列：将所有入度为 0 的节点加入队列（这些节点无依赖，可优先输出）。
BFS 遍历：
- 从队列中取出一个节点 u，加入拓扑序结果。
- 遍历 u 的所有邻接节点 v，将 v 的入度减 1（因为 u 已被 “消除”，v 的一个依赖被满足）。
- 若 v 的入度减为 0，将其加入队列（此时 v 已无依赖）。
检查结果：若拓扑序的长度等于节点总数，说明是合法 DAG（存在拓扑序）；否则图中存在环（无拓扑序）。

例题

课程表

题目链接

207. 课程表

题目描述

你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程 ai 则必须先学习课程 bi 。

例如，先修课程对 [0, 1] 表示：想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 。

请你判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回 true ；否则，返回 false 。

示例 1：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：true
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0 。这是可能的。

示例 2：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]
输出：false
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成课程 0 ；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1 。这是不可能的。

提示：

1 <= numCourses <= 2000
0 <= prerequisites.length <= 5000
prerequisites[i].length == 2
0 <= ai, bi < numCourses
prerequisites[i] 中的所有课程对 互不相同

算法思路

标准拓扑排序问题，直接使用算法介绍中的实现步骤进行即可。

代码实现

class Solution {
public:bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {//1. 准备工作unordered_map<int, vector<int>> edges; // 邻接表存图vector<int> in(numCourses);// 保存每一个点的入度//2. 建图for(auto& e : prerequisites){int a = e[0], b = e[1];// b->aedges[b].push_back(a);in[a]++;}//3. 拓扑排序queue<int> q;// (1). 把所有入度为0的点存进去for(int i = 0; i < numCourses; i++){if(in[i] == 0)q.push(i);}// (2). bfswhile(q.size()){int n = q.front();q.pop();for(int a : edges[n]){in[a]--;if(in[a] == 0)q.push(a);}}// (3). 判断是否有环for(int i : in){if(i)return false;}return true;}
};

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课程表 II

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210. 课程表 II

题目描述

现在你总共有 numCourses 门课需要选，记为 0 到 numCourses - 1。给你一个数组 prerequisites ，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示在选修课程 ai 前必须先选修 bi 。

例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示：[0,1] 。

返回你为了学完所有课程所安排的学习顺序。可能会有多个正确的顺序，你只要返回 任意一种 就可以了。如果不可能完成所有课程，返回 一个空数组 。

示例 1：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：[0,1]
解释：总共有 2 门课程。要学习课程 1，你需要先完成课程 0。因此，正确的课程顺序为 [0,1] 。

示例 2：

输入：numCourses = 4, prerequisites = [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]]
输出：[0,2,1,3]
解释：总共有 4 门课程。要学习课程 3，你应该先完成课程 1 和课程 2。并且课程 1 和课程 2 都应该排在课程 0 之后。
因此，一个正确的课程顺序是 [0,1,2,3] 。另一个正确的排序是 [0,2,1,3] 。

示例 3：

输入：numCourses = 1, prerequisites = []
输出：[0]

提示：

1 <= numCourses <= 2000
0 <= prerequisites.length <= numCourses * (numCourses - 1)
prerequisites[i].length == 2
0 <= ai, bi < numCourses
ai != bi
所有[ai, bi] 互不相同

算法思路

整体思路和上一题一样，多一个数组保存结果即可

代码实现

class Solution {
public:vector<int> findOrder(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {//1. 准备工作unordered_map<int, vector<int>> edges; // 邻接表存图vector<int> in(numCourses);// 保存每一个点的入度vector<int> ret;//2. 建图for(auto& e : prerequisites){int a = e[0], b = e[1];// b->aedges[b].push_back(a);in[a]++;}//3. 拓扑排序queue<int> q;// (1). 把所有入度为0的点存进去for(int i = 0; i < numCourses; i++){if(in[i] == 0)q.push(i);}// (2). bfswhile(q.size()){int n = q.front();q.pop();ret.push_back(n);for(int a : edges[n]){in[a]--;if(in[a] == 0)q.push(a);}}// (3). 判断是否有环for(int i : in){if(i)return vector<int>();}return ret;}
};

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火星词典

题目链接

LCR 114. 火星词典

题目描述

现有一种使用英语字母的外星文语言，这门语言的字母顺序与英语顺序不同。

给定一个字符串列表 words ，作为这门语言的词典，words 中的字符串已经 按这门新语言的字母顺序进行了排序 。

请你根据该词典还原出此语言中已知的字母顺序，并 按字母递增顺序 排列。若不存在合法字母顺序，返回 "" 。若存在多种可能的合法字母顺序，返回其中 任意一种 顺序即可。

字符串 s 字典顺序小于 字符串 t 有两种情况：

在第一个不同字母处，如果 s 中的字母在这门外星语言的字母顺序中位于 t 中字母之前，那么 s 的字典顺序小于 t 。
如果前面 min(s.length, t.length) 字母都相同，那么 s.length < t.length 时，s 的字典顺序也小于 t 。

示例 1:

输入：words = [“wrt”,“wrf”,“er”,“ett”,“rftt”]
输出：“wertf”

示例 2：

输入：words = [“z”,“x”]
输出：“zx”

示例 3：

输入：words = [“z”,“x”,“z”]
输出：“”
解释：不存在合法字母顺序，因此返回 “”。

提示：

1 <= words.length <= 100
1 <= words[i].length <= 100
words[i] 仅由小写英文字母组成

算法思路

先根据字典两两比较字母之间的先后顺序，建立有向无环图
a. 两层 for 循环枚举出所有的两个字符串的组合；
b. 然后利用指针，根据字典序规则找出信息。
根据有向无环图做拓扑排序找出字母的顺序

代码实现

class Solution {unordered_map<char, unordered_set<char>> edges;// 邻接表存图unordered_map<char,int> in;// 保存每一个点的入度bool check = false;
public:string alienOrder(vector<string>& words) {for(auto& s : words)for(auto& c : s)in[c] = 0;int n = words.size();for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = i+1; j < n; j++){add(words[i],words[j]);if(check) return "";}}string ret;queue<char> q;for(auto& [a,b] : in){if(b == 0)q.push(a);}while(q.size()){char c = q.front();q.pop();ret += c;for(char ch : edges[c]){in[ch]--;if(in[ch] == 0)q.push(ch);}}for(auto& [a,b]:in)if(b != 0)return "";return ret;}void add(const string& s1, const string& s2){int n = min(s1.size(), s2.size());int i = 0;for(; i < n; i++){if(s1[i] != s2[i]) {char a = s1[i], b = s2[i];// a->b;if(!edges.count(a) || !edges[a].count(b)){edges[a].insert(b);in[b]++;}break;}}if(i==s2.size() && i < s1.size())check = true;}
};