以下是关系代数中基本操作的详细说明：

并（Union）

关系R和S的并操作表示为R ∪ S，要求R和S具有相同的属性集（并相容性）。结果包含所有属于R或S的元组，自动去除重复项。

示例：

• R = {(1,A), (2,B)}
• S = {(2,B), (3,C)}
• R ∪ S = {(1,A), (2,B), (3,C)}

交（Intersection）

关系R和S的交操作表示为R ∩ S，结果包含同时属于R和S的元组。

示例：

• R = {(1,A), (2,B)}
• S = {(2,B), (3,C)}
• R ∩ S = {(2,B)}

差（Difference）

关系R和S的差操作表示为R - S，结果包含属于R但不属于S的元组。

示例：

• R = {(1,A), (2,B)}
• S = {(2,B), (3,C)}
• R - S = {(1,A)}

笛卡尔积（Cartesian Product）

关系R和S的笛卡尔积表示为R × S，生成所有可能的元组组合。若R有m个元组，S有n个元组，结果将包含m×n个元组。

示例：

• R = {(1,A), (2,B)}
• S = {(X,10), (Y,20)}
• R × S = {(1,A,X,10), (1,A,Y,20), (2,B,X,10), (2,B,Y,20)}

投影（Projection）

投影操作表示为πₐ(R)，从关系R中选择指定属性子集A，并去除重复元组。

示例：

• R = {(1,A,X), (2,B,Y), (1,A,Z)}
• π_{1,2}(R) = {(1,A), (2,B)}

选择（Selection）

选择操作表示为σₚ(R)，根据条件P筛选关系R中的元组。条件P可以是逻辑表达式（如A=1 AND B='X'）。

示例：

• R = {(1,A,X), (2,B,Y), (3,A,Z)}
• σ_{A='A'}(R) = {(1,A,X), (3,A,Z)}

这些基本操作构成了关系数据库查询的理论基础，更复杂的查询可以通过这些操作的组合来实现。

自然连接

自然连接的结果显示全部的属性列，但是相同属性列只显示一次，显示两个关系模式中属性相同并且值相同的记录。