⊙ O 1 \odot O_1 ⊙O1 和 ⊙ O 2 \odot O_2 ⊙O2 交于 A A A, B B B. Y Y Y 是 ⊙ O 1 \odot O_1 ⊙O1 上一点, Z Z Z 是 ⊙ O 2 \odot O_2 ⊙O2 上一点， Y Z YZ YZ 通过 A A A. 过 Y Y Y 的 ⊙ O 1 \odot O_1 ⊙O1 的切线和过 Z Z Z 的 ⊙ O 2 \odot O_2 ⊙O2 的切线交于点 X X X. 线段 B X BX BX 交 △ B O 1 O 2 \triangle BO_1O_2 △BO1O2 的外接圆于点 Q Q Q. 求证: X Q XQ XQ 之长等于 △ B O 1 O 2 \triangle BO_1O_2 △BO1O2 的外接圆直径之长.
证明:
设 O O O 是 ( X Y Z ) (XYZ) (XYZ) 的圆心. 设 B I BI BI 是 ( B O 1 O 2 (BO_1O_2 (BO1O2 的直径). 延长 B I BI BI 交 ( X Y Z ) (XYZ) (XYZ) 于点 J J J.
△ B Y Z ∼ △ B O 1 O 2 \triangle BYZ\sim\triangle BO_1O_2 △BYZ∼△BO1O2.
O O 1 ⊥ B Y OO_1\bot BY OO1⊥BY, O O 2 ⊥ B Z OO_2\bot BZ OO2⊥BZ, 所以 ∠ O 1 B O 2 = π − ∠ Y B Z = ∠ O 1 O O 2 = π − ∠ O 1 B O 2 \angle O_1BO_2=\pi-\angle YBZ=\angle O_1OO_2=\pi-\angle O_1BO_2 ∠O1BO2=π−∠YBZ=∠O1OO2=π−∠O1BO2, 进而 O O O 在 ( B O 1 O 2 ) (BO_1O_2) (BO1O2) 上.
∠ Q 1 Q B = ∠ O 1 O 2 B = ∠ B Z Y = ∠ B X Y \angle Q_1QB=\angle O_1O_2B=\angle BZY=\angle BXY ∠Q1QB=∠O1O2B=∠BZY=∠BXY, 所以 Q O 1 / / X Y QO_1//XY QO1//XY.
O O 1 ⊥ B Y OO_1\bot BY OO1⊥BY, O 1 Y ⊥ O 1 Q O_1Y\bot O_1Q O1Y⊥O1Q, 所以 ∠ Q O 1 O = ∠ O 1 Y B \angle QO_1O=\angle O_1YB ∠QO1O=∠O1YB.
设 Q O 2 QO_2 QO2 和 I O 2 IO_2 IO2 分别交 B Z BZ BZ 于点 K K K, L L L.
∠ O B Z = π 2 − ∠ B O O 2 \angle OBZ=\frac{\pi}{2}-\angle BOO_2 ∠OBZ=2π−∠BOO2, ∠ I B O 2 = π 2 − ∠ B I O 2 \angle IBO_2=\frac{\pi}{2}-\angle BIO_2 ∠IBO2=2π−∠BIO2.
∠ B O O 2 = ∠ B I O 2 \angle BOO_2=\angle BIO_2 ∠BOO2=∠BIO2, 所以 ∠ O B Z = ∠ I B O 2 \angle OBZ=\angle IBO_2 ∠OBZ=∠IBO2, 进而 ∠ O B I = ∠ Z B O 2 \angle OBI=\angle ZBO_2 ∠OBI=∠ZBO2.
显然 ∠ Z B O 2 = ∠ O 1 B Y = ∠ O 1 Y B \angle ZBO_2=\angle O_1BY=\angle O_1YB ∠ZBO2=∠O1BY=∠O1YB.
所以 ∠ Q B O = ∠ I B O \angle QBO=\angle IBO ∠QBO=∠IBO. 结合 O O O 是 ( X Y Z ) (XYZ) (XYZ) 圆心可知 B X = B J BX=BJ BX=BJ.
显然 ∠ B I O 2 = ∠ B J Z \angle BIO_2=\angle BJZ ∠BIO2=∠BJZ, 所以 I O 2 / / J Z IO_2//JZ IO2//JZ.
B I / I J = B L / L Z BI/IJ=BL/LZ BI/IJ=BL/LZ, X Q / B Q = Z K / B K XQ/BQ=ZK/BK XQ/BQ=ZK/BK.
易证明 △ O 2 K B ≃ △ O 2 L Z \triangle O_2KB \simeq \triangle O_2LZ △O2KB≃△O2LZ.
所以 B L / L Z = Z K / B K BL/LZ=ZK/BK BL/LZ=ZK/BK. 进而 B I / I J = X Q / B Q BI/IJ=XQ/BQ BI/IJ=XQ/BQ, 结合 B X = J B BX=JB BX=JB 可知 X Q = B I XQ=BI XQ=BI.
证毕.
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