前缀和$(Prefix$ $Sum)$的定义

前缀和是一种高效处理区间求和问题的算法技巧
其核心思想是通过预处理构建一个前缀和数组
使得后续的区间和查询可以在常数时间$O(1)$内完成

核心概念

• 定义
  给定一个数组$a[\mathrm{1...}n]$,其前缀和数组$s[\mathrm{1...}n]$定义为:
  $s[0]=0(边界条件)$
  $s[i]=a[1]+a[2]+...+a[i](前i个元素的和)$
  通过递推计算:$s[i]=s[i-1]+a[i]$
• 作用
  快速计算区间和:查询$a[l...r]$的和时,只需计算$s[r]-s[l-1]$,无需遍历整个区间。
  优化时间复杂度：
  预处理:$O(n)$
  单次查询:$O(1)$
  适用于频繁查询但数据不频繁修改的场景(如静态数组)

对比其他方法差距/使用前缀和的原因

方法	预处理时间	单次查询时间	适用场景
暴力遍历	O(1)	O(n)	查询极少
前缀和	O(n)	O(1)	查询多，数据静态
线段树/树状数组	O(n)	O(log n)	查询和修改都频繁

总结

前缀和通过空间换时间,将区间和查询优化至$O(1)$,是算法竞赛中的常客
若需支持动态修改,可结合差分数组或升级为树状数组/线段树

前缀和代码模板示例

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int a[N],s[N];
int main(){int n,q;//n=数组个数,q=询问次数cin>>n>>q;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];//读入初值s[i]=s[i-1]+a[i];//计算前缀和}for(int i=1;i<=q;i++){int l,r;//询问区间cin>>l>>r;cout<<s[r]-s[l-1]<<endl;//输出区间和}return 0;
}

原理

非常$Easy$
前缀和数组$s[x]$的值相当于$a[1]$~$a[x]$
利用这个原理计算得知
$a[l]到a[r]的和=s[r]-s[l-1]$

例题

P8218 【深进1.例1】求区间和

题目描述

给定由 $n$ 个正整数组成的序列 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 和 $m$ 个区间 $[l_i,r_i]$，分别求这 $m$ 个区间的区间和。

输入格式

第一行包含一个正整数 $n$，表示序列的长度。

第二行包含 $n$ 个正整数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$。

第三行包含一个正整数 $m$，表示区间的数量。

接下来 $m$ 行，每行包含两个正整数 $l_i,r_i$，满足 $1\le l_i\le r_i\le n$。

输出格式

共 $m$ 行，其中第 $i$ 行包含一个正整数，表示第 $i$ 组答案的询问。

输入输出样例 #1

输入 #1

4
4 3 2 1
2
1 4
2 3

输出 #1

10
5

说明/提示

样例解释

第 $1$ 到第 $4$ 个数加起来和为 $10$。第 $2$ 个数到第 $3$ 个数加起来和为 $5$。

数据范围

对于 $50\%$ 的数据：$n,m\le 1000$；

对于 $100\%$ 的数据：$1\le n,m\le 10^5$，$1\le a_i\le 10^4$。

分析

经典的前缀和例题
看输入要求，输入数组个数$n$
然后给数组$a[]$初值，再输入询问次数$m$
给$m$行的$l_i,r_i$并询问$a[l_i]到a[r_i]$的区间和
跟模板一样，但是需要把$m$的输入改到输入数组$a[]$的后方

$AC$代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int a[N],s[N];
int main(){int n,m;//n=数组个数,m=询问次数cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];//读入初值s[i]=s[i-1]+a[i];//计算前缀和}cin>>m;for(int i=1;i<=m;i++){int l,r;//询问区间cin>>l>>r;cout<<s[r]-s[l-1]<<endl;//输出区间和}return 0;
}

题单附送

$题单$
包含前缀和、差分、离散化

~ $完结撒花$ ~

附：例题来自$洛谷$
推荐$洛谷$作为为你的刷题区域
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