贝叶斯估计

问题建模：

后验概率公式：

$$P\left({\omega }_i\mid \mathbf{x},\mathcal{D}\right)=\frac{P\left(\mathbf{x}\mid {\omega }_i,{\mathcal{D}}_i\right)P\left({\omega }_i\right)}{{\sum }_{j=1}^{c}P\left(\mathbf{x}\mid {\omega }_j,{\mathcal{D}}_j\right)P\left({\omega }_j\right)}$$

由于我们在做分类器时，手上其实是有训练数据的，也就是每一类 ${\omega }_i$ 都有自己对应的训练数据集合 ${\mathcal{D}}_i$。因此，我们真正能估计的是：
$$P(\mathbf{x}\mid {\omega }_i,{\mathcal{D}}_i)$$
也就是说，“在知道类别是 ${\omega }_i$” 且 “在我们拥有第 i 类的数据 ${\mathcal{D}}_i$” 的情况下，输入 $\mathbf{x}$ 出现的概率。我们在每个类别内部进行建模的时候，类别标签已经是已知的固定量。所以：

• 给定 ${\mathcal{D}}_i$ ，我们知道这些数据都是属于 ${\omega }_i$ 类别的。
• 那我们就可以只用这些数据来建模＂类别 ${\omega }_i$ 的条件概率分布＂。

也就是说，一旦我们知道了 ${\mathcal{D}}_i$ 是哪一类的，我们已经隐含地知道了类别标签 ${\omega }_i$ ，所以再写 ${\omega }_i$ 就是多余了。于是就可以简写为：

$$P\left(\mathbf{x}\mid {\omega }_i,{\mathcal{D}}_i\right)=P\left(\mathbf{x}\mid {\mathcal{D}}_i\right)$$
所以，问题的核心在于**估计$P(\mathbf{x}\mid \mathcal{D})$。**这里省略下标表示对所有类别通用的求解方式。
$$\begin{array}{rl}p(\mathbf{x}\mid \mathcal{D})& =\int p(\mathbf{x},\mathbf{\theta }\mid \mathcal{D})d\mathbf{\theta }\\ & =\int p(\mathbf{x}\mid \mathbf{\theta },\mathcal{D})p(\mathbf{\theta }\mid \mathcal{D})d\mathbf{\theta }\\ & =\int p(\mathbf{x}\mid \mathbf{\theta })p(\mathbf{\theta }\mid \mathcal{D})d\mathbf{\theta }\end{array}$$
这是一种对概率密度求积分的思想。因为在贝叶斯方法中，参数 $\theta$ 不是固定的值，而是一个不确定的变量！

• 传统频率派做法通常是：
  直接用最大似然估计或MAP估计得出一个具体的 $\hat{\theta }$ ，然后用 $p(\mathbf{x}\mid \hat{\theta })$ 来做预测。

• 而贝叶斯派则认为：

  我们应该考虑所有可能的参数值，不要只依赖一个点估计！要用加权平均 的方式整合所有参数不确定性。所以我们不是用一个固定参数预测 $\mathbf{x}$ ，而是用下面这个**＂平均版本＂**：

$$p(\mathbf{x}\mid \mathcal{D})={\mathbb{E}}_{\theta \sim p(\theta \mid \mathcal{D})}[p(\mathbf{x}\mid \theta )]$$

• 举个例子：

  假设我们要预测某人是否患病（1 or 0），你用逻辑回归来建模，参数是 $\theta$。现在你已经看到了一些训练数据 $\mathcal{D}$。

  • 如果你直接用最大似然：
    $\hat{\theta }={\text{argmax}}_{\theta }p(\mathcal{D}\mid \theta )$，然后预测：
    $$p(\text{患病}\mid \text{特征})\approx p(\text{患病}\mid \text{特征},\hat{\theta })$$

  • 如果你用贝叶斯预测：
    你承认你对 $\theta$ 没有那么确定，只能说它服从某个后验分布：
    $$p(\text{患病}\mid \text{特征})=\int p(\text{患病}\mid \text{特征},\theta )\cdot p(\theta \mid \mathcal{D})d\theta$$

  这就是贝叶斯方法“把模型参数的不确定性也考虑进来”的精髓。

继续看上面的公式：$\int p(\mathbf{x}\mid \mathbf{\theta })p(\mathbf{\theta }\mid \mathcal{D})d\mathbf{\theta }$。

• $p(\mathbf{x}\mid \theta )$：似然函数，形式已知（如高斯分布）。

• $p(\theta \mid \mathcal{D})$：参数的后验分布，需通过训练数据计算。计算过程：
  $$\begin{array}{rl}p(\mathbf{\theta }\mid \mathcal{D})& =\frac{p(\mathbf{\theta },\mathcal{D})}{p(\mathcal{D})}\\ & =\frac{p(\mathbf{\theta })p(\mathcal{D}\mid \mathbf{\theta })}{\int p(\mathbf{\theta },\mathcal{D})d\mathbf{\theta }}\\ & =\frac{p(\mathbf{\theta })p(\mathcal{D}\mid \mathbf{\theta })}{\int p(\mathbf{\theta })p(\mathcal{D}\mid \mathbf{\theta })d\mathbf{\theta }}\\ p(\mathcal{D}\mid \mathbf{\theta })& =\prod _{i=1}^{n}p\left({\mathbf{x}}_k\mid \mathbf{\theta }\right)\end{array}$$

进行贝叶斯参数估计的一般阶段：

• 阶段 I：训练（后验分布）

  输入：

  • 数据集 D = { x 1 , x 2 , . . . , x n } \mathcal{D} = \{x_1, x_2, ..., x_n\} D={x1​,x2​,...,xn​}
  • 参数的先验分布 $p(\theta )$：比如说你觉得 $\theta$ 是某个高斯分布。

  核心公式：
  $$p(\theta \mid \mathcal{D})=\frac{p(\mathcal{D}\mid \theta )p(\theta )}{p(\mathcal{D})}$$
  逐项理解：

  • $p(\theta )$：我们对参数的先验认知；
  • $p(\mathcal{D}\mid \theta )$：参数下，数据出现的可能性（似然）；
  • $p(\theta \mid \mathcal{D})$：数据观察之后，对参数的更新信念；
  • $p(\mathcal{D})=\int p(\mathcal{D}\mid \theta )p(\theta )d\theta$：归一化项，保证后验是概率分布。

  目标： 求出后验分布 $p(\theta \mid \mathcal{D})$。

• 阶段 II：估计类条件密度（积分）

  我们要干嘛？
  在数据集下，我们想知道观测到新样本 $\mathbf{x}$的可能性是多少？但我们不能只用某一个 $\theta$，因为我们不确定。所以我们把所有可能的 $\theta$ 都考虑进去，做一个加权平均（加权方式是后验概率）：
  $$p(\mathbf{x}\mid \mathcal{D})=\int p(\mathbf{x}\mid \theta )\cdot p(\theta \mid \mathcal{D})d\theta$$

  • $p(\mathbf{x}\mid \theta )$：在参数 $\theta$ 下，x 的生成概率（比如说高斯密度）；
  • $p(\theta \mid \mathcal{D})$：阶段 I 得到的后验分布；
  • 积分的结果：在参数不确定的前提下，$\mathbf{x}$ 的总体生成可能性。

  这一步的意义是： 我们不是像MLE那样说“$\theta$ 就是这个”，而是说“我们不知道 $\theta$ 到底是哪个，所以我们把所有可能的 $\theta$ 的解释能力都考虑进来”，这叫边际化参数。

• 阶段 III：分类

  现在我们有了每个类 ${\omega }_i$ 的条件密度估计：
  $$p(\mathbf{x}\mid {\omega }_i,{\mathcal{D}}_i)$$
  我们还可以提前给出类的先验概率 $P({\omega }_i)$，比如所有类是等概率的就是均匀先验。

  最后就可以通过贝叶斯规则，计算某个类的后验概率（重点是“对这个样本来说，它属于哪个类更有可能”）：
  $$P({\omega }_i\mid \mathbf{x},\mathcal{D})=\frac{P(\mathbf{x}\mid {\omega }_i,{\mathcal{D}}_i)P({\omega }_i)}{{\sum }_{j=1}^{c}P(\mathbf{x}\mid {\omega }_j,{\mathcal{D}}_j)P({\omega }_j)}$$

  • 分子是“这个类解释当前样本的能力 × 这个类本身的先验”；
  • 分母是对所有类的分子求和（归一化）；
  • 最后就可以取最大后验的类作为分类结果。

比较最大似然估计和贝叶斯估计的哲学思想

为什么最大似然估计认为能让似然函数最大的参数值即为所求?

最大似然估计的基本假设是：

现实中观测到的数据是由某个“真实参数”控制的概率模型生成的，而我们不知道这个参数是多少。

所以我们要“反过来推”，从数据出发，倒推出这个参数。这就是最大似然的直觉: “哪个参数让我们实际观测到的数据最可能发生？”

• 似然函数是对“模型如何解释数据”的度量

  似然函数 $L(\theta )=p(D\mid \theta )$
  它表示在参数为 $\theta$ 的前提下，我们实际看到数据 $D$ 的概率。

  MLE 就是选择那个让这件事发生得最自然、最不意外的 $\theta$。

• 和频率学派的统计思想一致

  频率学派认为：

  • 参数是“固定不变”的（虽然我们不知道它是多少）；
  • 数据是“可重复的随机样本”。

  那么，从一堆样本中，我们就用 MLE 来寻找最有可能产生这堆样本的参数值，这是频率学派最常见的估计方法之一。

• 从极大化联合概率来看

  假设数据是独立同分布的：
  D = { x 1 , x 2 , … , x n } D = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\} D={x1​,x2​,…,xn​}，则似然函数是：
  $$L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}p(x_i\mid \theta )$$
  你会发现：MLE 寻找的是哪个 $\theta$，能让这些样本的联合概率最大。

  这等价于：

  选择一个最能“复现”这些样本的参数值。

• 和“最大后验估计”也有关联

  当你加上先验知识 $p(\theta )$ 的时候，你得到的是最大后验估计（MAP）：
  $${\theta }_{\text{MAP}}=\arg \underset{\theta }{\max }p(\theta \mid D)=\arg \underset{\theta }{\max }p(D\mid \theta )p(\theta )$$
  当先验是均匀分布（对所有参数值一视同仁）时：
  $${\theta }_{\text{MAP}}={\theta }_{\text{MLE}}$$
  所以 MLE 可以被看作一种“没有先验信息时的贝叶斯估计”。

贝叶斯学派认为：“参数本身也是不确定的，是一个概率分布。”我们根据数据不断地更新我们对参数的信念。

频率学派	贝叶斯学派
参数是固定的，数据是随机的	数据是确定的，参数是不确定的
用样本来推断固定参数	用数据来更新我们对参数的信念
不谈“参数的概率”，只谈样本概率	参数也有概率分布

$$\underset{\text{后验 }}{\underbrace{p(\theta \mid D)}}=\frac{\underset{\text{似然 }}{\underbrace{p(D\mid \theta )}}\cdot \underset{\text{先验 }}{\underbrace{p(\theta )}}}{\underset{\text{边际似然 }}{\underbrace{p(D)}}}$$

这表达了：

我们通过观察数据 D，把原先对参数 $\theta$ 的“信念” $p(\theta )$，更新为一个新的“信念” $p(\theta \mid D)$。

类比为“科学实验”

1. 我们对一个理论（参数）有一个初步的信念（先验）；
2. 我们进行实验，收集数据（似然）；
3. 我们更新我们的信念，得到一个更加可信的理论（后验）. “新信念的比例 = 旧信念的比例 × 数据支持程度的比例”。。

分母实际上是一个归一化常数,$p(D)=\int p(D\mid \theta )\cdot p(\theta )d\theta$

它的作用是对所有可能的 $\theta$ 情况归一化，让后验 $p(\theta \mid D)$ 的积分为 1。来保证这个式子符合概率的形式. 核心思想体现在分子.

• 主观信念更新是核心：我们不是问“谁生成了数据”，而是“在看到数据后我们应该相信谁？”
• 信念更新的比例逻辑：比例推理形式强调的是“相对可信度”的更新，而不是绝对频率。
• 概率的可解释性来自先验：先验并不等于胡说，而是代表我们对问题背景的理解，是模型的一部分。
• 贝叶斯定理并不是从频率定义出发的数学技巧，而是从“主观信念更新的理性原则”出发，用似然函数衡量数据的支持程度，用先验表示我们原有的信念，再通过归一化得到后验信念。